Sujet D.2.3 Continuité sur un intervalle
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Exercice a
Soient deux réels $\,a < b\,$ et $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)^2,\ \big(x\neq y\Imp \big|f(x)-f(y)\big| < |x-y|\big)$
Démontrer que $\,f\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)\,$ est un intervalle, et qu'il est de longueur strictement inférieure à celle de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
continuité d'une fonction numérique en un point
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
théorème des valeurs intermédiaires
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.
Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que : $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$
image d'un intervalle par une fonction continue
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
image d'un segment par une fonction continue
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
indication
Montrer que la fonction $f$ est continue sur $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ et en déduire la nature de l'ensemble $\,f\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)\sp{1.5}.\,$
réponse
$\,f\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)\,$ est un segment, de longueur strictement inférieure à $\,b-a\sp{1.5}.\,$
correction
Pour tout $\,\alpha\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\lim x\alpha f(x)=f(\alpha)\sp{1.5},\,$ car on
Soient des fonctions $\,f:I\to\bb K\,$ et $\,g:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb K\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app\smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big|\sp{1.5}f(x)-\ell\sp{1.5}\big|\leq g(x),\,$ alors :
majore
l'écart entre $f(x)$ et $f(\alpha)$ par un terme de limite nulle :
$\displaystyle{}\lim x a\, g(x) =0 \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
$\displaystyle{}\big|f(x)-f(\alpha)\big| \leq |x-\alpha|\,\tend x{\alpha}\,0$
Ceci établit la
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
continuité
de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
L'image du
Un segment de $\bb R$ est un intervalle fermé et borné $[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ pour $\,a\leq b:\,$
segment
$[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ par l'application continue $f$ est donc un
$\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}$
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
segment
$\,[\sp{1.5}c,d\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Par définition de
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
l'image
$\,f\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)=[\sp{1.5}c,d\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ il existe $\,u,v\app\sp{1.5}[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tels que $\,c=f(u)\,$ et $\,d=f(v)\,;\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
$\eqalign{&a\leq u\leq v\leq b\txt{ou}a\leq v\leq u\leq b\\
\txt{d'où :}&|\sp{1.5}d-c\sp{1.5}|=\big|f(v)-f(u)\big| < |\sp{1.5}v-u\sp{1.5}| \leq b-a}$
La longueur $\,|\sp{1.5}d-c\sp{1.5}|\,$ de $\,f\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big)=[\sp{1.5}c,d\sp{1.5}]\,$ est donc bien strictement inférieure à celle de $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
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Exercice b
Soient $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,\lambda > 0\,$ et $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\to\bb R\,$ une application continue telle que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app \smh0{\big([\sp{1.5}a,+\I[\big)^2},\ \big|f(x)-f(y)\big| \geq\lambda\,|\sp{1.5}x-y\sp{1.5}|$
Démontrer que $f$ définit une bijection entre $\,I=[\sp{1.5}a,+\I[\,$ et un intervalle à préciser.
continuité d'une fonction numérique en un point
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
théorème des valeurs intermédiaires
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.
Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que : $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$
image d'un intervalle par une fonction continue
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
image d'un segment par une fonction continue
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
indication
Distinguer deux cas selon les valeurs prises par $\,f(x)-f(a)\,$ sur l'intervalle $\,I=\,]\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5}.\,$
réponse
$f$ induit bien une bijection de $\,I=[\sp{1.5}a,+\I[\,$ vers un intervalle $\,J=f\big([\sp{1.5}a,+\I[\big)\sp{1.5}.\,$
Cet intervalle est, soit : $\,J=\big[f(a),+\I\big[,\,$ soit : $\,J=\big]\!-\I, f(a)\big]\sp{1.5}.\,$
correction
On remarque d'abord que $f$ est
Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$
injective,
car pour tous $\,x,y\app I=\sp{1.5}[\sp{1.5}a,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}f(x)=f(y)\Imp |x-y|\leq\frac1\lambda\big|f(x)-f(y)\big|=0$
D'autre part, $f$ étant continue,
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
l'image
$f(I)=f\big([a,+\I[\big)$ est un
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
intervalle
$J\,;$
$f$ induit donc une
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection
de $I$ vers $J\sp{1.5}.$
Pour déterminer les extrémités de cet intervalle $J\sp{1.5},$ on considère sur $\,]\sp{1.5}a,+\I[\,$ la fonction continue $\,g:x\mapsto f(x)-f(a)\sp{1.5}.\,$
Par injectivité de $f,$ cette fonction $\,g\,$ ne s'annule pas, et $\,g\sp{1.5}\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5}\big)\,$ est donc un intervalle inclus dans $\bb R^{\ast}.$
Cet intervalle aura alors pour borne $f(a)$ et aussi $\,+\I\,$ ou $\,-\I\sp{1.5},\,$ selon les deux éventualités suivantes :$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
- soit : $\,\ptt x >a,\ \sp{1.5}g(x)=f(x) - f(a) > 0\,;\,$ alors : $\,J=f\big([a,+\I[\big)=\big[f(a),+\I\big[\,$ car, par
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$ Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :minoration :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f(x)\geq f(a)+\lambda(x-a)\smb{.5}{\tend x{+\I}}+\I$ - soit : $\,\ptt x >a,\ \sp{1.5}g(x)=f(x) - f(a) < 0\,;\,$ alors : $\,J=f\big([a,+\I[\big)=\big]\!-\I, f(a)\big]\,$ car, par
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$ Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :majoration :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f(x)\leq f(a)-\lambda(x-a)\tend x{+\I}-\I$
Si on sait que toute fonction réelle continue et injective sur un intervalle est strictement
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue et injective sur un intervalle $I\sp{1.5}.$
Alors, cette application $f$ est strictement monotone sur $I\sp{1.5}.$
monotone,
on obtient plus directement la distinction de ces deux cas sans recourir à la fonction auxiliaire $\,g\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soit $\,f:\bb R\to\bb R\,$ une application continue telle que $\,f\circ f=f\sp{1.5}.\,$
On considère l'ensemble $I$ des $\,x\app\bb R\,$ tels que $\,f(x)=x\sp{1.5};\,$ montrer que $I$ est un intervalle.
En déduire une description de toutes les fonctions réelles continues sur $\,\bb R\,$ et telles que $\,f\circ f=f\sp{1.5}.\,$
continuité d'une fonction numérique en un point
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
théorème des valeurs intermédiaires
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.
Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que : $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$
image d'un intervalle par une fonction continue
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
image d'un segment par une fonction continue
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
indication
1
Comparer les ensembles $I$ et $\,f(\bb R)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Pour une telle fonction, caractériser $f(x)$ selon que $\,x\,$ appartient ou non à l'intervalle $I.$
figure
Un exemple avec un segment $\,I=[\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}]\,$
réponse
L'ensemble $I$ des $\,x\app\bb R\,$ tels que $\,f(x)=x\,$ est bien un intervalle : $\,I=f(\bb R)\sp{1.5}.\,$
Les $\,f\app\sc C(\bb R,\bb R)\,$ telles que $\,f\circ f=f\,$ sont celles pour lesquelles il existe un intervalle $I$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f(x)=x\txt{et}\ptt x\non\app I,\ f(x)\app I$
correction
Soit $x\app\bb R$ tel que $\,f(x)=x\,;\,$ alors $x$ est son propre
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
antécédent
par $f$ si bien que $x$ appartient à l'ensemble
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
image
de $f:$ $\,x\app f(\bb R)\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, si $\,x\app f(\bb R)\sp{1.5},\,$ il existe $\,u\app\bb R\,$ tel que $\,x=f(u)\,$ d'où par définition d'une
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composée :
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\displaystyle{}x=f(u)=(f\circ f)(u)=f\big(f(u)\big)=f(x)$
L'ensemble $I$ des $x\app\bb R$ tels que $\,f(x)=x\,$ est donc exactement l'ensemble $f(\bb R)\sp{1.5}.$
$I$ est donc
Les intervalles de $\bb R$ sont les parties de $\bb R$ définies par :
l'intervalle
$f(\bb R)\sp{1.5},$ en tant qu'
$\eqalign{&[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x < b\}\\[-.5ex]
&[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}[&=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x < b\}\sp{1.5},&\ \,&]\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]&=\{x\app \bb R\op{\big|}a < x\leq b\}\\[-0.5ex]
}$
avec $\,a,b\app\bb R\,$ pour tout crochet fermé et $\,a,b\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}\,$ pour tout crochet ouvert.
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
image
d'un intervalle par une application réelle continue.
Ainsi, pour une telle application, on a : $\,f(x)=x\,$ si $\,x\app I=f(\bb R)\sp{1.5},\,$ et : $\,f(x)\app I\,$ dans tous les cas.
Réciproquement, soit $I$ un intervalle et $\,f:\bb R\to\bb R\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f(x)=x\sp{1.5},\txt{et :}\ptt x\non\app I,\ f(x)\app I$
Alors pour tout $x\app\bb R,$ $\,y=f(x)\,$ appartient à $I$ et donc :
$\displaystyle{}(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=f(y)=y=f(x)$
Les $\,f\app\sc C(\bb R,\bb R)\,$ telles que $\,f\circ f=f\,$ sont celles pour lesquelles il existe un intervalle $I$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f(x)=x\txt{et}\ptt x\non\app I,\ f(x)\app I$
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Un exemple avec un segment $\,I=[\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}]\,$
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