Sujet D.2.2 Fonctions monotones
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Exercice a
Soient $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ une fonction croissante sur un segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ et à valeurs dans ce même segment.
Démontrer que l'ensemble $\Omega$ suivant possède un maximum $\,\alpha\,$ et que celui-ci est tel que $\,f(\alpha)=\alpha:\,$
$\displaystyle{}\Omega=\big\{x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,\big|\,x\leq f(x)\big\}$
limites à droite et à gauche d'une fonction numérique
$\,f:I\to\bb K\,$ a une limite à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,+\I[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^+}\,f(x)\sp{1.5};\,$
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\!\I,a\sp{1.5}[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^-}\,f(x)\sp{1.5}.\,$
continuité à droite et à gauche d'une fonction numérique
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
limites d'une fonction monotone aux bornes de son intervalle
Toute $\,f:\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb R\,$ croissante admet des limites en $\,a,b\app\surl{\bb R}:\,$
$\displaystyle{}\lim xa f(x)=\op{inf}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)\txt{et}\lim xb f(x)=\op{sup}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)$
Même résultat en échangeant les limites, lorsque $f$ est décroissante.
limite d'une fonction monotone à l'intérieur de son intervalle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ une fonction croissante sur un intervalle $I\,.$
Alors $f$ admet des limites à gauche et à droite en tout $c$ intérieur à $I:$
$\displaystyle{}\lim x{c^-}f(x)\leq f(c)\leq \lim x{c^+}f(x)$
indication
1
Commencer par montrer que l'ensemble $\Omega$ admet une borne supérieure $\,\alpha\sp{1.5}.\,$
indication
2
Prouver ensuite que $\,\alpha\leq f(\alpha)\sp{1.5},\,$ puis que : $\,f(\alpha)\leq\alpha\,.\,$
réponse
L'ensemble $\Omega$ admet une borne supérieure $\,\alpha\,$ qui appartient à $\Omega:$
$\,\alpha=\op{max}(\Omega)\,.\,$
Ce maximum $\,\alpha\,$ est bien un point fixe de $f:$ $\,f(\alpha)=\alpha\,.\,$
correction
On commence par prouver que l'ensemble $\Omega$ admet une borne
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :
supérieure :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
- $\Omega$ est non vide car, avec $\,f(a)\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ on a $\,a\leq f(a)\sp{1.5},\,$ soit : $\,a\app\Omega\,;\,$
- $\Omega$ est majoré par $\,b\,$ car il est, par sa définition, inclus dans $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,.\,$
- $\alpha$ étant un
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$ Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$ Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$majorant de $\Omega\sp{1.5},$ on a $\,x\leq \alpha\,$ pour tout $\,x\app\Omega\sp{1.5},\,$ d'où $\,f(x)\leq f(\alpha)\,$ parSoit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :croissance de $f\sp{1.5}.$ Il s'ensuit que : $\,\ptt x\app\Omega,\ x\leq f(x)\leq f(\alpha)\sp{1.5},\,$ et donc que $f(\alpha)$ est un majorant de $\Omega\,.$ $\,\alpha=\op{sup}(\Omega)\,$ étant par définition le plus petit majorant de $\Omega\sp{1.5},$ on a donc $\,\alpha\leq f(\alpha)\sp{1.5}.\,$ Cela signifie que $\,\alpha\app\Omega\sp{1.5},\,$ ce qui établit que $\,\alpha\,$ est le
- croissante ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
- strictement croissante ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$ Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$ Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$plus grand élément de $\,\Omega:\,$ $\,\alpha=\op{max}(\Omega)\sp{1.5}.\,$ - Dans ces conditions, la croissance de $f$ permet d'écrire : $\,f(\alpha)\leq f\big(f(\alpha)\big).\,$ On en déduit que $f(\alpha)$ appartient à $\,\Omega\,$ et qu'il est donc majoré par $\,\alpha=\op{max}(\Omega)\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f(\alpha)\leq\alpha\sp{1.5}.\,$
Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$
$\sc R$ est une relation d'ordre sur $E$ ssi elle est :
antisymétrie :
$\,f(\alpha)=\alpha\,.\,$
- réflexive : $\,\ptt x\app E,\ x\op{\sc R}x\,;\,$
- antisymétrique : $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}x)\Imp x=y\,;\,$
- transitive : $\,\ptt \,(x,y,z)\app E^3,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\,.\,$
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Exercice b
Soient $\,a,b\app \surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ avec $\,a < b\sp{1.5},\,$ et $\,f:\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb R\,$ une application croissante.
Démontrer que si $\,f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\,$ est un intervalle, alors l'application $f$ est continue sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,.\,$
limites à droite et à gauche d'une fonction numérique
$\,f:I\to\bb K\,$ a une limite à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,+\I[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^+}\,f(x)\sp{1.5};\,$
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\!\I,a\sp{1.5}[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^-}\,f(x)\sp{1.5}.\,$
continuité à droite et à gauche d'une fonction numérique
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
limites d'une fonction monotone aux bornes de son intervalle
Toute $\,f:\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb R\,$ croissante admet des limites en $\,a,b\app\surl{\bb R}:\,$
$\displaystyle{}\lim xa f(x)=\op{inf}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)\txt{et}\lim xb f(x)=\op{sup}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)$
Même résultat en échangeant les limites, lorsque $f$ est décroissante.
limite d'une fonction monotone à l'intérieur de son intervalle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ une fonction croissante sur un intervalle $I\,.$
Alors $f$ admet des limites à gauche et à droite en tout $c$ intérieur à $I:$
$\displaystyle{}\lim x{c^-}f(x)\leq f(c)\leq \lim x{c^+}f(x)$
indication
1
Pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,,\,$ montrer l'existence de limites de $f$ à gauche et à droite de $\,c\sp{1.5},\,$ puis raisonner par l'absurde en supposant par exemple que : $\,\lim x{c^-}f(x) < f(c)\,.\,$
indication
2
Montrer ensuite qu'un réel $\,y\,$ tel que $\,\lim x{c^-}f(x) < y < f(c)\,$ appartient nécessairement à $\,f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\sp{1.5}.\,$
réponse
Si $\,f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\,$ est un intervalle, alors la fonction croissante $f$ est bien continue sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
correction
Pour tout $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ selon le théorème de la
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ une fonction croissante sur un intervalle $I\,.$
Alors $f$ admet des limites à gauche et à droite en tout $c$ intérieur à $I:$
limite monotone,
$f$ admet des
$\displaystyle{}\lim x{c^-}f(x)\leq f(c)\leq \lim x{c^+}f(x)$
$\,f:I\to\bb K\,$ a une limite à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
limites
à gauche et à droite de $c:$ $\,\ell_c^-\,$ et $\,\ell_c^+\sp{1.5},\,$ telles que :
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,+\I[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^+}\,f(x)\sp{1.5};\,$
- $f$ restreinte à $\,I\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\!\I,a\sp{1.5}[\,$ admet une limite : $\,\lim x{a^-}\,f(x)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\lim x{c^-}\sp{1.5}f(x)=\ell_c^-\leq f(c)\leq \ell_c^+=\lim x{c^+}\sp{1.5}f(x)$
Supposons qu'on ait alors : $\,\ell_c^- < f(c)\sp{1.5},\,$ et considérons un $\,y\,$ tel que : $\,\ell_c^- < y < f(c)\sp{1.5}.\,$- On montre d'abord que $\,y\app f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\sp{1.5};\,$ en effet, pour un $\,d\app\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}[\,,\,$ $\,f(d)\,$ est
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$ un plus petit majorant :majoré par $\,\ell_c^-\,$ qui est la borne$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$Toute $\,f:\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb R\,$ croissante admet des limites en $\,a,b\app\surl{\bb R}:\,$supérieure de $\,f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}[\sp{1.5}\big):\,$$\displaystyle{}\lim xa f(x)=\op{inf}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)\txt{et}\lim xb f(x)=\op{sup}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)$Même résultat en échangeant les limites, lorsque $f$ est décroissante.$\displaystyle{}f(d)\leq \ell_c^- =\op{sup}\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}[\sp{1.5})\big) < y < f(c)$Il s'ensuit que $\,y\sp{1.5},\,$ étant compris entre deux valeurs de $f\sp{1.5}$ vérifie : $\,y\app f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\sp{1.5},\,$ car $\,f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}\big)\,$ est unUne partie $A$ de $\bb R$ est un intervalle ssi $A$ est convexe, c'est-à-dire :intervalle.$\displaystyle{}\ptt x\app A\sp{1.5},\,\ptt y\app A\sp{1.5}, \ \big(\sp{1.5}x\leq y\Imp [\sp{1.5}x\sp{1.5},y\sp{1.5}]\subset A\sp{1.5}\big)$
- Il existe donc un $\,x\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ tel que $\,y=f(x)\sp{1.5},\stb{1.5}\,$ ce qui s'avère contradictoire car :
- $\,x < c\Imp f(x)\leq \op{sup} f\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}[\sp{1.5}\big),\txt{soit}y\leq \ell_c^-\sp{1.5} ,\stb{1.5}\,$ ce qui est exclu ;
- $\,c\leq x\Imp f(c)\leq f(x),\txt{soit}f(c)\leq y\sp{1.5},\,$ ce qui est tout aussi exclu.
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
continuité
à gauche de $f$ en $c\sp{1.5}.$
On montrerait de même que : $\,f(c)=\ell_c^+\sp{1.5},\,$ d'où la continuité à droite de $f$ en $c\sp{1.5}.$
On a ainsi prouvé la
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
continuité
de $f$ sur tout l'intervalle $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ car on a démontré que :
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,,\ \lim x{c^-} \sp{1.5}f(x)=f(c)=\!\lim x{c^+} \sp{1.5}f(x)$