exercices de mathématiques - prépa et université

La fonction $\,x\mapsto\e{-2\sp{1.5}x}\,$ étant strictement

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

décroissante sur $\bb{R}\sp{1.5},$ son opposée y est strictement croissante.

Il s'ensuit, par

Soient $\,f,g:I\to \bb R\sp{1.5},\,$ monotones et de même sens de variation.

Alors, $\,f+g\,$ est monotone et de même sens de variation sur $\,I\sp{1.5}.\,$

$\,f+g\,$ est strictement monotone si $f$ ou $\,g\,$ est strictement monotone.

somme de fonctions strictement croissantes, que $\,g:x\mapsto\op{e}^x-\e{-2\sp{1.5}x}\,$ est strictement croissante sur $\bb{R}\sp{1.5}.$

La fonction $\,f\,$ est l'inverse de $\,g\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $\,f=h\circ g\,$ pour $\,h:u\mapsto 1/u\,.\,$

Cette fonction d'

L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :

• $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
• $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$

inversion $\,h\,$ étant strictement décroissante sur chacun des intervalles $\,]\!-\!\I,\sp{1.5}0\sp{1.5}[\,$ et $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ la composée $\,f\,$ est strictement décroissante sur chacun des intervalles où $\,g\,$ ne s'annule pas.

La fonction $\,g\,$ étant

Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :

• croissante  ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
• strictement croissante  ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$

$f$ est de même décroissante ou strictement décroissante avec :

$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$

strictement croissante avec $\,g(0)=0\sp{1.5},\,$ elle est non nulle sur $\,]\!-\!\I,\sp{1.5}0\sp{1.5}[\,$ et sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}+\I[\,.\,$

On a ainsi établi que la fonction $\,f\,$ est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles.

En l'absence de forme

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

indéterminée, les limites de $g$ aux bornes de ces deux intervalles sont $\,-\I, \ 0^-, \ 0^+\,$ et $\,+\I\,.\,$

Par

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

inversion de ces limites, on obtient alors le tableau de variations de la fonction $f:$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-&&&0&&&\i+\sp{1.5}\hl &0&&&\w&\rr\i+\sl f(x)&&\dec&&\w&&\dec\sl &&&\i-\rr&\w&&&0}$}$

Représentation graphique de  $\,x\mapsto\smh{1}{\dfrac1{\e x-\e{-2\sp{1.5}x}}}\,$

La fonction $\,g:x\mapsto x^2-2\sp{1.5}x=(x-1)^2 - 1\,$ est la

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

composée à droite et à gauche de la fonction carré par $\,x\mapsto x-1\sp{1.5}.\,$

Selon les variations de la fonction

Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :

• continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
• continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$

De plus, elle sont paire ou impaire sur $\,\bb R\,$ ou $\,\bb R^{\ast}\!\,$ selon la parité de $\,k\sp{1.5}.\,$

carré, $\,g\,$ est strictement croissante pour $\,x\geq1\,$ et strictement décroissante pour $\,x\geq1\sp{1.5}.\,$

D'autre part, la fonction

La fonction valeur absolue : $\,x\mapsto|x|\sp{1.5},\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

De plus, elle est paire, et strictement croissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$

valeur absolue $\,h:y\mapsto |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\,$ est strictement croissante ou décroissante selon le signe de $\,x\sp{1.5}.\,$

Considérons la fonction composée  $\,k=h\circ g:x\mapsto|x^2-2\sp{1.5}x|=|x\sp{1.5}(x-2)|\sp{1.5}.\,$

$\,k\,$ a le même

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

sens de variation que $\,g\,$ là où $\,g(x)\geq0:\,$ sur $\,]\!-\!\I,\sp{1.5}0\sp{1.5}]\,$ et $\,[\sp{1.5}2,\sp{1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ et le sens contraire là où $\,g(x)\leq0:\,$ sur $\,[\sp{1.5}0,\sp{1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Enfin, la fonction $\,k\,$ étant positive, la fonction $\,f:x\mapsto\sqrt{k(x)}=\sqrt{|x^2-2\sp{1.5}x|}\,$ a les mêmes variations que $\,k\,.\,$

La fonction $\,f\,$ est en effet la

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

composée de $\,k\,$ par la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée, strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,\sp{1.5}+\I[\,.\,$

Par

Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$

équivalent de fonction polynomiale en $\,\pm\I\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\eq x{\pm\I}x^2,\,$ d'où : $\,\lim x{\pm\I}g(x)=+\infty\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :

$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$

composition avec la limite de la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :

$\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$

racine carrée, on a donc : $\,\lim x{\pm\I}f(x)=+\I\sp{1.5}.\,$

On en déduit le tableau de variations de la fonction $f:$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-&&0&&\ 1\ &&2&&\i+\hl &\i+&& &&1&& &&\i+\sl f(x)&&\dec&&\cr&&\dec&&\cr\sl &&&0&&&&0}$}$

Représentation graphique de  $\,x\mapsto\sqrt{|x^2-2\sp{1.5}x|}\,$