Sujet C.2.5 Adjoint d'un endomorphisme
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Exercice a
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f^{\ast}$ désignant l'endomorphisme adjoint de $f,$ comparer $\,\op{Ker}(f^{\ast})\,$ et $\,\op{Im}(f)^{\perp}.\,$
Que peut-on en conclure concernant son espace image : $\,\op{Im}(f^{\ast})\,?\,$
adjoint d'un endomorphisme
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
propriétés de l'adjoint d'un endomorphisme
Si $E$ est un espace euclidien, l'application $\,f\mapsto f^{\ast}\,$ est un endomorphisme de $\sc L(E)$ qui est :
- involutif : $\,\ptt f\app\sc L(E),\ (f^{\ast})^{\ast}=f,\,$
- et tel que : $\,\ptt (f,g)\app(\sc L(E))^2,\ (f\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}.\,$
adjoint et orthogonal d'un sous-espace stable
Si un sous-espace $F$ d'un espace euclidien $E$ est stable par $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5},\,$ alors $F^{\perp}$ est stable par $f^{\ast}:$
$\displaystyle{}f(F)\subset F\Imp f^{\ast}(F^\perp)\subset F^\perp$
matrice de l'adjoint d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B\sp{1.5},\,$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f^{\ast})=\smh0{\big(\op M_{\sc B}(f)\big)^T}$
indication
1
Utiliser l'équivalence : $\,f^{\ast}(x)=0\Ssi\ptt y\app E,\ \ps{f^{\ast}(x)}{y}=0\sp{1.5}.\,$
indication
2
Passer à l'orthogonal dans la relation établie entre $\,\op{Ker}(f^{\ast})\,$ et $\,\op{Im}(f)^{\perp}.\,$
réponse
On obtient d'abord la relation : $\,\op{Ker}(f^{\ast})=\op{Im}(f)^{\perp}.\,$
On en déduit ensuite l'identité : $\,\op{Im}(f^{\ast})= \op{Ker}(f)^{\perp}.\,$
correction
On a d'abord, par définition de
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
l'adjoint
de $f:$ $\,\ptt(x,y)\app E^2,\ \ps{f^{\ast}(x)}{y}=\ps x{f(y)}\!\cdot\,$
On peut déjà en conclure que le
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau
de $f^{\ast}$ est inclus dans
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$
L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :
l'orthogonal
de l'espace
$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
image
de $f\sp{1.5},$ car :
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
$\eqalign{ f^{\ast}(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\sp{-1.5}&\Imp\!\sp{-1.5}\ptt y\app E,\,\ps x{f(y)}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\ps{f^{\ast}(x)}{y}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0 \\
\txt{soit :} f^{\ast}(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\sp{-1.5}&\Imp\!\sp{-1.5}\ptt y\app E,\,x\perp f(y)}$
Cecii équivaut à : $\,x\app\op{Ker}(f^{\ast})\Imp x\app\op{Im}(f)^{\perp},\,$ c'est-à-dire à
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\,\op{Ker}(f^{\ast})\subset\op{Im}(f)^{\perp}\sp{1.5}.\,$
Ces implications sont en fait des équivalences ; en effet, pour $\,y=f^{\ast}(x),\,$ l'égalité $\,\ps{f^{\ast}(x)}{y}=0\,$ devient : $\,\|f^{\ast}(x)\|^2=0,\,$ soit : $\,f^{\ast}(x)=0\sp{1.5}.\,$
On a ainsi établi que : $\,x\app\op{Ker}(f^{\ast})\Ssi x\app\op{Im}(f)^{\perp},\,$ soit
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\,\op{Ker}(f^{\ast})=\op{Im}(f)^{\perp}\sp{1.5}.\,$
En appliquant cette égalité à l'endomorphisme $\,g=f^{\ast},\,$ on obtient : $\,g^{\ast}=(f^{\ast})^{\ast}=f\sp{1.5}\,$ par
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
Si $E$ est un espace euclidien, l'application $\,f\mapsto f^{\ast}\,$ est un endomorphisme de $\sc L(E)$ qui est :
involutivité
de $\,f\mapsto f^{\ast}\sp{1.5},\,$ d'où :
- involutif : $\,\ptt f\app\sc L(E),\ (f^{\ast})^{\ast}=f,\,$
- et tel que : $\,\ptt (f,g)\app(\sc L(E))^2,\ (f\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}.\,$
$\eqalign{\op{Ker}(f)=\op{Im}(f^{\ast})^{\perp}\txt{et donc :}\op{Ker}(f)^{\perp}=\big(\op{Im}(f^{\ast})^{\perp}\big)^{\perp}}$
Pour tout sous-espace $\,F\,$ de $\,E\sp{1.5},\,$ on a : $\,\ptt x\app F,\ \ptt y\app F^{\perp},\ x\perp y\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes :
$\,\ptt x\app F\sp{1.5},\ x\app\,(F^{\perp})^{\perp}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que : $\,F\subset(F^{\perp})^{\perp}.\,$
Étant euclidien, $E$ est de dimension finie $n,$
si bien que tout sous-espace $F$ est un
Dans un espace préhilbertien réel $E:$
supplémentaire
de son orthogonal, d'où :
- l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
- si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie, alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$
$\displaystyle{}\dim\big((F^{\perp})^{\perp}\big)\sp{-1.5}=n-\dim(F^{\perp})\sp{-1.5}=n-\big(n\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\dim F\big)\sp{-1.5}=\dim F$
Par égalité des
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Si on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie, alors :
dimensions,
on en conclut que : $\,(F^{\perp})^{\perp}=F\sp{1.5}.\,$
En posant $\,F=\op{Im}(f^{\ast}),\,$ on a finalement établi que : $\,\op{Im}(f^{\ast})= \op{Ker}(f)^{\perp}.\,$
- $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
- $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Dans un espace euclidien $E$ on considère :
- la projection orthogonale $p_F$ sur un sous-espace $F$ de $E\sp{1.5},$
- une isométrie vectorielle $g\sp{1.5},$
- l'endomorphisme $\,f=p_F\circ g\,.\,$
adjoint d'un endomorphisme
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
propriétés de l'adjoint d'un endomorphisme
Si $E$ est un espace euclidien, l'application $\,f\mapsto f^{\ast}\,$ est un endomorphisme de $\sc L(E)$ qui est :
- involutif : $\,\ptt f\app\sc L(E),\ (f^{\ast})^{\ast}=f,\,$
- et tel que : $\,\ptt (f,g)\app(\sc L(E))^2,\ (f\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}.\,$
adjoint et orthogonal d'un sous-espace stable
Si un sous-espace $F$ d'un espace euclidien $E$ est stable par $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5},\,$ alors $F^{\perp}$ est stable par $f^{\ast}:$
$\displaystyle{}f(F)\subset F\Imp f^{\ast}(F^\perp)\subset F^\perp$
matrice de l'adjoint d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B\sp{1.5},\,$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f^{\ast})=\smh0{\big(\op M_{\sc B}(f)\big)^T}$
indication
1
Commencer par montrer que $\,f^{\ast}\circ f\,$ est une projection orthogonale.
indication
2
Déterminer ensuite l'ensemble de ses vecteurs invariants.
réponse
$\,f^{\ast}\circ f\,$ est la projection orthogonale de $E$ sur le sous-espace $\,g^{-1}(F)\sp{1.5}.\,$
correction
Par la
Dans l'esemble des endomorphismes d'un espace euclidien $E:$
caractérisation
des
- les projecteurs autoadjoints sont exactement les projections orthogonales ;
- les involutions autoadjointes sont exactement les symétries orthogonales.
Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$
La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :
projections
orthogonales comme projecteurs
$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
autoadjoints,
on a : $\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
$\displaystyle{}p_F\circ p_F=p_F\txt{et}(p_F)^{\ast}=p_F$
D'autre part, $g$ étant une
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
isométrie
vectorielle, c'est un automorphisme de
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
réciproque :
$\,g^{\ast}=g^{-1}\sp{1.5}.\,$
Selon l'expression de l'adjoint d'une
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
Si $E$ est un espace euclidien, l'application $\,f\mapsto f^{\ast}\,$ est un endomorphisme de $\sc L(E)$ qui est :
composée,
on en déduit que :
- involutif : $\,\ptt f\app\sc L(E),\ (f^{\ast})^{\ast}=f,\,$
- et tel que : $\,\ptt (f,g)\app(\sc L(E))^2,\ (f\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}.\,$
$\eqalign{f^{\ast}&=(p_F\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ(p_F)^{\ast}=g^{-1}\circ p_F\\
\txt{et donc :}f^{\ast}\circ f&=(g^{-1}\circ p_F)\circ(p_F\circ g)=g^{-1}\circ p_F\circ g}$
On peut alors caractériser $\,f^{\ast}\circ f\,$ comme un
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteur
car :
$\eqalign{ (f^{\ast}\circ f)\circ(f^{\ast}\circ f)&=(g^{-1}\circ p_F\circ g)\circ(g^{-1}\circ p_F\circ g)\\&=g^{-1}\circ p_F\circ g=f^{\ast}\circ f}$
Ce projecteur est de plus autoadjoint puisque : $\,(f^{\ast}\circ f)^{\ast}=f^{\ast}\sp{-1.5}\circ\sp{-1.5}(f^{\ast})^{\ast}=f^{\ast}\circ f\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que $\,f^{\ast}\circ f\sp{1.5}\,$ est une
Dans l'esemble des endomorphismes d'un espace euclidien $E:$
projection
orthogonale.
On recherche alors l'ensemble des vecteurs $x\app E$ invariants par $\,f^{\ast}\circ f:\,$
- les projecteurs autoadjoints sont exactement les projections orthogonales ;
- les involutions autoadjointes sont exactement les symétries orthogonales.
$\eqalign{(f^{\ast}\circ f\sp{1.5})(x)=x&\Ssi(g^{-1}\circ p_F\circ g)(x)=x\\[-.5ex]
&\Ssi (p_F\circ g)(x)=p_F\big(g(x)\big)=g(x)\\[-.5ex] &\Ssi g(x)\,\app\, F\\[-.5ex]&\Ssi x\,\app\, g^{-1}(F)}$
On a ainsi établi que $\,f^{\ast}\circ f\,$ est la
Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$
La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :
projection
orthogonale de $E$ sur le sous-espace $g^{-1}(F)\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$
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Exercice c
Soit la matrice $\,A=\matr{2&-2&-1\\0&1&2\\1&-2&-2}\,$ et l'endomorphisme $\,f_{\sp{-1.5}A}:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}\,$ de $\bb R^3\sp{1.5}.$
Démontrer qu'il existe un unique plan de $\,\bb R^3\,$ stable par $\,f_{\sp{-1.5}A}\sp{1.5},\,$ et le déterminer.
adjoint d'un endomorphisme
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
propriétés de l'adjoint d'un endomorphisme
Si $E$ est un espace euclidien, l'application $\,f\mapsto f^{\ast}\,$ est un endomorphisme de $\sc L(E)$ qui est :
- involutif : $\,\ptt f\app\sc L(E),\ (f^{\ast})^{\ast}=f,\,$
- et tel que : $\,\ptt (f,g)\app(\sc L(E))^2,\ (f\circ g)^{\ast}=g^{\ast}\circ f^{\ast}.\,$
adjoint et orthogonal d'un sous-espace stable
Si un sous-espace $F$ d'un espace euclidien $E$ est stable par $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5},\,$ alors $F^{\perp}$ est stable par $f^{\ast}:$
$\displaystyle{}f(F)\subset F\Imp f^{\ast}(F^\perp)\subset F^\perp$
matrice de l'adjoint d'un endomorphisme
Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B\sp{1.5},\,$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f^{\ast})=\smh0{\big(\op M_{\sc B}(f)\big)^T}$
indication
1
Montrer qu'un plan stable par $f_{\sp{-1.5}A}$ est l'orthogonal d'une droite stable par son adjoint $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}.$
indication
2
Rechercher ensuite les sous-espaces propres de $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}.$
réponse
Le plan $P$ de $\,\bb R^3,\,$ d'équation $\,-x+y+z=0\sp{1.5},\,$ est l'unique plan stable par $\,f_{\sp{-1.5}A}:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
correction
\\(\OPEL\\)
On munit l'espace $\bb R^3$ de son
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
produit scalaire
canonique.
Si $P$ est un plan de $\bb R^3$
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$ est stable par $f\app\sc L(E)$ ssi : $\,f(F)\subset F.\,$
stable
par $f_{\sp{-1.5}A}\sp{1.5},$ son
Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$
L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :
orthogonal
$\,D=P^{\perp}\,$ est une droite
$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$
Si un sous-espace $F$ d'un espace euclidien $E$ est stable par $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5},\,$ alors $F^{\perp}$ est stable par $f^{\ast}:$
stable
par
$\displaystyle{}f(F)\subset F\Imp f^{\ast}(F^\perp)\subset F^\perp$
Soit $E$ un espace euclidien $E\,;$ l'adjoint de $\,f\app\sc L(E)\,$ est l'unique $\,f^{\ast}\app\sc L(E)\,$ tel que :
l'adjoint
$(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}$ de $f_{\sp{-1.5}A}\,.$
Toute droite stable par $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}$ est engendrée par un vecteur $U\neq0$ tel que $\,(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}(U)\app D\!=\!\op{Vect}(U)\sp{1.5}.\,$ Il en résulte qu'un tel vecteur $U$ est un
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app E^2,\ \ps{f(x)}{y}=\ps x{f^{\ast}(y)}$
- $f$ est un endomorphisme autoadjoint ssi $\,f^{\ast}\sp{-1.5}=f\sp{1.5};\,$
- $f$ est une isométrie vectorielle ssi $\,\big(f\app\op{GL}(E) \txt{et}f^{\ast}\sp{-1.5}=f^{-1}\big).\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
vecteur
propre de l'adjoint $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}.$
On recherche d'abord les valeurs propres de $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}$ dont la matrice dans la base canonique de $\bb R^3$ est la
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B\sp{1.5},\,$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5};\,$ alors :
transposée
de $A\sp{1.5}.$
Son polynôme
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f^{\ast})=\smh0{\big(\op M_{\sc B}(f)\big)^T}$
$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$
Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$
caractéristique
est
- Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
- la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
$\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$
Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :
égal
à celui de $A$ dont on simplifie le calcul par des
$\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$
Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \chi_{A^T}(X)=\chi_{A}(X)=&\detc{X-2&2&1\\0&\!\!X-1\!\!&\!\!\!-2\\\!\!\!-1&2&\!\!X+2}\\[.5ex]
\eg{C_2\ot C_2+2\sp{1.5}C_1}&\detc{X-2&\!\!2\sp{1.5}X-2&\!1\\0&\!\!X-1\!\!&\!\!\!\!-2\\\!\!\!-1&0&\!\!\!X+2}\\[.5ex]
=(X-1)&\detc{X-2&2&\sp{-1.5}1\\\ 0&1&\!\!\!\!-2\\\!\!-1&0&X+2}\\[.5ex]
\eg{C_3\ot C_3+2\sp{1.5}C_2}(X-1)&\detc{X-2&2&5\\\ 0&1&0\\\!\!-1&0&X+2}}$
On
Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :
développe
alors le dernier déterminant obtenu selon sa deuxième ligne, d'où :
- suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
- ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$
$\eqalign{\chi_{A^T}(X)=&(X-1)\detc{X-2&5\\ \!\!-1&X+2}=(X-1)(X^2+1)}$
$1$ étant la seule valeur propre réelle de $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast},$ on calcule le
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espace
propre associé :
$\displaystyle{}A^T\sp{-1.5}X-X=0:\ \Syst{x+z&=0\\[-.5ex]-2\sp{1.5}x-2\sp{1.5}z&=0\\[-.5ex]-x+2\sp{1.5}y-3\sp{1.5}z&=0}\ \ \Ssi -x=y=z$
On obtient ainsi l'unique droite $D\sp{1.5},$ stable par $(f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}:$
$\,D=E_1\big((f_{\sp{-1.5}A})^{\ast}\big)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ pour : $\displaystyle{}U\!=\!\matr{\!-1\,\\1\,\\1\,}$
Son orthogonal, qui est le plan $\,P=\op{Vect}(U)^{\perp}\,$
Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$ Alors pour $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5},\,$ l'hyperplan $H$ d'équation :
d'équation :
$\,-x+y+z=0\sp{1.5},\,$ est donc l'unique plan stable par $f_{\sp{-1.5}A}\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$
est l'hyperplan normal à $\,n=a_1\sp{1.5}e_1+\cdots+a_n\sp{1.5}e_n:\,$ $\,H=\op{Vect}(n)^{\perp}.\,$