exercices de mathématiques - prépa et université

La matrice $A$ étant

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$  est symétrique  ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$

Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$

symétrique et réelle, elle est orthogonalement diagonalisable d'après le théorème

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est symétrique  ssi  elle vérifie l'une des conditions équivalentes :

• $\sp{1.5}\bb R^n\sp{-1.5}$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $A\sp{1.5};$
• $\,\iex P\app\op O(n)\sp{1.5},\ \iex D\app\sc D_n(\bb R)\sp{1.5},\ A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$

spectral.

On calcule alors son polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique en le

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développant selon sa dernière ligne :

Avec $\,\op{Sp}(A)=\{\sp{1.5}0,\sp{1.5}3,-3\sp{1.5}\}\sp{1.5},\,$ l'espace $\bb R^3$ est donc la somme orthogonale de trois

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

droites propres.

On commence alors par calculer les sous-espaces propres : $\,E_0(A)\!=\!\op{Ker}(A)\,$ et $\,E_{3}(A):\,$

On a ainsi $\,E_0(A)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ $\,E_3(A)=\op{Vect}(V)\,$ et le vecteur $\,W,\,$ de

$\,\bb R^n\,$ est  un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$

En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$

produit scalaire nul avec $U$ et $V:$ $U,$ $V$ et $W$ sont non nuls et orhogonaux ; ils forment donc une

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

base orthogonale de $\bb R^3,$ si bien que :

Avec $\,\|U\|=\|V\|=\|W\|=3,\,$ on obtient : $\,A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T\!,\,$ où $P$ est la matrice

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale des vecteurs $U,\sp{1.5}V,\sp{1.5}W$ normalisés, et $D$ la matrice

$\,D\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est  diagonale, ce qui s'écrit : $\,D\app\sc D_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt i,j\app [\![1,n]\!],\ (i \neq j\imp d_{i,j}=0)$

$\,\sc D_n(\bb K)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\sc M_n(\bb K)$ de dimension $\,n.\,$

diagonale de leurs valeurs propres :

Par

Pour toutes matrices $A\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $B\app\sc M_{n,p}(\bb K),$ on a :

$\displaystyle{}(AB)^T=B^{\,T}\!A^T$

Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors on a aussi :

$\displaystyle{}(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

transposition d'un produit, on a : $\,(A^T\!\sp{-1.5}A)^T\!=A^T(A^T)^T\!=A^T\!\sp{-1.5}A\sp{1.5},\,$ si bien que la matrice $A^T\!\sp{-1.5}A$ est

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{R})\,$  est symétrique  ssi  $A^T=A,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,j}=a_{j,i}$

L'ensemble $\sc S_n(\bb{R})$ de ces matrices  est un sous-espace vectoriel de $\sc M_n(\bb{R})\sp{1.5}.$

symétrique.

Selon le théorème

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est symétrique  ssi  elle vérifie l'une des conditions équivalentes :

• $\sp{1.5}\bb R^n\sp{-1.5}$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $A\sp{1.5};$
• $\,\iex P\app\op O(n)\sp{1.5},\ \iex D\app\sc D_n(\bb R)\sp{1.5},\ A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$

spectral, il existe alors des matrices $P$

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale et $D$

$\,D\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est  diagonale, ce qui s'écrit : $\,D\app\sc D_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt i,j\app [\![1,n]\!],\ (i \neq j\imp d_{i,j}=0)$

$\,\sc D_n(\bb K)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\sc M_n(\bb K)$ de dimension $\,n.\,$

diagonale, telles que $\,A^T\!\sp{-1.5}A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$

Avec $\,P^T\!P=I_n\,$ on a par récurrence : $\,\ptt k\app\bb N,\ (P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T)^k=P\sp{1.5}D^k\sp{-1.5}P^T\,;\,$ en effet :

• $\,(PDP^T)^0=I_n=P\sp{1.5}D^0\sp{-1.5}P^T\,;\,$
• si : $\,(PDP^T)^k=P\sp{1.5}D^k\sp{-1.5}P^T,\,$ on a alors, par
  Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

  • $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
  • $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.
  associativité du produit matriciel :
  $\displaystyle{}(P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T)^{k+1}=P\sp{1.5}D^k(P^T\!P)\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T=P\sp{1.5}D^{k+1}\sp{-1.5}P^T$

On a donc : $\,(A^T\!\sp{-1.5}A)^p=(P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T)^p=P\sp{1.5}D^p\sp{-1.5}P^T\,;\,$ on va s'efforcer de montrer que : $\,A^p=0\Imp(A^T\!\sp{-1.5}A)^p=0\sp{1.5}.\,$

Vérifions d'abord par récurrence, que : $\,\ptt k\app\bb N,\ (A^T\sp{-1.5}A)^k=(A^T)^kA^k\,;\,$ en effet :

• pour $\,k=0:\,$ $\,(A^T\sp{-1.5}A)^0=I_n=I_n^2=(A^T)^0A^0\,;\,$
• si pour $k\app\bb N:$ $\,(A^T\sp{-1.5}A)^k=(A^T)^kA^k,\,$ on a alors par associativité du produit matriciel et avec $\,A^T\!\sp{-1.5}A=A\sp{1.5}A^T:\,$
  $\eqalign{(A^T\!\sp{-1.5}A)^{k+1}&=A^T\sp{-1.5}(A\sp{1.5}A^T)^kA=A^T\sp{-1.5}(A^T\!\sp{-1.5}A)^k\sp{-1.5}A\\&=A^T\sp{-1.5}(A^T)^k\sp{-1.5}A^k\sp{-1.5}A=(A^T)^{k+1}\sp{-1.5}A^{k+1}}$

Sachant que $\,A^p=0\sp{1.5},\,$ et que $A$ et $A^T$ commutent, on a par conséquent :

On en déduit, encore par associativité, que : $\,D^p=(P^T\!P)\sp{1.5}D^p(P^T\!P)=P^T\!(P\sp{1.5}D^p\sp{-1.5}P^T)P=0\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $\,D=0\,$ parce que les termes non nuls de $D^p$ seraient des $d_{i,i}^{\sp{1.5}p}$ et que :  $\,(d_{i,i}^{\sp{1.5}p}=0\Imp d_{i,i}=0)\sp{1.5}.\,$

On obtient ainsi : $\,A^T\!\sp{-1.5}A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T=0\sp{1.5},\,$ et selon l'écriture matricielle du

$\,\bb R^n\,$ est  un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$

En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$

produit scalaire, cela implique : Chaque colonne $C_j$ de $A$ est donc nulle, si bien que : $\,A=0\sp{1.5}.\,$

On a finalement établi que lorsque $\,A^p=0:\,$ $\,\ \big(A^T\sp{-1.5}\!A=A\sp{1.5}A^T\,\Imp\, A=0\big)\sp{1.5}.\,$

Si cette fonction $\phi$ présente un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum global en $X_0\app\bb R^n,$ on doit avoir : La matrice $A$ étant

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$  est symétrique  ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$

Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$

symétrique, on a, par propriété de la

Pour toutes matrices $A\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $B\app\sc M_{n,p}(\bb K),$ on a :

$\displaystyle{}(AB)^T=B^{\,T}\!A^T$

Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors on a aussi :

$\displaystyle{}(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

transposition : Selon

$\,\bb R^n\,$ est  un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$

En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$

l'écriture matricielle du produit scalaire, cela peut aussi s'écrire :

Par

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

bilinéarité du produit scalaire, on décompose alors $\,\phi(X_0+U)\sp{1.5},\,$ compte tenu de la relation $\,\ps{X_0}{A\sp{1.5}U}=\ps{A\sp{1.5}X_0}{U}=\ps U{A\sp{1.5}X_0}:\,$

La matrice $A$ étant

Pour $n\app\bb N^{\ast},$ une matrice $A\app\sc M_n(\bb R)$ est :

• symétrique positive  ssi $\,A\app\sc S_n(\bb R),\,$ avec : $\,\ptt X\app\bb R^n,\ X^T\!A\sp{1.5}X\geq 0\,;\,$
• symétrique définie positive  ssi $\,A\app\sc S_n(\bb R),\,$ avec : $\,\ptt X\app\bb R^n\!\setminus\!\{0\},\ X^T\!A\sp{1.5}X > 0.\,$

On note respectivement $\sc S_n^+(\bb R)$ et $\sc S_n^{++}(\bb R)$ les ensembles de ces matrices.

définie positive, on a :

Par

Toute implication entre deux propositions équivaut à sa contraposée :

$\,\sp{50}\big(\sp{1.5}\sc A\sp{-1.5}\Imp\sp{-1.5} \sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big(\op{non}\sc B \Imp \op{non}\sc A\sp{1.5}\big)\,$

contraposition, on a donc : $\,A\sp{1.5}U=0\,\Imp\, U=0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $A$ a pour

Le noyau de $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\,$ est le noyau de l'application linéaire $f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.$

$\displaystyle{}\op{Ker}(A)=\ens{X\app \bb K^n}{A\sp{1.5}X=0}$

Si $A$ a pour lignes $\,L_1,\dots,L_m\sp{1.5},\,$ alors $\,\op{Ker}(A)\,$ est caractérisé par les équations $\,L_i\sp{1.5}X=0\sp{1.5}.\,$

noyau : $\,\op{Ker}(A)=\{0\}\!\cdot\,$

Cela nous prouve que $A$ est

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est inversible ssi elle vérifie l'une de ces conditions :

• son noyau $\op{Ker}(A)$ est réduit à $\{0\}\sp{1.5};$
• ses colonnes $C_1,\dots,C_n$ engendrent $\bb K^n\,;$
• son rang $\op{rg}(A)$ est égal à $n\sp{1.5}.$

inversible ; en posant $\,X_0=A^{-1}\sp{-1.5}B,\,$ on obtient alors :

On a ainsi montré l'existence d'un unique

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum global de $\,\phi\,$ en $\,X_0=A^{-1}\!B,\,$ de valeur :

Sachant que $A$ est symétrique

Soit $\,A\app\sc S_n(\bb R)\,$ une matrice symétrique ; alors :

• $\,A\app\sc S_n^+(\bb R)\,\Ssi \op{Sp}(A)\subset [\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,;\,$
• $\,A\app\sc S_n^{++}(\bb R)\Ssi \op{Sp}(A)\subset\ \sp{-1.5}]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

définie positive à valeurs propres deux à deux distinctes, on peut écrire son

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre :

Selon le théorème

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est symétrique  ssi  elle vérifie l'une des conditions équivalentes :

• $\sp{1.5}\bb R^n\sp{-1.5}$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $A\sp{1.5};$
• $\,\iex P\app\op O(n)\sp{1.5},\ \iex D\app\sc D_n(\bb R)\sp{1.5},\ A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$

spectral, il existe une matrice $P$

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale telle que $\,A=PDP^T,\,$ où $\,D=\op{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\sp{1.5}.\,$

Soient alors $\,\Delta=\op{diag}\big(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n}\big)\,$ la matrice

$\,D\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est  diagonale, ce qui s'écrit : $\,D\app\sc D_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt i,j\app [\![1,n]\!],\ (i \neq j\imp d_{i,j}=0)$

$\,\sc D_n(\bb K)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\sc M_n(\bb K)$ de dimension $\,n.\,$

diagonale contenant leurs racines carrées, et la matrice $\,B=P\Delta P^T\sp{1.5}.\,$

Sachant que : $\,P^T\!P=I_n\sp{1.5},\,$ on obtient donc, par

Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

• $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
• $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.

associativité du produit matriciel :

On peut aussi remarquer que ce calcul reste valable pour toute matrice $\Delta$ de la forme : $\,\op{diag}\big(\pm\sqrt{\lambda_1},\dots,\pm\sqrt{\lambda_n}\big).\,$

Réciproquement, soit $B$ est une matrice quelconque de $\sc M_n(\bb R)$ telle que $B^2=A\,.$

Le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\,\chi_A(X)=(X-\lambda_1)\dots(X-\lambda_n)\,$ est

Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\,$ et $\,A\app\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(A)\app\sc M_n(\bb{K})\,$ par :

$\displaystyle{}P(A)=p_d\sp{1.5}A^d+\cdots+p_1\sp{1.5}A+p_0\sp{1.5}I_n$

Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $A$  ssi : $\,P(A)=0\sp{1.5}.\,$

annulateur de $A$ selon le théorème de

Toute $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ annule son polynôme caractéristique :  $\,\chi_A(A)=0\sp{1.5}.\,$

Cayley-Hamilton.

Il s'ensuit que le polynôme $\,\chi_A(X^2)=(X^2-\lambda_1)\dots(X^2-\lambda_n)\,$ est annulateur de $B.$

Les $\,\lambda_i>0\,$ étant deux à deux distincts, $\,\chi_A(X^2)\,$ est scindé à racines simples, et la matrice $B$ est donc

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  il existe un polynôme annulateur de $A$ scindé à racines simples.

diagonalisable.

Soit $\,U\neq0\,$ un

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

vecteur propre de $B$ de valeur propre $\mu\app\bb R\,;$ on a alors : $\,B\sp{1.5}U=\mu\sp{1.5}U,\,$ et donc : On peut en déduire que : $\,\mu^2=\lambda\app\op{Sp}(A)\sp{1.5},\,$ et que : $\,U\app E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

Dans ces conditions, $B$ se diagonalise dans la même base que $A,$ si bien que : Les solutions $B$ de l'équation $B^2=A$ sont donc toutes des matrices

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$  est symétrique  ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$

Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$

symétriques.

D'autre part, elles sont au

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

nombre des $2^n$ choix possibles pour les signes $+$ ou $-$ figurant dans la matrice $\Delta\sp{1.5}.$