Sujet C.2.3 Isométries vectorielles
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Exercice a
Soient, dans un plan euclidien orienté $P,$ une rotation $r$ d'angle $\theta$ et une réflexion $s$ d'axe $\Delta.$
Étudier l'endomorphisme $\,f=s\circ r\circ s\,$ en le caractérisant précisément.
isométries d'un espace euclidien
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une isométrie
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
rotation dans un plan euclidien orienté
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
rotation dans un espace euclidien orienté de dimension 3
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
indication
1
Démontrer que $f$ est une rotation de $P$ et trouver son angle $\theta^{\sp{1.5}\prime}$ en déterminant l'angle orienté $\,\big(\sp{1.5}\vec u,f(\vec u)\sp{-1.5}\big)\,$ pour un vecteur $\vec u\app P,$ de norme $1.$
indication
2
On peut aussi procéder plus directement en étudiant l'endomorphisme composé $\,f\circ r\sp{1.5}.\,$
réponse
L'endomorphisme $\,f=s\circ r\circ s\,$ est la rotation de $P$ d'angle $-\theta,$ c'est-à-dire que : $\,f=r^{-1}.\,$
correction
Les endomorphismes $r$ et $s$ appartenant au groupe $\op{O}(P)$ des
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
isométries
vectorielles, $\,f=s\circ r\circ s\,$ est une isométrie.
Elle a pour déterminant un
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de dimension finie $n\sp{1.5},$ $\,f,g\app\sc L(E)\,$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$ alors :
produit
de déterminants :
$\displaystyle{}\det(f\circ g)=\det(f)\det(g) \ \txt{et} \det(\lambda f)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(f)$
$\displaystyle{}\det(s\circ r\circ s)=\det(s)\det(r)\det(s)=(-1)\!\times\!1\!\times\!(-1)=1$
Ceci nous prouve que $f$ est une isométrie
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
directe,
soit plus précisément une
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
rotation
du plan $P.$
Pour déterminer l'angle $\theta^{\sp{1.5}\prime}$ de cette rotation, on considère un vecteur $\vec u\app P$ de norme $1$ et son image par $s:$ $\,\vec v=s(\vec u)\,.\,$
On sait que la
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$ La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :
réflexion
$\,s\,$ vérifie $\,s\circ s=\op{Id}_P\,$ et qu'en tant qu'isométrie, elle conserve le produit scalaire d'où :
$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$
On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$
Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
$\eqalign{\ps{\sp{1.5}\vec u}{f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})}&=\ps{s(s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}))}{s(r(s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})))}\\&=\ps{s(\vec v)}{s(r(\vec v))}=\ps{\sp{1.5}\vec v}{r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})}}$
D'autre part, $s$ étant de déterminant $-1\sp{1.5},$ elle
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $n\sp{1.5}.$
Il existe un unique scalaire : $\,\det(f)\app\bb K\sp{1.5},\,$ appelé déterminant de $f\sp{1.5},$ et tel que :
change
le signe du produit
$\displaystyle{}\det\nolimits_{\sc B}\big(f(u_1),\dots,f(u_n)\big)=\det(f)\det\nolimits_{\sc B}(u_1,\dots,u_n)$
pour toute base $\sc B$ de $E$ et pour tout $\,\sc U=(u_1,\dots,u_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
Soient ${\vec u}$ et ${\vec v}$ deux vecteurs dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5};$ alors :
$\det_{\sc B}(\vec u,\vec v)$ reste invariant dans toute base $\sc B$ orthonormale directe.
C'est le produit mixte de $({\vec u},{\vec v})\sp{1.5},$ noté : $\,\det(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\,$ ou $\,\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big].\,$
mixte,
si bien que :
$\eqalign{\big[\sp{1.5}\vec u,f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})\big]&=\big[s(s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})),s(r(s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})))\big]
=\big[s(\vec v),s(r(\vec v))\big]\\&=\det(s)\big[s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}),r(s(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}))\big]=-\big[\sp{1.5}\vec v,r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\big]}$
Les
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
angles
des rotations $r$ et $f$ correspondent à : $\,\theta\equiv\big(\sp{1.5}\vec v,r(\vec v)\sp{-1.5}\big)\,[2\sp{1.5}\pi]\,$ et $\,\theta^{\sp{1.5}\prime}\equiv\big(\sp{1.5}\vec u,f(\vec u)\sp{-1.5}\big)\,[2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
Étant donné que : $\,\|r(\vec v)\|=\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\|=\|s(\vec u)\|=\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\|=1,\,$ on les
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
Soient $\,\vec u\neq\vecc0\,$ et $\,\vec v\neq\vecc0\,$ dans un plan euclidien orienté $P\sp{1.5}.$ Une mesure de l'angle orienté de $\vec u$ et $\vec v$ est un réel $\,\theta\,$ tel que :
caractérise
par :
$\displaystyle{}\cos\theta=\frac{\ps{\vec u}{\vec v}}{\big\|\vec u\big\|\|\vec v\|}\txt{et}\sin\theta=\frac{\big[\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5}\big]}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$
Ce réel est unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5},$ et on écrit : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\bigg\{\eqalign{\,\cos\theta^{\sp{1.5}\prime}&=\ps{\sp{1.5}\vec u}{f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})}&=\ \,\ps{\sp{1.5}\vec v}{r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})}&=\ \cos\theta&=\cos(-\theta)\\
\,\sin\theta^{\sp{1.5}\prime}&=\big[\sp{1.5}\vec u,f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})\big]&=\!-\big[\sp{1.5}\vec v,r(\sp{1.5}\vec v\sp{1.5})\big]&=\!-\sin\theta&=\,\sin(-\theta)}\ $
On en déduit que : $\,\theta^{\sp{1.5}\prime}\equiv-\theta\,[2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5},\,$ si bien que $\,f=s\circ r\circ s\,$ est la rotation de $P$ d'angle $-\theta:$ $\,f=\rho_{-\theta}\,.\,$
En d'autres termes, $f$ est la réciproque de la rotation $r:$ $\,f=\rho_{-\theta}=(\rho_{\theta})^{-1}=r^{-1}.\,$
Si on a l'intuition de ce dernier résultat, on y parvient bien plus directement en composant $f$ par $r$ de sorte que :
$\displaystyle{}f\circ r=(s\circ r)\circ(s\circ r)$
L'isométrie vectorielle $\,s\circ r\,$ a alors pour déterminant : $\displaystyle{}\det(s\circ r)=\det(s)\det(r)=(-1)\times1=-1$
$\,s\circ r\,$ est donc une réflexion, et à ce titre elle est involutive, d'où : $\,f\circ r=(s\circ r)^2=\op{Id}_P\sp{1.5}\,.\,$ Cette dernière identité suffit à prouver que $f$ et $r$ sont des automorphismes
Soient, dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie, $\,f,\sp{1.5}g\app\sc L(E)\,$ tels que : $\,f\circ g=\op{Id}_E\,.\,$ Alors $f$ et $g$ sont des automorphismes de $E\sp{1.5},$ avec : $\,g=f^{-1}.\,$
réciproques,
avec : $\,f=r^{-1}\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3,$ muni d'une base orthonormale $\,\sc B=\big(\,\vec \imath,\sp{1.5}\vec \jmath,\sp{1.5}\vec k\,\big).\,$
Déterminer la nature géométrique de l'endomorphisme $f$ de $E$ ayant pour matrice dans la base $\sc B:$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\frac13\matr{2&\!\!-1&2\,\\\!-1&2&2\,\\2&2&\!\!-\,1}$
isométries d'un espace euclidien
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une isométrie
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
rotation dans un plan euclidien orienté
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
rotation dans un espace euclidien orienté de dimension 3
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
indication
Montrer que $f$ est une isométrie vectorielle et calculer l'ensemble de ses vecteurs invariants.
réponse
$f$ est la réflexion de plan $P$ d'équation : $\,x+y-2\sp{1.5}z=0,\,$ normal au vecteur $\,\vec n=\vec \imath+\vec \jmath-2\sp{1.5}\vec k\,.\,$
correction
Les colonnes $C_1,C_2,C_3$ de $\,\op{M}_{\sc B}(f)\,$ sont deux à deux
Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.
orthogonales,
et toutes de
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale ssi : $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale ssi elle est est orthogonale, avec : $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base orthonormale d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
Pour $u\app E$ et $v\app E,$ de coordonnées respectives $x_i$ et $y_i$ dans $\sc B\sp{1.5},$ on a :
norme
$\,1:\,$
- $\,\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ \,x_i=\ps{e_i}u\,;\,$
- $\,\ps uv=x_1\sp{1.5}y_1+\dots+x_n\sp{1.5}y_n\,;\,$
- $\,\|u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x_1^2+\dots+x_n^2}}\,.}\,$
$\eqalign{&\ps{C_1}{C_2}=\ps{C_2}{C_3}=\ps{C_1}{C_3}=0\\[-.5ex]
&\|C_1\|=\|C_2\|=\|C_3\|=\frac{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}3=1}$
Avec une matrice
$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale ssi ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :
orthogonale
dans la base orthonormale $\sc B,$ $f$ est une
$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$
Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$
Soit $E$ un espace euclidien muni d'une base orthonormale $\sc B\sp{1.5}.$
$f\app\sc L(E)$
est une isométrie ssi sa matrice dans $\sc B$ est orthogonale :
isométrie
vectorielle.
Un vecteur $\,\vec u=x\sp{1.5}\vec \imath+y\sp{1.5}\vec \jmath+z\sp{1.5}\vec k\app E\,$ est invariant par $f$ si et seulement si il vérifie le système linéaire :
$\displaystyle{}f\app\op{O}(E)\Ssi\op M_{\sc B}(f)\app\op{O}(n)$
$\eqalign{&\matr{2&-1&2\\-1&2&2\\2&2&-1}\!\matc{\,x\,\\y\\z}=3\!\matc{\,x\,\\y\\z}\\[.5ex]&\sp{32}\Ssi\Syst{-x-y+2\sp{1.5}z=0\\-x-y+2\sp{1.5}z=0\\ 2\sp{1.5}x+2\sp{1.5}y-4\sp{1.5}z=0}}$
Ce système équivaut à : $\,x+y-2\sp{1.5}z=\ps{\sp{1.5}\vec u}{\vec n\sp{1.5}}=0\,$ pour $\,\vec n=\vec \imath+\vec \jmath-2\sp{1.5}\vec k\,.\,$ L'ensemble des vecteurs invariants par $f$ est donc le plan $\,P=\op{Vect}(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5})^{\perp}\!,\,$
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$
d'équation
$\,x+y-2\sp{1.5}z=0\,.\,$
De plus, ce vecteur $\vec n$ est tel que : $\,f(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5})=-\vec n\,$ puisque : - L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie : $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
- Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.
$\displaystyle{}\frac13\matr{2&-1&2\\-1&2&2\\2&2&-1}\!\matr{1\ \\1\ \\\sp{-1.5}-2\ }=\matr{-1\ \\-1\ \\2\ }$
Étant donné que $\,\op{Vect}\big(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5}\big)=P^{\perp}\!,\,$ on a finalement établi que $f$ est la
Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$ La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :
réflexion
de plan $P.$
$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$
On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$
Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
On peut aussi ne pas calculer $f(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5}),$ en remarquant que $P$ étant stable par $f,$ son orthogonal $P^{\perp}$ est
Soient $E$ un espace euclidien, $\,f\app\op{O}(E)\,$ et $F$ un sous-espace de $E.$
stable
par $f\,.$ $\,P^{\perp}=\op{Vect}(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5})\,$ est donc une
- si $F$ est stable par $f,$ alors $\smh0{F^{\perp}}$ est stable par $f\,;$
- $\,\op{Sp}(f)\subset\big\{\!+1,-1\big\}\,$ avec : $\,E_1(f)\sp{-1.5}\perp\sp{-1.5} E_{-1}(f)\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
droite
propre de $f,$ associée à l'autre valeur propre possible : $-1\,.$
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Exercice c
\\(\OPEL\\)Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension $3,$ muni d'une base orthonormale directe $\,\sc B=\big(\,\vec \imath,\sp{1.5}\vec \jmath,\sp{1.5}\vec k\,\big).\,$
Déterminer la nature géométrique de l'endomorphisme $f$ de $E$ ayant pour matrice dans la base $\sc B:$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\frac19\matr{1&\ \ 8&\!\!-4\,\\\!-4&4&7\,\\8&1&4\,}$
isométries d'un espace euclidien
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une isométrie
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
rotation dans un plan euclidien orienté
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
rotation dans un espace euclidien orienté de dimension 3
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
indication
1
Commencer par montrer que $f$ est une rotation de $E\sp{1.5}.$
indication
2
Déterminer ensuite l'axe de cette rotation, puis une mesure de son angle modulo $2\sp{1.5}\pi.\sp{1.5}$
réponse
$f$ est la rotation d'axe $D,$ dirigé et orienté par $\,\vec n=\vec \imath+2\sp{1.5}\vec \jmath+2\sp{1.5}\vec k\sp{1.5},\,$ et d'angle de mesure $\,-\dfrac\pi2\!\cdot\,$
correction
Les colonnes $C_1,C_2,C_3$ de $\,\op{M}_{\sc B}(f)\,$ sont deux à deux
Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.
orthogonales,
et toutes de
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale ssi : $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
- $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale ssi elle est est orthogonale, avec : $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base orthonormale d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
Pour $u\app E$ et $v\app E,$ de coordonnées respectives $x_i$ et $y_i$ dans $\sc B\sp{1.5},$ on a :
norme
$\,1:\,$
- $\,\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ \,x_i=\ps{e_i}u\,;\,$
- $\,\ps uv=x_1\sp{1.5}y_1+\dots+x_n\sp{1.5}y_n\,;\,$
- $\,\|u\|=\smh{.5}{\sqrt{\smh{.2}{x_1^2+\dots+x_n^2}}\,.}\,$
$\eqalign{&\ps{C_1}{C_2}=\ps{C_2}{C_3}=\ps{C_1}{C_3}=0\\[-.5ex]
&\|C_1\|=\|C_2\|=\frac{\sqrt{1^2+4^2+8^2}}9=1\\[-1ex]
&\|C_3\|=\frac{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}9=1}$
Avec une matrice
$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale ssi ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :
orthogonale
dans la base orthonormale $\sc B,$ $f$ est une
$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$
Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$
Soit $E$ un espace euclidien muni d'une base orthonormale $\sc B\sp{1.5}.$
$f\app\sc L(E)$
est une isométrie ssi sa matrice dans $\sc B$ est orthogonale :
isométrie
vectorielle.
On calcule alors le déterminant de $\,A=9\sp{1.5}\op{M}_{\sc B}(f)\,$ par
$\displaystyle{}f\app\op{O}(E)\Ssi\op M_{\sc B}(f)\app\op{O}(n)$
Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$
opérations
élémentaires :
- $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
- $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
- $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\detr{1&\ \ 8&\!\!-4\,\\\!-4&4&7\,\\8&1&4\,}&\eg{C_2\ot C_2+C_1}
\detr{1&\ \ 9&\!\!-4\,\\\!-4&0&7\,\\8&9&4\,}\\[.5ex]&\sp{1.5}\eg{L_3\ot L_3-L_1}
\detr{1&\ \ 9&\!\!-4\,\\\!-4&0&7\,\\7&0&8\,}}$
Par
Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :
développement
selon $C_2,$ on obtient donc :
$\,\det(f)=\dfrac{\det(A)}{9^3}=-\dfrac1{9^2}\sp{1.5}\detr{\!-4&7\,\\7&8\,}=1\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que $f$ est une isométrie
- suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
- ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
directe
de $E$ et donc une
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
rotation.
Son axe est formé par ses vecteurs invariants : $\,\vec u=x\sp{1.5}\vec \imath+y\sp{1.5}\vec \jmath+z\sp{1.5}\vec k\app E,\,$ caractérisés par le système linéaire :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
$\eqalign{&\matr{1&\ \ 8&\!\!-4\,\\\!-4&4&7\,\\8&1&4\,}\!\matc{\,x\,\\y\\z}=9\!\matc{\,x\,\\y\\z}\\[.5ex]&\sp{12}\Ssi\Syst{-8\sp{1.5}x+8\sp{1.5}y-4\sp{1.5}z=0\\-4\sp{1.5}x-5\sp{1.5}y+7\sp{1.5}z=0\\ 8\sp{1.5}x+\ y\ -5\sp{1.5}z=0}}$
Par les
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires $\,\sc E_2\ot \sc E_2-\sc E_1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\,$ et $\,\sc E_3\ot \sc E_3+\sc E_1,\,$ on obtient, après simplifications :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{&f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})=\vec u\Ssi\syst{\,2\sp{1.5}x-2\sp{1.5}y+z=0\\[-.5ex]y-z=0}\\[0ex]\txt{soit :} \ &f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})=\vec u\Ssi2\sp{1.5}x=y=z}$
La rotation $f$ a donc pour axe la droite : $\,D=\op{Vect}(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5}),\,$ pour $\,\vec n=\vec \imath+2\sp{1.5}\vec \jmath+2\sp{1.5}\vec k\sp{1.5}.\,$
$D$ étant orienté par $\vec n,$ l'angle de cette rotation a pour mesure un réel $\,\theta\,$ que l'on détermine avec la
La trace de $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la somme de ses termes diagonaux :
trace
de sa matrice : $\displaystyle{}\op{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{i,\sp{1.5}i}$
$\eqalign{&2\cos\theta+1=\op{tr}\big(\op{M}_{\sc B}(f)\big)=1\\[.5ex]\txt{d'où :}\ &\cos\theta=0\Ssi\theta\equiv \pm\frac\pi2\,[2\sp{1.5}\pi]}$
L'expression en fonction de $\vec n$ du
Soit $E$ un espace euclidien orienté, de base orthonormale directe $\,\sc B=(\ \vecc{\imath},\sp{1.5}\vecc{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\ )\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\vecc u=x_1\vecc{\imath}+y_1\vecc{\jmath}+z_1\vecc k\,,\,$ $\,\vec v=x_2\vecc{\imath}+y_2\vecc{\jmath}+z_2\vecc k\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit vectoriel
$\,\vec u\wedge f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})\,$ pour un vecteur $\,\vec u\perp D\,$ va nous
$\displaystyle{}\vecc u\wedge\sp{-1.5}\vecc v\,=\detc{y_1\!\!&\!\!y_2\\[-.5ex]z_1\!\!&\!\!z_2}\ \vecc{\imath}+\detc{z_1\!\!&\!\!z_2\\[-.5ex]x_1\!\!&\!\!x_2}\ \vecc{\jmath}+\detc{x_1\!\!&\!\!x_2\\[-.5ex]y_1\!\!&\!\!y_2}\,\vecc k$
Soit $f$ une rotation d'un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$
Avec son axe orienté par $\vecc k$ unitaire et son angle de mesure $\,\theta\sp{1.5},\,$ on a :
fournir
le signe de $\,\sin\theta\sp{1.5}.\,$
Avec $\,\vec u=\vec \jmath-\vec k\,\,$ on obtient $\,\,f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})=\dfrac13\sp{1.5}(4\sp{1.5}\vec \imath-\vec\jmath-\vec k\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\ptt\vec u\sp{-1.5}\perp\!\vecc k\!, \ \ \vec u\wedge f(\vec u)=\|u\|^2\sp{1.5}\sin\theta\,\vecc k$
$\eqalign{3\,\vec u\wedge f(\sp{1.5}\vec u\sp{1.5})&=\detr{1\!\!&\!-1\\[-.5ex]-1\!\!&\!-1}\ \vec{\imath}+\detr{-1\!\!&\!-1\\[-.5ex]0\!\!&\!4}\ \vec{\jmath}+\detr{0\!\!&\!4\\[-.5ex]1\!\!&\!-1}\,\vec k\\
&=-2\sp{1.5}\vec \imath-4\sp{1.5}\vec \jmath-4\sp{1.5}\vec k=-2\,\vec n}$
On en déduit que $\,\sin\theta < 0\sp{1.5},\,$ si bien que : $\,\theta\equiv -\dfrac\pi2\,[2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
L'endomorphisme $\,f\,$ est donc la rotation d'axe $D,$ dirigé et orienté par $\,\vec n=\vec \imath+2\sp{1.5}\vec \jmath+2\sp{1.5}\vec k\sp{1.5},\,$ et d'angle de mesure $\,-\dfrac\pi2\!\cdot\,$
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Exercice d
Soient, dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3,$ deux rotations vectorielles $f$ et $g$ distinctes de l'identité.
Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes, sur leurs axes et leurs angles, pour que : $\,f\circ g=g\circ f.\,$
isométries d'un espace euclidien
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
déterminant d'une isométrie
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ le déterminant de $\,f\app\op{O}(E)\,$ est :
- soit $\,\det(f)=+1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie directe,
- soit $\,\det(f)=-1\sp{1.5},\,$ et alors $f$ est une isométrie indirecte.
rotation dans un plan euclidien orienté
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
rotation dans un espace euclidien orienté de dimension 3
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
indication
1
Si $f$ a pour axe $\,D_1=\op{Vect}(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})\sp{1.5},\,$ simplifier $\, f\big(g(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})\sp{-1.5}\big),\,$ et en déduire que : $\,g(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})=\pm\vec n_{\sp{-1.5}1}.\,$
indication
2
Déterminer les positions relatives des axes de $f$ et $g,$ selon que $\,g(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})=\vec n_{\sp{-1.5}1}\,$ ou $\,g(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})=-\vec n_{\sp{-1.5}1},\,$ et dans ce dernier cas préciser leurs angles.
réponse
Les rotations $f$ et $g$ commutent dans exactement deux cas :
- si $f$ et $g$ sont deux rotations de même axe ;
- si $f$ et $g$ sont deux symétries orthogonales d'axes orthogonaux.
correction
On considère deux
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
rotations
de $E:$$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
- $\,f\sp{1.5},\,$ d'axe $\,D_1\,$ dirigé et orienté par $\,\smh0{\vec {n_1}}\,$ et d'angle $\theta_1\sp{1.5},$
- $\,g\sp{1.5},\,$ d'axe $\,D_2\,$ dirigé et orienté par $\,\smh0{\vec {n_2}}\,$ et d'angle $\theta_2\sp{1.5}.$
$\displaystyle{} f\big(g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)\big)=(f\circ g)(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)=(g\circ f)(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)=g\big(f(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)\big)=g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)$
On en conclut que $g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)$ est invariant par $f$ et appartient donc au
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espace
propre $E_1(f):$
$\displaystyle{}g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)\app E_1(f)=D_1=\op{Vect}(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)$
$\,g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)\,$ est ainsi colinéaire à $\vec {n_1}\!,$ et il a la même norme car $\,g\,$ est une
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
$f$ est isométrie vectorielle de $E$ ssi : $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|f(u)\|=\|u\|\sp{1.5}.\,$
isométrie
vectorielle.
Deux vecteurs de même norme appartenant à une même droite vectorielle sont, soit égaux, soit opposés :- Ces isométries conservent le produit scalaire ;
- ce sont des automorphismes de $E\,;$
- elles forment le groupe orthogonal : $\,(\op{O}(E),\circ)\sp{1.5}.\,$
- Si $\,g(\sp{1.5}\vec n_{\sp{-1.5}1}\sp{-1.5})=\vec n_{\sp{-1.5}1},\,$ on a alors : $\,\vec n_{\sp{-1.5}1}\app E_1(g)=D_2\sp{1.5},\,$
d'où
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$l'inclusion : $\,D_1=\op{Vect}(\vec{n_1})\subset D_2\sp{1.5}.\,$ Du fait des$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$ Si on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie, alors :dimensions égales, on en déduit $\,D_1=D_2:\,$ $f$ et $g$ ont le même axe.
- $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
- $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
- Si $\,g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)=-\Vec n_{\sp{-1.5}1},\,$ on alors $\,\vec {n_1}\app E_{-1}(g)\sp{1.5},\,$ et donc : $\,D_1=\op{Vect}(\vec{n_1})\subset E_{-1}(g)\sp{1.5}.\,$
Sachant que $D_2=E_{1}(g)$ et $E_{-1}(g)$ sont
Soient $E$ un espace euclidien, $\,f\app\op{O}(E)\,$ et $F$ un sous-espace de $E.$orthogonaux, on a $\,D_1\perp D_2:\,$ $f$ et $g$ ont leurs axes orthogonaux. De plus, avec $\,\vec {n_1}\app D_2^{\perp},\,$ le vecteur $\,g(\sp{-1.5}\vec {n_1}\!)=-\vec {n_1}\,$ est l'image de $\vec {n_1}$ par la
- si $F$ est stable par $f,$ alors $\smh0{F^{\perp}}$ est stable par $f\,;$
- $\,\op{Sp}(f)\subset\big\{\!+1,-1\big\}\,$ avec : $\,E_1(f)\sp{-1.5}\perp\sp{-1.5} E_{-1}(f)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$ Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :rotation $\,g\restr{D_2^{\perp}}\,$ du plan $\,D_2^{\perp}\sp{-1.5},\,$ d'angle $\theta_2\,.$ Cet angle a alors pour$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$ $\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$ Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$mesure : $\,\theta_2\equiv\smh0{(\sp{1.5}\vec {n_1},-\vec {n_1}}\sp{-1.5})\equiv\pi\,[2\,\pi]\,$ et $\,g\,$est donc la rotation d'axe $D_2$ et d'angle $\pi\sp{1.5}.$ Par comparaison des matrices réduites, $\,g\,$ est aussi la$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$ La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :symétrie orthogonale $s_{D_2}$ d'axe $D_2\sp{1.5}.$$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$ Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
- soit $f$ et $g$ sont deux rotations de même axe,
- soit $f$ et $g$ sont deux symétries orthogonales d'axes orthogonaux.
- si $\,D_1=D_2=D\sp{1.5},\,$ avec $\,P=D^{\perp}\sp{1.5},\,$ alors $\, f\restr D=g\restr D=\op{Id}_D,\,$ et $f\restr P$ et $g\restr P$ commutent en tant que rotations du plan $P\sp{1.5}.$
On en déduit alors que $\,f\circ g=g\circ f\,$ car ces composées
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, et $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces de $E$ tels que $\,E=F_1\oplus F_2\sp{1.5}.\,$ Si $\,f_1\app\sc L(F_1,E')\,$ et $\,f_2\app\sc L(F_2,E')\sp{1.5},\,$ alors il existe une unique $f\app\sc L(E,E')$ telle que :coïncident sur $\,E=P\oplus D\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}f\restr{F_1}=f_1\txt{et}f\restr{F_2}=f_2$Cette propriété s'étend aux cas de $\,p\,$ sous-espaces supplémentaires : $\,E=F_1\oplus\cdots\oplus F_p\sp{1.5}.\,$
- si $\,D_1\perp D_2\,$ et si $f$ et $g$ sont les symétries orthogonales $s_{D_1}$ et $s_{D_2}$ d'axes $D_1$ et $D_2\sp{1.5},$ soit un vecteur directeur $\vec w$ de $\,\Delta=(D_1\oplus D_2)^{\perp},\,$ comme le
Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$produit vectoriel $\,\vec w=\vec{n_1}\wedge\vec{n_2}\sp{1.5};\,$ on obtient ainsi une
- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
- si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
- $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$
Dans un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3:$base orthogonale de $E:$ $\,\sc B=(\sp{1.5}\vec{n_1},\vec{n_2},\vec{w}\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ avec :- $\,(\,\vec u,\vec v\,)\mapsto\vec u\wedge\vec v\,$ est bilinéaire et antisymétrique ;
- $\,\vec u\wedge\vec v=\vecc0\,$ si et seulement si $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ;
- $\,\vec u\wedge\vec v\,$ est orthogonal à $\,\vec u\,$ et à $\,\vec v\,;\,$
- si $\,\vec u\wedge\vec v\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ $\,(\,\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\,)\,$ est une base directe ;
- $\,\big\|\,\vec u\wedge\vec v\,\big\|=\big\|\sp{1.5}\vec u\sp{1.5}\big\|\big\|\sp{1.5}\vec v\sp{1.5}\big\|\sin\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha=\smh{.75}{\widehat{\smh{.6}{\,\vec u,\sp{-1.5}\vec v\,}}}.\,$
$\eqalign{&\ f(\sc B)\!=\!(\sp{1.5}\vec{n_1},-\vec{n_2},-\vec{w})\sp{1.5},\ g(\sc B)\!=\!(-\vec{n_1},\vec{n_2},-\vec{w})\\[-.5ex] &\txt{et :} (f\circ g)(\sc B)=(-\vec{n_1},-\vec{n_2},\vec{w})=(g\circ f)(\sc B)}$$\,\sc B\,$ ayant la mêmeSoient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E\sp{1.5};$ alors :image par $\,f\circ g\,$ et $\,g\circ f\sp{1.5},\,$ on a : $\,f\circ g=g\circ f\sp{1.5};\,$ cette isométrie est la$\displaystyle{}\ptt f,g\app\sc L(E,E')\sp{1.5},\ \big(f=g\Ssi f(\sc B)=g(\sc B)\big)$Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$ La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :symétrie orthogonale d'axe $\Delta\,.$$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$ Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$
- si $\,f\,$ et $\,g\,$ sont deux rotations de même axe ;
- si $\,f\,$ et $\,g\,$ sont deux symétries orthogonales d'axes orthogonaux.