exercices de mathématiques - prépa et université

On note $\,\sc M_n(\bb Z)\,$ l'ensemble des matrices à coefficients entiers, et on considère $\,A\app\op{O}(n)\cap\sc M_n(\bb Z)\sp{1.5}.\,$

Les colonnes $C_1,\dots,C_n$ de $A$ forment une base

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormale de $\bb R^n,$ par définition des matrices

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonales.

• Les $\,\|C_j\|^2=1\,$ étant des sommes d'entiers positifs, chaque $C_j$ contient $\,n\!-\!1\,$ zéros et un seul $\,a_{i,j}=\pm1\sp{1.5}.\,$
  Chaque $C_j$ est donc égale en valeur absolue, à l'un des vecteurs $\delta_{k_j}$ de la base
  L'espace vectoriel $\,\bb K^n\,$ est  de dimension $\,n\,$ et de base canonique $\,\sc{B}_c=(\delta_1,\dots,\delta_n)\sp{1.5},\,$ avec :

  $\displaystyle{}\delta_j=[\delta_{i,j}]_{1\leq i\leq n}\,,\txt{pour}\! \syst{&\delta_{j,j}=1\\[-.5ex] &\delta_{i,j}=0\txt{si}\,i\neq j}$
  canonique $\,(\delta_1,\dots,\delta_n)\,$ de $\bb R^n.$

• L'orthogonalité des $C_j$ impose que : $\,i\neq j\Imp k_i\neq k_j\,.\,$
  L'application $\,\phi:j\mapsto k_j\,$ est alors
  Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$

  $\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
  injective de $[\![1,n]\!]$ dans lui-même, et donc
  Soient $\,E\,$ et$\,E'\,$ deux ensembles finis de même cardinal ; alors :

  • $\,f:E\to E'\,$ est une bijection  ssi  $f$ est injective ;
  • $\,f:E\to E'\,$ est une bijection  ssi  $f$ est surjective.
  bijective car : $\,\op{card}\sp{1.5}(\phi([\![1,n]\!])=n\sp{1.5}.\,$
  $\,\phi\,$ est donc l'une des permutations de cet ensemble, qui sont au
  L'ensemble $\sc S(E)$ des permutations d'un ensemble $E$ fini de cardinal $\,n\,$ est  fini, avec :

  $\displaystyle{}\op{card}\big(\sc S(E)\big)=n\sp{1.5}!$
  nombre de $\,n\sp{1.5}!\,$

On a ainsi établi qu'un matrice $\,A=[C_1,\dots,C_n]\,$ de $\,\op{O}(n)\cap\sc M_n(\bb Z)\,$ s'obtient :

• en permutant d'abord les termes de la base canonique de $\bb R^n,$
• puis en affectant ensuite arbitrairement un signe $\,+\,$ ou $\,-\,$ à chaque colonne.

On obtient ainsi $\,2^n\,$

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

possibilités pour chacune des $\,n\sp{1.5}!\,$ permutées de $\,(\delta_1,\dots,\delta_n)\sp{1.5}.\,$

Réciproquement, chaque matrice ainsi obtenue est bien orthogonale, car les permutations et les changements de signes n'affectent pas le caractère orthonormal d'une famille de vecteurs.

Chaque solution correspond donc exactement à l'un des $\,2^n\,n\sp{1.5}!\,$

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

couples $\,(\phi,\sigma)\,$ pour $\,\sigma\app\,\{1,-1\}^n.\,$

On a finalement démontré qu'il existe $\,2^n\sp{1.5}n\sp{1.5}!\,$ matrices orthogonales à coefficients dans $\,\bb Z\sp{1.5}.\,$

L'identification de $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R)$ permet d'écrire matriciellement le

$\,\bb R^n\,$ est  un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$

En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$

produit scalaire de $\bb R^n\!:$

On calcule la

La transposée de $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\,$  est  $\,A^T\app\sc M_{p,n}(\bb K)\,$ telle que :

$\eqalign{&A=\smb{1}{[\sp{1.5}a_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}}\txt{et}A^T=\smb1{[\sp{1.5}b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}}\\ &\!\!\txt{avec :}\ptt (i,j)\app\,[\![1,p]\!]\!\times\![\![1,n]\!],\ b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}}$

• $A\mapsto A^T$ est un isomorphisme entre $\sc M_{n,p}(\bb K)$ et $\sc M_{p,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
• On a de plus :  $\,\ptt A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},\ (A^T)^T=A\sp{1.5}.\,$

transposée $A^T$ de $A$ et il s'avère, par

Pour toutes matrices $A\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $B\app\sc M_{n,p}(\bb K),$ on a :

$\displaystyle{}(AB)^T=B^{\,T}\!A^T$

Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors on a aussi :

$\displaystyle{}(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

transposition d'un produit, que $A$ est

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$  est symétrique  ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$

Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$

symétrique :

On vérifie que $A$ est

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale en montrant que : $\,A^T\!A=A^2=\big(I_n-2\sp{1.5}U\sp{1.5}U^T\big)^{\!2}=I_n\,.\,$

En effet, la matrice $I_n$ commute avec $\,2\sp{1.5}U\sp{1.5}U^T,\,$ et on peut appliquer la formule du

Pour $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N,$ on a :

$\displaystyle{}(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binome{p\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,p-k}$

On en déduit en particulier les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2\sp{-1.5}B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$

binôme :

Cette dernière simplification résulte de l'égalité : $\,U^TU=\ps UU=\|U\|^2=1\sp{1.5}.\,$

Étant donné que $U$ est non nul, on a pour tout $X\app\bb R^n:$

L'ensemble $\,\op{Ker}(f_A-\op{Id}_E)\,$ des vecteurs invariants par $f_A$ est donc

Soient $E$ un espace euclidien de base orthonormale $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

 Alors  pour $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5},\,$ l'hyperplan $H$ d'équation :

$\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$

 est  l'hyperplan normal à $\,n=a_1\sp{1.5}e_1+\cdots+a_n\sp{1.5}e_n:\,$ $\,H=\op{Vect}(n)^{\perp}.\,$

l'hyperplan  $\,H=\op{Vect}(U)^{\perp}.\,$

Enfin, avec $\,f_A(U)=U-2\,\|U\|^{\sp{-1.5}2}\sp{1.5}U=-\,U\,,\,$ l'endomorphisme $f_A$ s'explicite comme suit :

L'endomorphisme $f_A$ est donc la

Soit dans un espace euclidien $E,$ un sous-espace vectoriel $F.$

La symétrie orthogonale par rapport $F$ est l'application $\,\sigma_F\app \op{O}(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth{2}\sigma_F:\syst{\,E&=F\oplus{ F^{\perp}}\!\to F\oplus{ F^{\perp}}\\[-.5ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v-w}$

On a alors : $\,\sigma_F\circ\sigma_F=\op{Id}_E,\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(\sigma_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,F^{\perp}=\op{Ker}(\sigma_F+\op{Id}_E).\,$

Si $F$ est un hyperplan $H,$ $\,\sigma_H\,$ est la réflexion d'hyperplan $H.$

réflexion de $\bb R^n,$ d'hyperplan :  $\,H=\op{Vect}(U)^{\perp}.\,$

On va multiplier à gauche la relation $\,I_n=A+B\,$ par la matrice

La transposée de $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\,$  est  $\,A^T\app\sc M_{p,n}(\bb K)\,$ telle que :

$\eqalign{&A=\smb{1}{[\sp{1.5}a_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}}\txt{et}A^T=\smb1{[\sp{1.5}b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}}\\ &\!\!\txt{avec :}\ptt (i,j)\app\,[\![1,p]\!]\!\times\![\![1,n]\!],\ b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}}$

• $A\mapsto A^T$ est un isomorphisme entre $\sc M_{n,p}(\bb K)$ et $\sc M_{p,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
• On a de plus :  $\,\ptt A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},\ (A^T)^T=A\sp{1.5}.\,$

transposée $A^T\sp{1.5}.$

Sachant que $A$ est

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale, on a : $\,A^T\!A=I_n,\,$ et on obtient alors la relation :

Dans le terme droit de cette dernière égalité, on substitue à $A^T$ la matrice $\,(I_n-B)^T=I_n-B^{\sp{1.5}T},\,$ d'où :

$B$ étant aussi orthogonale, on a également : $\,B^{\sp{1.5}T}\sp{-1.5}B=I_n\sp{1.5},\,$ d'où la relation : $\,A^T=B\,;\,$ la matrice $B$ est bien la transposée de $A\sp{1.5}.$

La relation $\,I_n=A+B\,$ devient alors $\,I_n=A+A^T,\,$ soit en multipliant à droite par $A:$

Étant donné que $\,A\sp{1.5}I_n=I_nA,\,$ on peut appliquer la formule de

Pour $A,B\app\sc M_n(\bb K)$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N^{\ast},$ on a :

$\displaystyle{}A^p-B^{\sp{1.5}p}=(A-B)\sp{1.5}\Big(\dsum_{k=0}^{p-1}A^k\sp{1.5}B^{\,p-1-k}\Big)$

On en déduit en particulier les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B),\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$

Bernoulli :

Sachant que $\,A^2-A+I_n=0,\,$ on en déduit : $\,A^3=-I_n\sp{1.5}.\,$

Par déterminants de

Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$  alors :

$\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$

produits, cette relation $\,A^3=-I_n\,$ implique que :

• Lorsque $\,n=2\sp{1.5},\,$ on a : $\,\det(A)=1\sp{1.5},\,$ et donc
  Une matrice orthogonale $A$ d'ordre $n\app\bb N^{\ast}$ a pour déterminant $+1$ ou $-1\sp{1.5}.$

  • si $\,\det(A)=+1,\,$ $A$ est une matrice orthogonale directe ;
  • si $\,\det(A)=-1,\,$ $A$ est une matrice orthogonale indirecte.

  Les matrices orthogonales directes forment le groupe spécial orthogonal $(\op{SO}(n),\times)\,.$
  $\,A\app\op{SO}(2)\,;\,$ $A$ a alors pour
  Toute matrice de $O(2)$ a l'une des deux formes suivantes, pour $\theta\app\bb R:$

  $\displaystyle{}R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta} \txt{ou}\ S_{\theta}=\matr{\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&\!\!-\cos\theta}$

  • Les matrices $R_\theta$ forment le groupe $\big(\op{SO}(2),\times\big)\sp{1.5};$
  • avec : $\,R_{\sp{1.5}\theta_1}\,R_{\sp{1.5}\theta_2}=R_{\sp{1.5}\theta_1+\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(2),\times\big)$ est commutatif.
  forme :
  $\displaystyle{}A=\matr{\cos\theta&\!\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta},\txt{pour} \theta\app\bb R$
  La relation $\,A+A^T=I_2\,$ nous permet de déterminer la valeur de $\theta:$
  $\displaystyle{}A+A^T=2\sp{1.5}\cos\theta\,I_2=I_2\Ssi\cos\theta=\smh1{\frac12}$
  On obtient $\,\theta\equiv\pm\smh{.5}{\dfrac{\pi}3}\,[2\sp{1.5}\pi]\,;\,$ il existe donc deux matrices $\,A\app\op{O}(2)\,$ telles que $\,A+A^T=I_2\sp{1.5}.\,$

• Lorsque $\,n=3\sp{1.5},\,$ on a $\,\det(A)=-1\,$ et donc
  Une matrice orthogonale $A$ d'ordre $n\app\bb N^{\ast}$ a pour déterminant $+1$ ou $-1\sp{1.5}.$

  • si $\,\det(A)=+1,\,$ $A$ est une matrice orthogonale directe ;
  • si $\,\det(A)=-1,\,$ $A$ est une matrice orthogonale indirecte.

  Les matrices orthogonales directes forment le groupe spécial orthogonal $(\op{SO}(n),\times)\,.$
  $\,-A\app\op{SO}(3)\,$ serait une matrice de
  Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$

  Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :

  $\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$

  $\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$

  $\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
  rotation.
  Avec un vecteur invariant $\,X\app\bb R^3,\ X\neq0,\,$ tel que $\,-A\sp{1.5}X=X,\,$ on aurait une contradiction car :
  $\eqalign{(A^2-A+I_3)X&=A(A\sp{1.5}X)-A\sp{1.5}X+X\\&=A(-X)+2\sp{1.5}X=3\sp{1.5}X\neq0}$
  Il n'existe donc aucune matrice $\,A\app\op{O}(3)\,$ telle que $\,A+A^T=I_3\sp{1.5}.\,$

En posant $\,A=\dfrac 1{\sqrt n}\sp{1.5}H\,,\,$ on obtient $\,A^T\!A=I_n,\,$ c'est-à-dire que la matrice $A$ est

$A\app\sc M_n(\bb R)$ est orthogonale  ssi  ses colonnes (ou ses lignes) sont orthonormales :

$\displaystyle{}A\app \op{O}(n)\Ssi A^T\!A=I_n$

Ces matrices sont inversibles ; elles forment le groupe orthogonal : $(\op{O}(n),\times)\,.$

orthogonale.

Les colonnes $C_j$ de $A$ sont donc

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormales ; on écrit alors qu'elles sont toutes de norme $1:$ On en déduit que $\,\smh1{\dsum_{i=1}^nh_{i,j}^2=n}\,$ et on sait par hypothèse que les $h_{i,j}$ sont tels que $\,|h_{i,j}|\leq1\sp{1.5}.\,$

Si au moins un des $\,h_{i,j}^2\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ prenait une valeur $\,\alpha <1\sp{1.5},\,$ on aurait alors contradictoirement :

On a ainsi établi que, pour tout $(i,j)\app\,[\![1,n]\!]^2:$ $\,h_{i,j}^2=1,\,$ c'est-à-dire : $\,h_{i,j}\app\,\{-1,+1\}\!\cdot\,$

On étudie maintenant l'existence de telles matrices $H$ dans quelques cas particuliers :

• Lorsque $\,n=2,\,$ il existe de telles matrices $H,$ comme $\,\matr{\,1&1\,\\1&\!\!\!-1\,}\,$ ou $\,\matr{1&\,1\,\\\!-1&1\,}\!\cdot\,$
• Lorsque $\,n=3,\,$ par déterminant d'une
  Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :

  $\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$

  Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$
  transposée et d'un
  Soient, pour $n\app\bb N^{\ast},$ deux matrices carrées $A$ et $B$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K\sp{1.5};$  alors :

  $\displaystyle{}\det(AB)=\det(A)\sp{-1.5}\det(B) \ \txt{et} \det(\lambda A)=\lambda^n\sp{-1.5}\det(A)$
  produit, on aurait :
  $\eqalign{\det(H)^2&=\det(H^T)\det(H)\\&=\det(H^T\sp{-1.5}H)=\det(3\sp{1.5}I_3)=3^3\\&\!\!\!\Imp\det(H)=3\sp{1.5}\sqrt 3\non\app\bb Z}$
  par
  Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

  • suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
  • ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

  où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

  Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.
  développements successifs selon les lignes ou les colonnes, on peut affirmer que :
  $\displaystyle{}H\app\sc M_3(\bb Z)\Imp\det(H)\app\bb Z$
  Il n'existe donc pas de telle matrice $H$ de taille $\,n=3\,.\,$

• Lorsque $n$ est de la forme $2^p,$ on établit l'existence de $H$ par récurrence sur $p\app\bb N:$
  • si $\,p=0,\,$ la matrice $\,H=(\sp{1.5}1\sp{1.5})\app\sc M_{2^0}(\bb R)\,$ convient ;

  • s'il existe une telle matrice $H\app\sc M_{2^p}(\bb R),$ on définit par blocs la matrice $H'\sp{-1.5}\app\sc M_{2^{p+1}}(\bb R):$
    $\displaystyle{}H'=\matr{\sp{1.5}H&H\sp{1.5}\\ \sp{1.5}H&\!\!\!\!-H\sp{1.5}}$
    Les termes de $H'$ sont extraits de $H\sp{-1.5},$ d'où :  $\,\ptt (i,j)\app\,[\![1,2^{p+1}]\!]^2,\ h'_{i,j}\app\,\{-1,+1\}\!\cdot\,$
    On verifie alors que $H'$ est du type attendu au moyen d'un produit
    Soient $A$ et $B$ deux matrices décomposées en blocs $\,A_{i,k}\,$ et $\,B_{k,j}\sp{1.5}.\,$

    Si  les formats de ces blocs sont compatibles avec les produits $\,A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}\sp{1.5},\,$ alors :

    • le produit $\,C=A\sp{1.5}B\,$ se décompose en blocs $C_{i,j}\,,$
    • et chaque $C_{i,j}$  est  la somme des produits $A_{i,k}\sp{1.5}B_{k,j}$ correspondants.
    par blocs :
    $\eqalign{H'^{\sp{1.5}T}\!H'&=\matr{H^T&H^T\\ H^T&\!\!\!\!\!-H^T}\matr{\sp{1.5}H&H\sp{1.5}\\ \sp{1.5}H&\!\!\!\!-H\sp{1.5}}\\&=\matc{2\sp{1.5}H^T\sp{-1.5}H\!\!\!&\!\!\!O\\ O\!\!\!&\!\!\!2\sp{1.5}H^T\sp{-1.5}H}=2^{p+1}I_{2^{p+1}}}$
  On a ainsi démontré l'existence d'une telle matrice $H$ de taille $\,n=2^p\,$ pour tout $\,p\app\bb N\,.\,$