exercices de mathématiques - prépa et université

Soit $\,u\app E,\,$ et $\,u=v+w\,$ sa

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

décomposition selon la somme directe

Dans un espace préhilbertien réel $E:$

• l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
• si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$

$\,E=F\oplus F^{\perp}.\,$

Avec la décomposition $\,v=v_1+v_2\app F\,$ de $v\app F$ selon la somme $F=F_1\Op{\oplus}^{\perp}F_2,$ on obtient :

Par bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire et d'après la définition de

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

l'orthogonal d'une partie de $E\sp{1.5},$ on a donc :

• $\,\ptt x\app F_1, \ps{v_2+w}x=\ps{v_2}x+\ps wx=0,\,$ c'est-à-dire : $\,v_2+w\app F_1^{\perp}\,;\,$
• $\,\ptt y\app F_2, \ps{v_1+w}y=\ps{v_1}y+\ps wy=0\sp{1.5},\,$ ce qui implique que : $\,v_1+w\app F_2^{\perp}.\,$

On en conclut que les applications de $E$ vers $E:$ $\,u\mapsto v_1\,$ et $\,u\mapsto v_2,\,$ sont les

Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$

projections orthogonales $\pi_{F_1}$ et $\pi_{F_2}.$

L'application $\,\pi_F:u\mapsto v=v_1+v_2\,$ est donc la

Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$

somme de $\pi_{F_1}$ et $\pi_{F_2}:$ $\,\pi_F=\pi_{F_1}+\pi_{F_2}.\,$

On démontre cette équivalence en deux temps :

• Si $\,p\,$ est une
  Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

  La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

  $\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

  On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$
  projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$ de $E,$ on a :
  $\displaystyle{}\ptt u\app E,\ u=p(u)+\big(u-p(u)\big)\app F\oplus F^{\perp}$
  Pour tout $\,u\app E\sp{1.5},\,$ on a alors $\,\|p(u)\|\leq \|u\|\,$ car, selon le
  Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ deux vecteurs $u$ et $v\sp{1.5}.$

  On a alors le Théorème de Pythagore :

  $\displaystyle{}u\perp v\Ssi \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$
  théorème de Pythagore :
  $\displaystyle{}\|p(u)\|^2\leq\|p(u)\|^2+\|u-p(u)\|^2=\|u\|^2$

• Réciproquement, soit $\,p\,$ une
  Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :

  $\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

  On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
  projection de $E$ sur un sous-espace vectoriel $F\sp{1.5},$ telle que : $\,\ptt u\app E,\ \|p(u)\|\leq \|u\|\sp{1.5}.\,$
  En notant $G$ le supplémentaire de $F,$ noyau de la projection $p\sp{1.5},$ on considère un vecteur $v\app F$ et un vecteur $w\app G\,.$
  Pour tout $\lambda\app\bb R,$ $\,u=v+\lambda\sp{1.5}w\app F\oplus G\,$ a pour projeté $\,p(u)=v,\,$ car $\,\lambda\sp{1.5}w\app G\,$ d'où, par
  Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

  Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

  • bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
    $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
  • symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
  • positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
  • définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

  Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.
  bilinéarité :
  $\eqalign{\|v\|^2\leq \|u\|^2&=\ps{v+\lambda\sp{1.5}w}{v+\lambda\sp{1.5}w}\\&= \|v\|^2+2\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}\ps vw+\lambda^2\sp{1.5}\|w\|^2}$
  Il s'ensuit donc que la fonction réelle $\,\phi:\lambda\mapsto 2\sp{1.5}\lambda\ps vw+\lambda^2\sp{1.5}\|w\|^2\,$ vérifie :
  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\bb R,\ \phi(\lambda)=\lambda\sp{1.5}\big(2\sp{1.5}\ps vw+\lambda\sp{1.5}\|w\|^2\big)\geq0$
  Avec $\,\ps vw\neq0,\,$ on aurait aussi $\,w\neq0\,$ et $\,\phi\,$ prendrait des valeurs négatives, par exemple pour $\,\lambda=-\smh{1.5}{\dfrac{\ps vw}{\|w\|^2}}\!\cdot\,$
  On a ainsi : $\,\ptt(v,w)\app F\times G, \ \ps vw=0\sp{1.5},\,$ d'où
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  l'inclusion de $\,G\,$ dans
  Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

  L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

  $\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$
  l'orthogonal de $F:$  $\,G\subset F^{\perp}.\,$
  $\,F^{\perp}\,$ étant alors comme $G$ un
  Dans un espace préhilbertien réel $E:$

  • l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
  • si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$
  supplémentaire de $F\sp{1.5},$ il est de
  Soit $F$ un sous-espace d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n\,.$

  Pour tout supplémentaire $G$ de $F,$ on a :  $\,\dim(G)=n-\dim(F)\sp{1.5}.\,$
  même dimension.
  Par égalité des
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimensions, on en déduit : $\,G=F^{\perp},\,$ ce qui prouve que la projection $\,p\,$ est orthogonale.

Finalement, la projection $\,p\,$ est bien orthogonale si et seulement si :  $\,\ptt u\app E\sp{1.5},\ \|p(u)\|\leq \|u\|\sp{1.5}.\,$

En considérant le vecteur $\,u=(1,\dots,1)\,$ de l'espace

$\,\bb R^n\,$ est  un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :

$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$

En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$

euclidien $\bb R^n,$ la somme $f(a,b)$ peut s'écrire : Les coordonnées $x_k$ n'étant pas égales entre elles, les vecteurs $x$ et $u$ ne sont pas

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires.

Le couple $(x,u)$ est donc une famille libre de $\bb R^n$ et $\,P=\op{Vect}(x,u)\,$ est un

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

plan vectoriel de $E$ de base $(x,u)\,.$

Selon le

Soient $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ préhilbertien réel, et $u\app E\sp{1.5}.$

Le projeté orthogonal de $\,u\,$ sur $\,F\,$ est  l'unique  $\,\pi_F(u)\app F\,$ tel que :

$\displaystyle{}\big\|u-\pi_F(u)\big\|=\min\ens{\|u-v\|}{v\app F}=d\sp{1.5}(u,F)$

Si $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ est une base orthonormale de $F,$  alors :

$\displaystyle{}\pi_F(u)=\smh{1.5}{\dsum_{k=1}^p}\ps{e_k}u\sp{1.5}e_k$

théorème de projection orthogonale, il existe un unique $\,z= a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}u\app P\,$ tel que $\|y-z\|$ soit minimal.

Il s'agit de la

Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$

projection orthogonale $\pi_P(y)$ de $y$ sur le plan $P\sp{1.5},$ de coordonnées $(a,b)$ minimisant $\,f(a,b)=\|y-z\|^2.\,$

D'autre part, un vecteur $z\app\bb R^n$ est égal à $\pi_{P}(y)$ si et seulement si $z-y$ appartient à

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

l'orthogonal $\,P^{\perp}\,$ de $P\sp{1.5}.$

En d'autres termes, $\,z=\pi_{P}(y)\,$ si et seulement si $\,z-y\,$ est orthogonal aux vecteurs $x$ et $u$ qui engendrent $P.$

Le couple $(a,b)$ est donc caractérisé par un système linéaire de deux équations d'inconnues $a$ et $b:$

On pourrait le résoudre par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires, mais il est plus simple de l'écrire matriciellement sous la forme $\,A\sp{1.5}X=B:\,$

$(a,b)$ étant unique, $A$ est inversible, ce que confirme son

Les colonnes ou les lignes de $A\app\sc M_n(\bb K)$ sont liées  ssi  $\,\det(A)=0\sp{1.5},\,$ soit encore :

$\displaystyle{}A\app\op{GL}_n(\bb K)\Ssi\det(A)\neq0$

déterminant d'après l'inégalité de

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$

et l'égalité a lieu  ssi  le couple $(u,v)$ est lié.

Cauchy-Schwarz : En effet, l'égalité $\,\det(A)=0\,$ est exclue du fait que le couple $(x,u)$ est libre.

On se place dans l'espace vectoriel $E=\sc C([-1,1],\bb R),$ muni du

Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est  un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :

$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$

produit scalaire intégral : On considère dans $E$ la fonction $\,f:x\mapsto1-|x|,\,$ et le sous-espace $F$ des fonctions

Pour tout $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :

$\displaystyle{}\tilde A:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$

• Ces fonctions forment un sous-espace vectoriel $\,\sc P\,$ de $\,\sc F(\bb K,\bb K)\sp{1.5};\,$
• $\,A\mapsto\tilde A\,$ est un isomorphisme entre $\,\bb K[X]\,$ et ce sous-espace $\,\sc P\sp{1.5}.\,$

polynomiales de degré au plus $\,2\sp{1.5}.\,$

$F$ admet une base $\,(p_0,p_1,p_2)\sp{1.5},\,$ déduite de la base

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

canonique de $\bb R_2[X]$  pour $\,p_k:\syst{\ [-1,1]&\to\ \bb R\sp{1.5},\\[-.5ex] x\sp{12}&\mapsto \ x^k.}\,$

Il s'agit de chercher $\,g:x\mapsto a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c\sp{1.5},\,$ telle que $\,\dint_{-1}^{1}(f-g)^2(x)\d x=\|f-g\|^2\,$ soit minimale.

Selon le

Soient $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ préhilbertien réel, et $u\app E\sp{1.5}.$

Le projeté orthogonal de $\,u\,$ sur $\,F\,$ est  l'unique  $\,\pi_F(u)\app F\,$ tel que :

$\displaystyle{}\big\|u-\pi_F(u)\big\|=\min\ens{\|u-v\|}{v\app F}=d\sp{1.5}(u,F)$

Si $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ est une base orthonormale de $F,$  alors :

$\displaystyle{}\pi_F(u)=\smh{1.5}{\dsum_{k=1}^p}\ps{e_k}u\sp{1.5}e_k$

théorème de projection orthogonale, cette fonction est unique : c'est la

Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$

projection orthogonale $\pi_F(f)$ de $f$ sur $F.$

Cette projection $\,g=c\sp{1.5}p_0+b\sp{1.5}p_1+a\sp{1.5}p_2\,$ correspond alors à un unique triplet $(a,b,c)\app\bb R^3.$

La fonction $\,f:x\mapsto1-|x|\,$ étant

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que :  $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• $f$ est paire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
• $f$ est impaire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$

paire, on conjecture que $ \pi_{F}(f)$ est elle même paire, c'est-à dire de la forme :

Une telle fonction $g$ est égale à $\pi_{F}(f)$ si et seulement si $\,h=g-f\,$ appartient à

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

l'orthogonal $\,F^{\perp}\,$ de $F.$

En d'autres termes, $\,g=\pi_{F}(f)\,$ si et seulement si la fonction paire $\,h=(c\sp{1.5}p_0+a\sp{1.5}p_2)-f\,$ est orthogonale à $p_0,$ $p_1$ et $p_2\sp{1.5}.$

On a bien $\,h\perp p_1\,$ , car $\ps {p_1}h=0,$ ce que montre le

Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1(J,I)\sp{1.5};\,$ pour $\alpha,\beta\app J\sp{1.5},$ on a :

$\displaystyle{}\int_{x=\phi(\alpha)}^{x=\phi(\beta)}\!f(x)\d x=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!f\big(\phi(t)\big)\phi'(t)\d t$

En pratique, on pose $\,x=\phi(t)\,$ et les différentielles $\,\d x=\phi'(t)\d t\sp{1.5}.\,$

changement de variable $\,x=-y:\,$

La condition $\,g=\pi_F(f)\,$ équivaut donc à un système linéaire de deux équations d'inconnues $c$ et $a:$

On calcule alors par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation les produits scalaires $\ps{p_k}{p_{\ell}}$ lorsque $k+\ell$ est pair : et les produits scalaires $\ps{p_k}f$ lorsque $k$ est pair :

On obtient ainsi le système suivant, qu'on résout par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires combinées :

Par $\,\sc E_1\ot 1/4\sp{1.5}\sc E_1\,$ et $\,\sc E_2\ot 15/4\sp{1.5}\sc E_2,\,$ on obtient finalement : $\,(a,b,c)=\Big(-\dfrac{15}{16},\sp{1.5}0\sp{1.5},\dfrac{13}{16}\Big)\!\cdot\,$

La projection orthogonale de $f$ sur $F$ est donc bien la fonction paire :

Représentation de $f$ et de sa projection $\pi_F(f)$

Montrons d'abord que toute fonction $f$ de $E$

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que :  $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• $f$ est paire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
• $f$ est impaire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$

impaire a une intégrale nulle sur $[-1,1\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

On a en effet dans ces conditions : $\,\smb{2}{\dint_{-1}^{1}}f(x)\d x=0,\,$ par le

Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1(J,I)\sp{1.5};\,$ pour $\alpha,\beta\app J\sp{1.5},$ on a :

$\displaystyle{}\int_{x=\phi(\alpha)}^{x=\phi(\beta)}\!f(x)\d x=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!f\big(\phi(t)\big)\phi'(t)\d t$

En pratique, on pose $\,x=\phi(t)\,$ et les différentielles $\,\d x=\phi'(t)\d t\sp{1.5}.\,$

changement de variable $\,x=-y:\,$ Le

Pour tout $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :

$\displaystyle{}\tilde A:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$

• Ces fonctions forment un sous-espace vectoriel $\,\sc P\,$ de $\,\sc F(\bb K,\bb K)\sp{1.5};\,$
• $\,A\mapsto\tilde A\,$ est un isomorphisme entre $\,\bb K[X]\,$ et ce sous-espace $\,\sc P\sp{1.5}.\,$

sous-espace $F$ admet une base $\,(p_0,p_1,p_2, p_3)\sp{1.5},\,$ déduite de la base

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

canonique de $\bb R_3[X]$  pour $\,p_k:\syst{\ [-1,1]&\to\ \bb R\sp{1.5},\\[-.5ex] x\sp{12}&\mapsto \ x^k.}\,$

La fonction $\,f:x\mapsto\sin(\pi\sp{1.5}x)\,$ étant

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

impaire, on conjecture que sa

Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$

projection orthogonale $ \pi_{F}(f)$ est elle même impaire, c'est-à dire de la forme :

Une telle fonction $g$ est égale à $\pi_{F}(f)$ si et seulement si $\,h=g-f\,$ appartient à

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

l'orthogonal $\,F^{\perp}\,$ de $F.$

Ainsi, $\,g=\pi_{F}(f)\,$ si et seulement si la fonction impaire $\,h=(a\sp{1.5}p_1+b\sp{1.5}p_3)-f\,$ est orthogonale à $p_0,$ $p_1,$ $p_2,$ $p_3\sp{1.5}.$

On a bien $\,h\perp p_k\,$ lorsque $k$ est pair, car $\ps {p_k}h$ est alors l' intégrale d'une fonction impaire.

La condition $\,g=\pi_F(f)\,$ équivaut donc à un système linéaire de deux équations d'inconnues $a$ et $b:$

On calcule alors par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation les produits scalaires $\ps{p_k}{p_{\ell}}$ lorsque $k+\ell$ est pair :

On calcule aussi les produits scalaires $\ps{p_{k}}f$ par des intégrations

Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$

par parties :

On obtient donc le système linéaire suivant, qu'on résout par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires combinées :

Par $\,\sc E_1\ot 3/4\sp{1.5}\sc E_1\,$ et $\,\sc E_2\ot 35/4\sp{1.5}\sc E_2,\,$ on obtient la projection orthogonale de $f$ sur $F:$

Représentation de $f$ et de sa projection $\pi_F(f)$