exercices de mathématiques - prépa et université

Par définition d'une

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$

projection de $E$ sur un sous-espace vectoriel $F,$ $E$ se décompose sous la forme $\,E=F\oplus G\sp{1.5},\,$ où :

• $F$ est
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

  L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

  $\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

  $\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
  l'image de $\,p\sp{1.5},\,$ égale à l'ensemble des vecteurs invariants par $\,p:\,$  $\,F=\im p=\ker (p-\op{Id}_E)\sp{1.5};\,$
• $G$ est
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

  Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

  $\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

  $\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
  le noyau de $\,p:\,$  $\,G=\ker p\sp{1.5}.\,$

La dimension de $F$ est

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $\,\op{Im} f\,$ est de dimension finie, cette dimension  est  le rang de $f:$

$\displaystyle{}\op{rg} (f)=\dim(\op{Im} f)$

le rang $r$ de $\,p\sp{1.5},\,$ avec $\,0\leq r\leq n\sp{1.5};\,$ on distingue alors deux cas :

• Lorsque $\,1\leq r\leq n-1\sp{1.5},\,$ on considère une base $\,(e_1,\dots,e_r)\,$ de $F$ et une base $\,(e_{r+1},\dots,e_n)\,$ de $G\sp{1.5}.$
  $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_r,\sp{1.5}e_{r+1},\dots, e_n)\,$ est donc
  Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

  Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$
  une base de $\,E=\Op{Im} p\oplus\ker p\sp{1.5},\,$ avec pour
  Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

  La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

  $\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

  • $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
  • $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
  matrice de $p:$
  $\displaystyle{}A=\op M_{\sc{B}}(p)=\matr{\!I_r\!\!&0\\[-.5ex]0\!\!&0}$
  On détermine la
  Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f\app\sc L(E)$ et $\sc B$ une base de $E\sp{1.5}.$

  la trace de $\,\op{M}_\sc B(f)\,$ ne dépend pas du choix de la base $\,\sc B\,;\,$ c'est  la  trace de $f:$

  $\displaystyle{}\op{tr}(f)=\op{tr}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)$
  trace de $\,p\,$ en évaluant la
  La trace de $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est  la somme de ses termes diagonaux :

  $\displaystyle{}\op{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{i,\sp{1.5}i}$
  trace de $A:$
  $\displaystyle{}\tr(p)=\tr(A)=r=\rg (p)$

• Lorsque $\,r=0\,$ ou $\,r=n\sp{1.5},\,$ on a $\,A=0\,$ ou $\,A=I_n\sp{1.5},\,$ d'où à nouveau : $\,\tr(p)=\tr(A)=r=\rg (p)\sp{1.5}.\,$

On a ainsi démontré qu'en dimension finie, la trace d'un projecteur est toujours égale à son rang.

La trace d'une matrice de projection de $E$ est donc toujours un entier naturel compris entre $\,0\,$ et $\,n=\dim(E)\sp{1.5}.\,$

Par définition d'une

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$  est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$

On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$

symétrie de $E$ par rapport à un sous-espace $F,$ $E$ se décompose en $\,E=F\oplus G\,\,$ où :

• $F$ est l'ensemble des vecteurs invariants par $\,s\sp{1.5},\,$ soit le
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

  Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

  $\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

  $\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
  noyau :  $\,F=\ker (s-\op{Id}_E)\sp{1.5};\,$
• $G$ est l'ensemble des vecteurs changés en leur opposé par $\,s\sp{1.5},\,$ soit :  $\,G=\ker (s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$

Soit $p$ la dimension de $F\sp{1.5},$ avec $\,0\leq p\leq n\,$ et $\,q=n-p\sp{1.5};\,$ on distingue alors deux cas :

• lorsque $\,1\leq p\leq n-1\sp{1.5},\,$ on considère une base $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ de $F$ et une base $\,(e_{p+1},\dots,e_n)\,$ de $G\sp{1.5}.$
  $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_p,\sp{1.5}e_{p+1},\dots, e_n)\,$ est donc
  Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

  Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$
  une base de de $\,E=F \oplus G\,$ dans laquelle $\,s\,$ a pour
  Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

  La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

  $\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

  • $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
  • $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
  matrice :
  $\displaystyle{}A={\rm M}_{\sc{B}}(s)=\matr{\!I_p\!\!&0\ \\[-.5ex]0\!\!&\!\!-I_q}$
  On détermine la
  Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f\app\sc L(E)$ et $\sc B$ une base de $E\sp{1.5}.$

  la trace de $\,\op{M}_\sc B(f)\,$ ne dépend pas du choix de la base $\,\sc B\,;\,$ c'est  la  trace de $f:$

  $\displaystyle{}\op{tr}(f)=\op{tr}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)$
  trace de $\,s\,$ en évaluant la
  La trace de $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est  la somme de ses termes diagonaux :

  $\displaystyle{}\op{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{i,\sp{1.5}i}$
  trace de $A:$
  $\eqalign{\op{tr}(s)&=\op{tr}(A)=p-q=p-(n-p)\\&=2\sp{1.5}p-n=2\sp{1.5}\dim(F)-\dim(E)}$
• Lorsque $\,p=0\,$ ou $\,p=n\sp{1.5},\,$ on a $\,A=-I_n\,$ ou $\,A=I_n\sp{1.5},\,$ d'où à nouveau : $\,\tr(s)=\tr(A)=2\sp{1.5}p-n\sp{1.5}.\,$

En dimension finie, la trace de toute symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel $F$ vaut donc :

La trace d'une matrice de symétrie de $E$ est donc toujours un entier relatif compris entre $\,-n\,$ et $\,n\sp{1.5},\,$ de même parité que $\,n=\dim(E)\sp{1.5}.\,$