exercices de mathématiques - prépa et université

Par définition de la

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$

projection, les vecteurs $\,\i+2\j\,$ et $\,\i+\j\,$ appartenant à l'axe et à la direction de $\,p\sp{1.5},\,$ vérifient :

Par

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéarité de $\,p\,$ on obtient donc un système vectoriel $(\sc E)$ que l'on résout par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires :

La

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $\,p\,$ relativement à $\sc{B}$ s'en déduit : $\,\op M_{\sc B}(p)=\matr{-1&1\\-2&\,2}\!\cdot\,$

$\,\j\,$ étant un vecteur directeur de la direction $D,$ on a par définition de la

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$  est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$

On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$

symétrie : $\,\s\j=-\j\sp{1.5}.\,$

Les vecteurs $\,\i-\j\,$ et $\,\j+\k\,$ appartiennent au plan $P$ et ne sont pas

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires.

Ils forment donc

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

une base de $P$ et sont invariants par $\,s\sp{1.5},\,$ par définition de la symétrie.

Par

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéarité de $\,s\,$ on obtient donc un système vectoriel $(\sc E)$ que l'on résout par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires :

La

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $\,s\,$ relativement à  $\sc{B}$ s'en déduit :  $\,\op M_{\sc B}(s)=\matr{1&0&0\\-2&-1&2\\0&0&\ph{-}1}\!\sp{-1.5}\cdot\,$

On note respectivement $\,L_1\sp{1.5},L_2\,$ et $\,C_1\sp{1.5},C_2\sp{1.5},\,$ les lignes et les colonnes de la

Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$  est  un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.

• Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
• On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrice $A\sp{1.5}.$

$A$ étant la

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $f$ dans la base canonique de $\,\bb R^2,\,$ $f$ est

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme $\,X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ de $\,\bb R^2.\,$

• Avec $\,L_1+L_2=0\sp{1.5},\,$ $\f\i$ et $\f\j$ vérifient l'équation $\,x+y=0\,$ et appartiennent donc à  $\,\v{\i-\j}\sp{1.5}.\,$
  L'image de $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\,$ est l'image de l'application linéaire $f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.$

  $\displaystyle{}\op{Im}(A)=\ens{Y\app \bb K^m}{\iex X\app \bb K^n,\ Y=A\sp{1.5}X}$

  Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ alors :  $\,\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)\,$ et $\,\op{rg}(A)=\op{rg}(f_A)\sp{1.5}.\,$
  l'image de $\,f:X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ vérifie alors
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  l'inclusion : $\,\op{Im}f\subset\v{\i-\j}\sp{1.5}.\,$
  L'application $f$ étant non nulle, on a : $\,\dim(\im f)\geq 1\sp{1.5},\,$ d'où pour raison de
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimension l'égalité :
  $\displaystyle{}\im f=\v{\i-\j}$
• D'autre part, avec $\,C_1+C_2=0\sp{1.5},\,$ on a $\,\f{\i+\j}=\f\i+\f\j=\vecc0\sp{1.5}.\,$
  Par définition du
  Le noyau de $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\,$ est le noyau de l'application linéaire $f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.$

  $\displaystyle{}\op{Ker}(A)=\ens{X\app \bb K^n}{A\sp{1.5}X=0}$

  Si $A$ a pour lignes $\,L_1,\dots,L_m\sp{1.5},\,$ alors $\,\op{Ker}(A)\,$ est caractérisé par les équations $\,L_i\sp{1.5}X=0\sp{1.5}.\,$
  noyau, on a donc une autre inclusion : $\,\v{\i+\j}\subset\ker f\sp{1.5}.\,$
  $f$ étant non nulle, on a alors pour raison de
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimension l'autre égalité :
  $\displaystyle{}\ker f=\v{\i+\j}$

$\,\i+\j\,$ et $\,\i-\j\,$ ne sont pas

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires ; ils forment donc une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base de $\,\bb R^2\sp{1.5},\,$ d'où deux droites

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

$F$ et $G$  sont supplémentaires dans $E$  ssi :  $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$

supplémentaires :

Malgré cela, $f$ n'est pas une

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$

projection vectorielle, car le vecteur $\,\i-\j\,$ de $\,\im f\,$ n'est pas invariant par $f:$

On note respectivement $\,L_1\sp{1.5},L_2\sp{1.5},L_3\,$ et $\,C_1\sp{1.5},C_2\sp{1.5},C_3\sp{1.5},\,$ les lignes et les colonnes de la

Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$  est  un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.

• Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
• On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrice $A\sp{1.5}.$

$A$ étant la

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $f$ dans la base canonique de $\bb R^3\sp{1.5},$ $f$ est

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme $\,X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ de $\bb R^3.$

• Avec $\,L_2=0\sp{1.5},\,$ les vecteurs $\,\f\i\sp{1.5},\f\j\sp{1.5},\f\k\,$ vérifient l'équation $\,y=0\,$ et appartiennent donc à $\,\v{\i,\k}\sp{1.5}.\,$
  L'image de $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\,$ est l'image de l'application linéaire $f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.$

  $\displaystyle{}\op{Im}(A)=\ens{Y\app \bb K^m}{\iex X\app \bb K^n,\ Y=A\sp{1.5}X}$

  Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ alors :  $\,\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)\,$ et $\,\op{rg}(A)=\op{rg}(f_A)\sp{1.5}.\,$
  l'image de $\,f:X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ vérifie alors
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  l'inclusion : $\,\im f\subset\v{\i,\k}\sp{1.5}.\,$
  La matrice de $f$ est de
  Le rang de $A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ de lignes $L_i$ et colonnes $C_j\sp{1.5},$  est à la fois :

  • le nombre maximal des $C_j$ linéairement indépendantes
  • et le nombre maximal des $L_i$ linéairement indépendantes :

  $\displaystyle{}\op{rg}(A)=\op{rg}(C_1,\dots,C_p)=\op{rg}(L_1,\dots,L_n)$

  Le rang est donc invariant par transposition : $\,\op{rg}(A^T)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
  rang au plus $\,2\sp{1.5},\,$ car $\,L_2=0\sp{1.5},\,$ et même exactement $\,2\sp{1.5},\,$ puisque $\,(L_1,L_3)\,$ est libre.
  C'est aussi le
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

  Si $\,\op{Im} f\,$ est de dimension finie, cette dimension  est  le rang de $f:$

  $\displaystyle{}\op{rg} (f)=\dim(\op{Im} f)$
  rang de $f\sp{1.5},$ si bien que pour raison de
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimension, on a l'égalité :
  $\displaystyle{}\im f=\v{\i,\k}$
• Avec $\,C_1=C_3\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\f{\i-\k}=\f\i-\f\k=\vecc 0\sp{1.5}.\,$
  Par définition du
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

  Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

  $\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

  $\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
  noyau, on en déduit une autre inclusion : $\,\v{\i-\k}\subset\ker f\sp{1.5}.\,$
  Selon le
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

  Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

  $\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$
  théorème du rang, on a : $\,\dim(\ker f)=3-\dim(\im f)=1\sp{1.5},\,$ d'où pour raison de
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimensions :
  $\displaystyle{}\ker f=\v{\i-\k}$

On obtient finalement

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

l'inclusion stricte de la

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

droite $\,\ker f\,$ dans le

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

plan $\,\im f:\,$