exercices de mathématiques - prépa et université

Sachant que

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

$\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$

l'image de $f$ est un

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

plan vectoriel, on connaît sa dimension : $\,\dim(\im f)=2\sp{1.5}.\,$

Le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang nous fournit la relation suivante entre les dimensions du

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

$\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$

noyau et de l'image de $f:$

On en déduit : $\,\dim(\ker f)=0\sp{1.5},\,$ ce qui

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

implique que : $\,\ker f=\{0\}\!\cdot\,$

Ceci nous prouve que l'application linéaire $f$ de $E$ vers $F$ est

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective  ssi :

$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$

injective.

Sachant que le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

$\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$

noyau de $f$ est une

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

droite vectorielle, on connaît sa dimension : $\,\dim(\ker f)=1\sp{1.5}.\,$

Le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang nous fournit la relation suivante entre les dimensions du noyau et de

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

$\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$

l'image de $f:$

On en déduit : $\,\dim(\im f)=3\,;\,$ sachant que : $\,\im f\subset F\,$ et $\,\dim(F)=3\sp{1.5},\,$ on en

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

conclut que : $\,\im f=F.\,$

Ceci nous prouve que l'application linéaire $f$ de $E$ vers $F$ est

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective  ssi :

$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$

surjective.

Prouvons d'abord la

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéarité de $f\,;$ pour $P_1,P_2\app E$ et $\a,\b\app\bb R,$ on a bien :

Comparons, pour tout $P\app E\sp{1.5},$ les

Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :

$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$

Le degré du polynôme nul  est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$

degrés de $P$ et $f(P):$

• Si $P$ est constant : $\,f(P)=0\,$ et $\,\deg(f(P))=-\I\,;\,$
• si $\,1\leq\deg(P)=m\leq n\sp{1.5},\,$ par la formule du
  Pour $\,A,B\app\bb K[X]\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule du binôme :

  $\displaystyle{}(A+B)^n=\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,n-k}$

  On a en particulier les identités remarquables :

  $\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
  binôme, tout $(X+1)^k$ a pour terme dominant $X^k,$ d'où :
  $\displaystyle{}\deg(f(X^k))=\deg((X+1)^k-X^k)\leq k-1.$
  On en déduit, par combinaison linéaire, que pour tout $P\app E:$  $\,\deg(f(P))\leq m-1\leq n-1\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $f$ est un

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$

On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$  $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$

endomorphisme de $E$ dont le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

$\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$

noyau ainsi que

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

$\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$

l'image vérifient les

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

inclusions :

Considérons maintenant un polynôme $P$ appartenant au noyau de $f:$

On a alors : $\,f(P)=P(X+1)-P(X)=0\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,\ptt k\app\bb N,\ P(k+1)=P(k)\sp{1.5}.\,$

On en déduit que la suite $\big(P(k)\big)_{n\app\bb N}$ est constante et égale au réel $P(0)\sp{1.5}.$

Il s'ensuit que $P\app\bb R_0[X]\sp{1.5},$ car le polynôme $\,P-P(0)\,$ a une infinité de

Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet  au plus $\,p\,$ racines.

Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$

racines et est donc nul.

On en conclut :  $\,\ker f\subset\bb R_0[X]\sp{1.5},\,$ d'où finalement

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

l'égalité :  $\,\ker f=\bb R_0[X]\sp{1.5}.\,$

En vertu du

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang, on obtient la

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $\,\op{Im} f\,$ est de dimension finie, cette dimension  est  le rang de $f:$

$\displaystyle{}\op{rg} (f)=\dim(\op{Im} f)$

dimension de $\im f:$

Avec l'inclusion $\,\im(f)\subset\bb R_{n-1}[X]\sp{1.5},\,$ on en déduit enfin

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

l'égalité :  $\,\im(f)=\bb R_{n-1}[X]\sp{1.5}.\,$

Prouvons d'abord la

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéarité de $f\,;$ pour $P_1,P_2\app E$ et $\a,\b\app\bb R:$ d'où : $\,f(\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2)=\a\sp{1.5}f(P_1)+\b\sp{1.5}f(P_2)\sp{1.5},\,$ par combinaison linéaire des $(\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2)(X\pm1)$ et $(\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2)(X)\sp{1.5}.$

Comparons, pour tout $P\app E\sp{1.5},$ les

Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :

$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$

Le degré du polynôme nul  est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$

degrés de $P$ et $f(P):$

• Si $\,\deg(P)=m\leq1\sp{1.5},\,$ on a alors $\,f(P)=0\,$ et $\,\deg(f(P))=-\I,\,$ car pour $\,P=a\sp{1.5}X+b:\,$
  $\displaystyle{}f(P)=a\sp{1.5}(X\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1)+b-2\sp{1.5}(a\sp{1.5}X\sp{-1.5}+\sp{-1.5}b)+a\sp{1.5}(X\sp{-1.5}+\sp{-1.5}1)+b=0$
• si $\,2\leq\deg(P)=m\leq n\sp{1.5},\,$ par la formule du
  Pour $\,A,B\app\bb K[X]\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule du binôme :

  $\displaystyle{}(A+B)^n=\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,n-k}$

  On a en particulier les identités remarquables :

  $\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
  binôme, les $X^k$ $\,(2\leq k\leq m)\,$ ont une image $f(X^k)$ de la forme :
  $\displaystyle{}(X^k\!-k\sp{1.5}X^{k-1}\!+\cdots)-2\sp{1.5}X^k\!+(X^k\!+k\sp{1.5}X^{k-1}\!+\cdots)$
  où les points de suspension représentent des termes de degrés $\,\leq k-2\sp{1.5}.\,$

On en déduit par combinaison linéaire, que tous les $P\app E:$ ont une image telle que : $\,\deg(f(P))\leq m-2\leq n-2\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $f$ est un

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$

On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$  $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$

endomorphisme de $E$ dont le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

$\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$

noyau ainsi que

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

$\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$

l'image vérifient les

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

inclusions :

Considérons maintenant un polynôme $P$ appartenant au noyau de $f:$

On pose alors $\,Q=P-aX-b\sp{1.5},\,$ avec $\,a=P(1)-P(0)\,$ et $\,b=P(0)\sp{1.5}.\,$

On a donc : $\,f(Q)=f(P)-f(a\sp{1.5}X+b)=0\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,\ptt k\app\bb N^{\ast},\ Q(k+1)=2\sp{1.5}Q(k)-Q(k-1)\sp{1.5}.\,$

• Avec, d'une part : $\,Q(0)=P(0)-b=0\,$ et $\,Q(1)=P(1)-a-b=0\sp{1.5},\,$
• et d'autre part : $\,Q(k-1)=Q(k)=0\Imp Q(k+1)=0\sp{1.5},\,$

il s'ensuit par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$ soient vraies,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big((P(n)\txt{et}P(n+1))\!\Imp\! P(n+2)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence double que : $\,\ptt k\app\bb N,\ Q(k)=0\,.\,$

Il en résulte que $\,P\app\bb R_1[X]\sp{1.5},\,$ car le polynôme $\,Q=P-aX-b\,$ a une infinité de

Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet  au plus $\,p\,$ racines.

Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$

racines et est donc nul.

On en conclut :  $\,\ker f\subset\bb R_1[X]\sp{1.5},\,$ d'où finalement

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

l'égalité :  $\,\ker f=\bb R_1[X]\sp{1.5}.\,$

En vertu du

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang, on obtient la

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $\,\op{Im} f\,$ est de dimension finie, cette dimension  est  le rang de $f:$

$\displaystyle{}\op{rg} (f)=\dim(\op{Im} f)$

dimension de $\im f:$

Avec l'inclusion : $\,\op{Im}f\subset\bb R_{n-2}[X]\sp{1.5},\,$ on obtient enfin

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

l'égalité :  $\,\im(f)=\bb R_{n-2}[X]\sp{1.5}.\,$