Sujet B.2.4 Isomorphismes
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Exercice a
Soient $\,n\app\bb N\!\setminus\!\{0,1\},\,$ $\,\alpha\app\bb C\,$ et l'ensemble $\,F_{\alpha}\,$ des polynômes $P$ de $\,\bb R_n[X]\,$ tels que $\,P(\alpha)=0\sp{1.5}.\,$
Montrer que $\,F_{\alpha}\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\bb R_n[X]\,$ isomorphe à un espace $\,\bb R_k[X]\sp{1.5},\,$ pour un entier $\,k\,$ à préciser.
isomorphisme d'espaces vectoriels
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
image d'une base par un isomorphisme
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$Alors, $f$ est un isomorphisme ssi $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :
$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$
isomorphisme entre espaces de même dimension
Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :
- $f$ est un isomorphisme ssi $f$ est injective ;
- $f\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est surjective.
indication
Déterminer, selon que $\,\alpha\app\bb R\,$ ou $\,\alpha\non\app\bb R\sp{1.5},\,$ la forme générale des éléments de $\,F_{\alpha}\sp{1.5}.\,$
réponse
$\,F_{\alpha}\,$ est l'ensemble des polynômes de la forme :
- $\,(X-\alpha)\sp{.75}Q\sp{1.5},\,$ avec $\,Q\app\bb R_{n-1}[X]\,$ lorsque $\,\alpha\app\bb R\,;\,$
- $\,(X-\alpha)(X-\surl{\alpha})\sp{.75}Q\sp{1.5},\,$ avec $\,Q\app\bb R_{n-2}[X]\,$ lorsque $\,\alpha\non\app\bb R\sp{1.5}.\,$
correction
Deux cas sont à distinguer selon que $\,\alpha\,$ est réel ou non :
- si $\,\alpha\app\bb R,\,$ $\,F_{\alpha}\,$ est l'ensemble des
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$ $\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$multiples dans $\,\bb R_n[X]\,$ de $\,(X-\alpha)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire des polynômes de la forme :$\displaystyle{}P=(X-\alpha)\sp{1.5}Q\sp{1.5},\txt{pour}Q\app\bb R_{n-1}[X]$En effet, d'après lePour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :degré d"un produit, on a :
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\deg(P)\leq n\Ssi\deg(Q)=\deg(P)-1\leq n-1$ - si $\,\alpha\non\app\bb R,\,$ les éléments de $\,F_{\alpha}\,$ ont aussi pour
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.racine $\,\surl{\alpha}\sp{1.5};\,$ $\,F_{\alpha}\,$ est donc l'ensemble desSoient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :multiples dans $\,\bb R_n[X]\,$ de :$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$$\displaystyle{}(X-\alpha)(X-\surl{\alpha})=X^2-2\sp{1.5}\op{Re}(\alpha)+|\alpha|^2\app\bb R_2[X]$Il s'agit cette fois des polynômes de la forme :$\displaystyle{}P=(X-\alpha)(X-\surl{\alpha})\sp{1.5}Q\sp{1.5},\txt{pour}Q\app\bb R_{n-2}[X]$
$\displaystyle{}\!\phi:\sp{-1.5}\syst{&\!\bb R_{n-1}[X]\ \to\ \bb R_n[X]\\&\!Q\mapsto (X-\alpha)\sp{1.5}Q}\txt{ou}
\phi:\sp{-1.5}\syst{&\!\bb R_{n-2}[X]\ \to\ \bb R_n[X]\\&\!Q\mapsto (X-\alpha)(X-\surl{\alpha})\sp{1.5}Q} $
On pose : $\,B_{\alpha}=X-\alpha\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ ou : $\,B_{\alpha}=(X-\alpha)(X-\surl{\alpha})\sp{1.5},\,$ pour $\,\alpha\non\app\bb R\sp{1.5};\,$ dans ces conditions :
- $\,\phi\,$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :linéaire, puisque pour $\,Q_1,Q_2\app\bb R_{n-1}[X]\,$ ou $\,Q_1,Q_2\app\bb R_{n-2}[X]\sp{1.5},\,$ et $\,\lambda_1,\lambda_2\app\bb R:\,$$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$$\eqalign{\phi(\lambda_1\sp{1.5}Q_1+\lambda_2\sp{1.5}Q_2)&=B_{\alpha}(\lambda_1\sp{1.5}Q_1+\lambda_2\sp{1.5}Q_2)\\&= \lambda_1B_{\alpha}\sp{1.5}Q_1+\lambda_2B_{\alpha}\sp{1.5}Q_2\\&=\lambda_1\sp{1.5}\phi(Q_1)+\lambda_2\sp{1.5}\phi(Q_2)}$
- $\,\phi\,$ est
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :injective, puisque $\,\op{Ker}\phi=\{0\}\sp{1.5};\,$ en effet, avec $\,B_{\alpha}\neq0\sp{1.5},\,$ on a : $\,B_{\alpha}\sp{1.5}Q=0\!\Imp\!Q=0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
l'image
de l'endomorphisme $\,\phi\sp{1.5},\,$ ce qui en fait un sous-espace vectoriel de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5}.\,$
En restreignant à $\,F_{\alpha}\,$ l'ensemble d'arrivée de $\,\phi\sp{1.5},\,$ celle-ci devient une application $\,\psi\,$
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :
surjective,
et toujours injective.
On obtient ainsi un
$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
isomorphisme
$\,\psi:\bb R_{n-1}[X]\Op{\To}^{\large\approx} F_{\alpha}\,$ lorsque $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$
et $\,\psi:\bb R_{n-2}[X]\Op{\To}^{\large\approx} F_{\alpha}\,$ lorsque $\,\alpha\non\app\bb R\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Pour $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ on se place dans l'espace $\,\sc M_n(\bb R)\,$ des matrices carrées réelles d'ordre $\,n\sp{1.5}.\,$
On considère alors la partie $\sc F$ de $\,\sc M_n(\bb R)\,$ formée des matrices dont la somme des termes de chaque ligne et de chaque colonne est nulle.
Montrer que $\sc F$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc M_n(\bb R)\,$ isomorphe à $\,\sc M_{n-1}(\bb R)\,;\,$ quelle est alors la dimension de $\sc F\,?$
isomorphisme d'espaces vectoriels
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
image d'une base par un isomorphisme
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$Alors, $f$ est un isomorphisme ssi $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :
$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$
isomorphisme entre espaces de même dimension
Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :
- $f$ est un isomorphisme ssi $f$ est injective ;
- $f\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est surjective.
indication
1
Faire apparaître $\sc F$ comme une intersection de noyaux de formes linéaires sur $\,\sc M_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Associer à chaque $\,A\app\sc F\,$ la matrice $\,A'\app\sc M_{n-1}(\bb R)\,$ déduite de $\,A\,$ par suppression de sa dernière ligne et de sa dernière colonne.
réponse
L'ensemble $\sc F$ est bien un sous-espace vectoriel de $\,\sc M_n(\bb R).\,$
En privant $\,A\app\sc F\,$ de sa dernière ligne et de sa dernière colonne, on définit $\,A'\app\sc M_{n-1}(\bb R)\,$ et l'isomorphisme :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\Phi:\syst{&\!\sc F\smh0{\Op{\To}^{\large\approx}}\sc M_{n-1}(\bb R)\\[-.7ex]&A\longmapsto A'}}$
correction
Soient, pour $\,i,j\app\,[\![1,n]\!],\,$ les applications $\,\lambda_i\,$ et $\,\gamma_j\,$ de $\,\sc
M_n(\bb R)\,$ vers $\,\bb R,\,$ définies par :
$\eqalign{&\lambda_i:\ A=\big[a_{i,j}\big]_{1\leq i\leq n\atop1\leq j\leq n} \longmapsto\smh1{\sum_{k=1}^n}a_{i,k}\\ &\gamma_j:\ A=\big[a_{i,j}\big]_{1\leq i\leq n\atop1\leq j\leq n}\longmapsto\smh1{\sum_{k=1}^n}a_{k,j}}$
On montre alors que chacune de ces applications est une
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
forme
linéaire sur $\,\sc M_n(\bb R):\,$
- soit en tant que sommes de $\,n\,$ formes
Soit $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$ Tout $\,u\app E\,$ admet une unique famille de coordonnées $\,X\app\bb K^n:\,$coordonnées relativement à la base canonique ;$\displaystyle{}X=(x_1,\dots,x_n)\sp{1.5},\txt{telle que :}u=x_1\sp{1.5}e_1+\cdots+x_n\sp{1.5}e_n$
- $\,u\mapsto X\!=\!(x_1,\dots,x_n)\,$ est un isomorphisme de $E$ vers $\bb K^n\sp{1.5};$
- Les $\,u\mapsto x_i\,$ sont linéaires ; ce sont les formes coordonnées.
- soit en vérifiant directement sa linéarité sur une combinaison linéaire $\,\alpha\,A+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyaux
de formes linéaires sur $\,\sc M_n(\bb R):\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\sc F=\op{Ker}\lambda_1\cap\dots\cap\op{Ker}\lambda_n\cap
\op{Ker}\gamma_1\cap\dots\cap\op{Ker}\gamma_n$
$\sc F$ est donc un sous-espace vectoriel de $\,\sc M_n(\bb R)\,$ comme
Soit $(F_i)_{i\app I}$ une famille de sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$ Alors, l'intersection $\,\Op{\cap}_{i\app I}\!F_i\,$ est un sous-espace vectoriel de $E.$
intersection
de sous-espaces vectoriels.
On considère alors l'application $\,\sth{1}\Phi:\sc F\to\sc M_{n-1}(\bb R)\,$ qui à chaque $A\app\sc F$ associe la matrice $\,A'=\Phi(A)=\smb1{\big[a_{i,j}\big]_{1\leq i\leq n-1\atop1\leq j\leq n-1}}\,.\,$
Cette matrice $\,A'\,$ est déduite de $\,A\,$ par suppression de sa dernière ligne et de sa dernière colonne.
Les
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ forme un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel pour les opérations :
opérations
matricielles étant définies élément par élément, cette application $\Phi$ est bien linéaire.
On a alors : $\,\op{Ker}\Phi=\{0\}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $\Phi$ est
$\eqalign{(A,B)&\mapsto A+B=[\sp{1.5}a_{i,j}+b_{i,j}\sp{1.5}]\\[-.5ex](\lambda,A)&\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}A=[\sp{1.5}\lambda\,a_{i,j}\sp{1.5}]}$
On identifie les matrices-colonnes de $\sc M_{n,1}(\bb K)$ aux vecteurs de $\bb K^n.$
$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est ainsi un espace vectoriel isomorphe à $(\bb K^n)^p$ et à $\bb K^{n\sp{1.5}p}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
injective ;
en effet, pour $A\app\sc F$ telle que $\,\Phi(A)=0\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
$\eqalign{\ptt i\app\,[\![1,n-1]\!],\ \lambda_i(A)=a_{i,n}=0\\ \ptt j\app\,[\![1,n-1]\!],\ \gamma_j(A)=a_{n,j}=0\\
\txt{puis :}\lambda_n(A)=\gamma_n(A)=a_{n,n}=0}$
Étant donné $\,B\app\sc M_{n-1}(\bb R)\sp{1.5},\,$ on obtient alors un antécédent $A$ de $B$ par $\Phi$ en posant :
$\eqalign{ \ptt (i,j)\app\,[\![1,n-1]\!]^2,\ a_{i,j}&=b_{i,j}\\ \ptt i\app\,[\![1,n-1]\!]\ ,\ a_{i,n}&=-(b_{i,1}+\cdots+b_{i,n-1})\\
\ptt j\app\,[\![1,n-1]\!]\ ,\ a_{n,j}&=-(b_{1,j}+\cdots+b_{n-1,j})\\
\txt{et enfin :}a_{n,n}&=-(a_{n,1}+\cdots+a_{n,n-1})\\[-.5ex]&=-(a_{1,n}+\cdots+a_{n-1,n})\\[-.5ex]&=\smb{4}{\sum_\indices{1\leq i\leq n-1}{1\leq j\leq n-1}b_{i,j}}}$
L'application $\Phi$ est donc
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjective,
ce qui prouve finalement que $\Phi$ est un
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
isomorphisme
de $\sc F$ vers $\,\sc M_{n-1}(\bb R)\sp{1.5}.\,$
On en déduit la
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$Alors, $f$ est un isomorphisme ssi $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :
dimension
de $\sc F,$ qui est égale à la
$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$
L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$ est de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :
dimension
de $\,\sc M_{n-1}(\bb R):\,$
$\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$
$\displaystyle{}\dim(\sc F)=\dim\big(\sc M_{n-1}(\bb R)\big)=(n-1)^2$
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Exercice c
\\(\GREC \\)Pour $P$ et $A$ dans $\bb C[X]\sp{1.5},$ on désigne par $\,P(A)\,$ le polynôme obtenu par substitution de $A$ à $X$ dans l'expression de $P.$
Lorsque $A$ est fixé et tel que $\,\deg(A)\geq1\sp{1.5},\,$ on considère l'application $f$ qui à tout $\,P\app\bb C[X]\,$ associe $\,P(A)\sp{1.5}.\,$
Démontrer que $f$ est un endomorphime injectif de $\,\bb C[X]\,;\,$ à quelle condition s'agit-il d'un automorphisme de $\,\bb C[X]\,?\,$
isomorphisme d'espaces vectoriels
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
image d'une base par un isomorphisme
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$Alors, $f$ est un isomorphisme ssi $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :
$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$
isomorphisme entre espaces de même dimension
Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :
- $f$ est un isomorphisme ssi $f$ est injective ;
- $f\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est surjective.
indication
1
Exprimer le degré de $f(P)$ en fonction du degré de $P.$
indication
2
Considérer, lorsque $\,\deg(A)=1,\,$ un polynôme $Q$ de degré $\,n\,$ et la restriction de l'application $f$ à $\,\bb C_n[X]\sp{1.5}.\,$
réponse
$f$ est bien un endomorphisme injectif de $\,\bb C[X]\sp{1.5}.\,$
$f$ est un automorphisme de $\,\bb C[X]\,$ si et seulement si : $\,\deg(A)=n\sp{1.5}.\,$
correction
On va montrer que l'application $\,f: P\mapsto P(A)\,$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaire
par les fonctions
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiales.
Étant donnés $\,P,Q\app\bb C[X]\,$ et $\,\a,\b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,z\app\bb C :\,$
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
$\eqalign{f(\a\sp{1.5}P+\b\sp{1.5}Q)(z)&=(\a\sp{1.5}P+\b\sp{1.5}Q)(A(z))\\[-.5ex]&=\a\sp{1.5}P(A(z))+\b\sp{1.5}Q(A(z))\\[-.5ex]
&=\a\sp{1.5}f(P)(z)+\b\sp{1.5}f(Q)(z)\\[-.5ex]&=(\a\sp{1.5}f(P)+\b\sp{1.5}f(Q))(z)}$
On en déduit que : $\,f(\a\sp{1.5}P+\b\sp{1.5}Q)=\a\sp{1.5}f(P)+\b\sp{1.5}f(Q)\sp{1.5},\,$ car les polynômes sont
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
caractérisés
par leurs fonctions polynomiales.
On a ainsi démontré que l'application $\,f: P\mapsto P(A)\,$ est bien linéaire.
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
Si on connaît la structure d'algèbre de $\,\bb C[X]\sp{1.5},\,$ et si on sait que $\,f:P\mapsto P(A)\,$ est un morphisme d'algèbre,
sa linéarité va de soi. Ce détour par les fonctions polynomiales est alors superflu.
Étant linéaire de $\bb C[X]$ dans lui-même, l'application $f$ est donc un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\bb C[X].$
On établit l'injectivité de $f$ en comparant les
Pour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :
degrés
de $P$ et de $f(P)\sp{1.5}.$
On a pour tout $\,k\app\bb N:\,$ $\,\deg(A^k)=k\,\deg(A)\,;\,$ ces degrés étant strictement croissants, on a alors
pour tout $\,P\app\bb C[X]:\,$
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\deg(f(P))&=\deg(P(A))=\deg(P)\times\deg(A)\\
\txt{y compris :}\deg(f(0))&=\deg(0)=-\I=-\I\times\deg(A)}$
Étant donné que $\,\deg(A)\geq 1\sp{1.5},\,$ on peut alors écrire l'implication : $\displaystyle{} \deg(f(P))=-\I\Imp \deg(P)=-\I$
Ceci nous prouve que le
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau
de $f$ est restreint au polynôme nul, c'est-à-dire que $f$ est bien
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
injectif.
L'expression de $\,\deg(f(P))\,$ nous montre que
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
l'image
$\,\op{Im} f\,$ ne contient que des polynômes de degrés mutiples de $\,\deg(A)\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que l'endomorphisme $f$ ne peut être
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjectif
que si $\,\deg(A)=1\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, lorsque $\,\deg(A)=1,\,$ soit $\,Q\app\bb C[X],\,$ de degré $\,n\,;\,$ alors :
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
- La restriction de $f$ à $\,\bb C_n[X]\,$ est un endomorphisme de $\,\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ car : $\,\deg(f(P))=\deg(P)\,;\,$
- cet endomorphisme étant injectif, c'est de plus un
Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :automorphisme de $\bb C_n[X]\,;$
- $f$ est un isomorphisme ssi $f$ est injective ;
- $f\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est surjective.
- $Q$ a donc par cette restriction, et a fortiori par $f,$ un antécédent dans $\bb C_n[X].$
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Exercice d
\\( \GREC\ALGLIN\\)Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues $\,f\app\sc C(\bb R,\bb R)\,$ telles que :
$\,\ptt x\app\bb R,\ \,x\sp{1.5}f(x+1)=(x+1)\sp{1.5}f(x)\sp{1.5}.\,$
Démontrer que $E$ est un $\bb R\tiret$espace vectoriel, isomorphe à l'espace $F$ des fonctions $\,p\app\sc C(\bb R,\bb R)\,$ de période $\,1\sp{1.5}.\,$
isomorphisme d'espaces vectoriels
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
image d'une base par un isomorphisme
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base de $E$ et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$Alors, $f$ est un isomorphisme ssi $\,f(\sc B)=\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\,$ est une base de $E'\sp{1.5},$ d'où :
$\displaystyle{}\dim(E)=\dim(E')$
isomorphisme entre espaces de même dimension
Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :
- $f$ est un isomorphisme ssi $f$ est injective ;
- $f\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est surjective.
indication
1
$E$ est le noyau d'une application linéaire définie sur $\,\sc C^0(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Associer à toute $\,f\app E\sp{1.5},\,$ une application $\,p\app F\,$ prolongeant par continuité la fonction $\,x\mapsto {\dfrac{f(x)}x}\!\cdot\,$
réponse
$E$ est un un $\bb R\tiret$espace vectoriel, en tant que sous-espace vectoriel de l'espace $\,\sc C(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\om\,$ l'application qui à toute $\,f\app E\,$ associe la fonction
$\,p=\om(f):x\mapsto \smb{1.5}{\syst{\,f(x)/x&\txt{si}x\neq0\sp{1.5},\\[-.5ex] f(1)\ \,&\txt{si}x=0\sp{1.5}.}}\,$
$\,\om\,$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $E$ vers $F.$
correction
Soient, dans
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
l'espace
vectoriel $\,\sc C(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ les applications $\,\phi\,$ et $\,\psi\,$ de $\,\sc C(\bb R,\bb R)\,$
dans lui-même, définies par :
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \phi(f)(x)=x\sp{1.5}f(x+1)-(x+1)\sp{1.5}f(x)\\
&\ptt x\app\bb R,\ \psi(f)(x)=f(x+1)-f(x)}$
Ces applications sont
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaires
car, avec $\,f,g\app\sc C(\bb R,\bb R)\,$ et $\,\a,\b\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\bb R:\,$ $\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
$\eqalign{\phi(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)&=x\sp{1.5}(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x+1)-(x+1)\sp{1.5}(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)\\&=(\a\sp{1.5}\phi(f)+\b\sp{1.5}\phi(g))(x)\stb{1}\\
\psi(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)&=(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x+1)-(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)\\&=(\a\sp{1.5}\psi(f)+\b\sp{1.5}\psi(g))(x)}$
d'où $\,\phi(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)=\a\sp{1.5}\phi(f)+\b\sp{1.5}\phi(g)\,$ et $\,\psi(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)=\a\sp{1.5}\psi(f)+\b\sp{1.5}\psi(g)\sp{1.5}.\,$
Par les définitions des
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyaux
et des fonctions
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :
périodiques,
on a : $\,E=\ker(\phi)\,$ et $\,F=\ker(\psi)\sp{1.5}.\,$
Les ensembles $E$ et $F$ sont donc des sous-espaces de $\,\sc C(\bb R,\bb R)\,$ en tant que noyaux d'applications linéaires.
On a d'autre part :
$\,\ptt f\app E,\ \lim x0\dfrac{f(x)}x=\lim x0\dfrac{f(x+1)}{x+1}=f(1)\sp{1.5}.\,$
On définit alors une fonction $\,p=\om(f)\sp{1.5},\,$ réelle et
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
continue
sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ en prolongeant $\,x\mapsto f(x)/x\,$ par
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$ Alors la fonction $f$
se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
continuité :
$\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
$\displaystyle{}p(x)=\bigg\{\eqalign{\,f(x)/x&\txt{si}x\neq0\\[0ex] f(1)\ \,&\txt{si}x=0}$
On remarque alors que, pour tout $\,x\app\bb R\!\setminus\!\{-1,0\}:\,$
$\displaystyle{}\psi(p)(x)=p(x+1)-p(x)=\smh1{\dfrac{f(x+1)}{x+1}-\dfrac{f(x)}x}=0$
Étant donné qu'on a aussi, par
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
continuité
de $\,\psi(p):\,$ $\,\psi(p)(-1)=\psi(p)(0)=0\sp{1.5},\,$ la fonction $\,p=\om(f)\,$ est donc de période $1\sp{1.5}.$
Il s'ensuit que : $\,\om(E)\subset F\sp{1.5};\,$ de plus, avec $\,f,g\app E\,$ et $\,\a,\b\app\bb R\,$ et $\,x\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\displaystyle{}\om(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)=\syst{\,\a\,{f(x)}/x&+\ \b\,{g(x)}/x&\txt{si}x\neq0\\[-.25ex] \a\,f(1)&+\ \b\,g(1)\ \ &\txt{si}x=0}$
On a donc : $\,\om(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)=\a\sp{1.5}\om(f)+\b\sp{1.5}\om(g)\sp{1.5},\,$ ce qui finit de prouver que : $\,\om\app\sc L(E,F)\sp{1.5}.\,$
Si une fonction $f$ de $\,E\,$ est telle que : $\,p=\om(f)=0\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,\ptt x\neq 0,\ f(x)=x\sp{1.5}p(x)=0\sp{1.5}.\,$
On en déduit que $\,f=0\sp{1.5},\,$ par
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
continuité
de $f$ en $\,0\sp{1.5};\,$
on a donc : $\,\op{Ker}(\om)=\{0\}\sp{1.5},\,$ si bien que l'application $\,\om\,$ est
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
injective.
Soit, pour $p\app F,$ la fonction continue $\,f:x\mapsto x\,p(x)\,;\,$ on a alors pour tout $\,x\app\bb R\!\setminus\!\{-1,0\}:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
$\eqalign{\phi(f)(x)&=x\sp{1.5}f(x+1)-(x+1)\,f(x)\\&=x\sp{1.5}(x+1)\,p(x+1)-(x+1)\,x\,p(x)=0}$
Par continuité de $\,\phi(f)\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi(f)(-1)=\phi(f)(0)=0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f\app E\sp{1.5}.\,$
Cela signifie que chaque $\,p\app F\,$ a un antécédent $\,f\app E\,$ par $\,\om:\,$ cette application $\,\om\,$ est donc
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjective.
On finalement établi que l'application $\,\om\,$ est un
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
Un isomorphisme $f$ entre deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E'$ est une bijection linéaire de $E$ vers $E'.$
La réciproque $\,f^{-1}\,$ d'un isomorphisme $f$ de $E$ vers $E'$ est un isomorphisme de $E'$ vers $E\sp{1.5}.$
isomorphisme
d'espaces vectoriels de $E$ vers $F.$