Sujet B.2.3 Projecteurs et symétries
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Exercice a
\\(\ALGLIN\\)Dans un espace vectoriel $E$ somme de deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G,$ on considère :
- la symétrie $\,s\,$ par rapport à $F,$ parallèlement à $G\sp{1.5},$
- et un endomorphisme quelconque $f$ de $E\sp{1.5}.$
projections vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
projecteurs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
endomorphismes involutifs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
indication
Comparer les images par $\,s\,$ et $\,s\circ f\,$ de tout vecteur $u\app E\sp{1.5}.$
réponse
On obtient l'équivalence : $\,\im f\subset F\Ssi s\circ f=f.\,$
correction
En supposant
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\,\im f\subset F,\,$ on a par définition de
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
l'image
de $f:$ $\,\ptt u\app F,\ f(u)\app F\sp{1.5}.\,$
$F$ étant l'ensemble $\,\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ des vecteurs invariants par la
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
symétrie
$\,s\sp{1.5},\,$ on en déduit que $\, s\circ f=f\,$ car :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt u\app F,\ (s\circ f)(u)=s(f(u))=f(u)$
On a établi ainsi l'implication : $\,\im f\subset F\Imp s\circ f=f\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, supposons que : $\,s\circ f=f,\,$ et considérons un vecteur quelconque $\,v\,$ de $\im f.$
Il existe alors un $\,u\app E\,$ tel que : $\,v=f(u)\sp{1.5},\,$ si bien que :
$\displaystyle{}s(v)=s(f(u))=(s\circ f)(u)=f(u)=v$
On en conclut que tout vecteur $\,v\,$ de $\im f$ est invariant par $\,s\sp{1.5},\,$ et
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
donc
que : $\,\im f\subset \ker(s-\op{Id}_E)=F.\,$
On a ainsi prouvé la réciproque : $\, s\circ f=f\Imp \im f\subset F,\,$ d'où finalement l'équivalence : $\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\im f\subset F\Ssi s\circ f=f$
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Exercice b
\\(\ALGLIN\\)Dans un espace vectoriel $E$ somme de deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G\sp{1.5},$ on considère :
- la projection vectorielle $\,p\,$ sur $F$ parallèlement à $G,$
- et une symétrie vectorielle $\,s\sp{1.5},\,$ quelconque.
projections vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
projecteurs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
endomorphismes involutifs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
indication
Montrer d'abord que $f$ est un projecteur.
réponse
$\,f\,$ est la projection vectorielle sur $\,s(F)\,$ parallèlement à $\,s(G)\sp{1.5}.\,$
correction
L'application $\,f=s\circ p\circ s\,$ est une composée d'
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphismes
de $E\sp{1.5};$ elle est donc
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
linéaire
de $E$ vers $E:$ $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
$\,p\,$ étant un
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteur,
on a : $\,p\circ p=p\sp{1.5},\,$ et $\,s\,$ étant une
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
involution,
on a aussi : $\,s\circ s=\id_E\sp{1.5}.\,$
On peut alors, par
La composition des applications est associative :
Pour $\,\sth1 f:E\to F,\,$ $\,g:F\to G\,$ et $\,h:G\to H\,,\,$ on a :
associativité
de la composition des applications, écrire :
$\displaystyle{}h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
$\eqalign{f\circ f&=(s\circ p\circ s)\circ(s\circ p\circ s)\\ &=(s\circ p)\circ (s\circ s)\circ (p\circ s)\\ &=s\circ( p\circ p)\circ s=s\circ p\circ s=f}$
On a ainsi prouvé que $\,f\,$ est un projecteur de $E\sp{1.5};$ il reste à déterminer son
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
image
et son
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau.
En tant que
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
projection,
$\,p\,$ a pour image : $\,F=\im p\,$ et pour noyau : $\,G=\ker p\,.\,$
En tant que
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
symétrie,
$\,s\,$ est bijective, d'où : $\,s(E)=E\sp{1.5};\,$ l'application $\,f=s\circ p\circ s\,$ a donc pour image :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\im f=f(E)=s(p(s(E)))=s(p(E))=s(\im p)=s(F)$
D'autre part, sachant que $\,s\circ s=\id_E\,,\,$ on a pour tout $\,u\app E\,$ les équivalences :
$\eqalign{f(u)=s(p(s(u)))=0&\Ssi p(s(u))=0\\ &\Ssi s(u)\in\ker p=G\\ &\Ssi u =(s\circ s)(u)=s(s(u)\big)\app s(G)}$
Ceci nous prouve que le projecteur $f$ a pour noyau : $\,\ker f=s(G)\sp{1.5}.\,$ Finalement, l'application $f$ est donc la
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
projection
vectorielle sur $\,s(F)\,$ parallèlement à $\,s(G)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
\\(\ALGLIN\\)Soient un espace vectoriel $E$ muni de deux décompositions en sous-espaces supplémentaires :
$\,E=F_1\oplus G_1=F_2\oplus G_2\,.\,$
On considère, pour chaque $\,i\app\{1,2\}\sp{1.5},\,$ la projection vectorielle $\,p_i\,$ sur $F_i\,,$ parallèlement à $\,G_i\,.\,$
Démontrer l'implication : $\,G_1=G_2\Imp p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
Établir une condition nécessaire et suffisante pour que : $\,p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
projections vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
projecteurs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
endomorphismes involutifs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
indication
1
Écrire les décompositions d'un même $u\app E$ selon $\,F_1\oplus G_1\,$ puis $\,F_2\oplus G_2\,,\,$ pour comparer $\,(p_2\circ p_1)(u)\,$ et $\,p_2(u)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Comparer $\,G_1\,$ et $\,G_2\,$ à partir de l'hypothèse $\,p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
réponse
- On a bien : $\,G_1=G_2\Imp p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
- On a plus généralement : $\,G_1\subset G_2\Ssi p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
correction
On suppose que $\,G_1=G_2\sp{1.5},\,$ et on considère un vecteur $u\app E$ quelconque.
On le
Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Cette somme est directe ssi tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :
décompose
en : $\,u=v_1+w_1\,$ et $\,u=v_2+w_2\sp{1.5},\,$ selon $F_1\oplus G_1$ et $\,F_2\oplus G_2\sp{1.5}.\,$
Dans ces conditions, on a par définition de la
$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$
- On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme : $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
- on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
projection
$\,p_1:\,$
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}p_1(u)=v_1=u-w_1=(v_2+w_2)-w_1=v_2+(w_2-w_1)$
Avec l'hypothèse $\,G_1=G_2,\,$ on a alors : $\,w_2-w_1\in G_1=G_2,\,$ d'où il s'ensuit que :
$\displaystyle{}(p_2\circ p_1)(u)=p_2(p_1(u))=p_2\big(v_2+(w_2-w_1)\big)=v_2=p_2(u)$
On a ainsi démontré que : $\,G_1=G_2\Imp p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
Supposons maintenant que $\,p_2\circ p_1=p_2\,;\,$ $\,G_1\,$ étant le
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau
de $\,p_1\sp{1.5},\,$ on a alors pour tout $\,u\app G_1:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}p_2(u)=(p_2\circ p_1)(u)=p_2(p_1(u))=p_2(0)=0$
Cela signifie que : $\,u\app \ker \,p_2=G_2\sp{1.5},\,$ d'où
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\,G_1\subset G_2\sp{1.5}.\,$
On vient ainsi d'établir que : $\,p_2\circ p_1=p_2\Imp G_1\subset G_2\sp{1.5}.\,$
La réciproque de cette implication est également assurée, c'est-à-dire que :
$\,G_1\subset G_2\Imp p_2\circ p_1=p_2\sp{1.5}.\,$
En effet, dans le raisonnement précédent, cette inclusion garantit que : $\,w_2-w_1\app G_2\sp{1.5},\,$ ce qui suffit pour conclure.
On a finalement démontré que : $\,G_1\subset G_2\Ssi p_2\circ p_1=p_2\,.\,$
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Voici une autre solution, beaucoup plus directe mais nettement plus abstraite :
En désignant par $\,q_1\,$ la projection sur $\,G_1\,$ parallèlement à $\,F_1\sp{1.5},\,$ on a : $\,q_1=\op{Id}_E-p_1\sp{1.5},\,$ et :
$\displaystyle{}p_2-p_2\circ p_1=p_2\circ(\op{Id}_E-p_1)=p_2\circ q_1$
Il s'ensuit que le résultat recherché se ramène à la simple équivalence :
$\,\im q_1\subset\ker \,p_2\Ssi p_2\circ q_1=0\sp{1.5}.\,$
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Exercice d
Dans l'espace vectoriel $\,\sc F(\bb R,\bb R)\,$ des applications de $\,\bb R\,$ dans $\,\bb R\sp{1.5},\,$ on considère deux sous-ensembles :
- l'ensemble $F$ des applications de période $\,\pi\,;\,$
- l'ensemble $G$ des applications telles que : $\,\ptt x\app\bb R,\ f(x)+f(x+\pi)=0\sp{1.5}.\,$
projections vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
projecteurs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
endomorphismes involutifs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
indication
1
Considérer l'espace vectoriel $E$ des applications de $\,\bb R\,$ dans $\,\bb R\,$ $2\sp{1.5}\pi\tiret$périodiques, et montrer qu'il contient $F$ et $G.$
indication
2
Associer à toute $f\app E$ la fonction : $\,g=\sigma(f): \syst{&\bb R\to\bb R\sp{1.5},\\[-.5ex] &x\,\mapsto f(x+\pi)\sp{1.5}.}\,$
Montrer alors que $\,\sigma\,$ est un endomorphisme de $\,E\,$ involutif.
réponse
Les ensembles $F$ et $G$ sont bien des sous-espaces vectoriels de $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
Leur somme est directe, et $\,F\oplus G\,$ est l'espace des applications de $\,\bb R\,$ dans $\,\bb R\,$ de période $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
correction
Les fonctions
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :
$\pi\tiret$périodiques
sont aussi $2\sp{1.5}\pi\tiret$périodiques, ainsi que les éléments de $G$ car :
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
$\displaystyle{}g\app G\Imp\big(\ptt x\app \bb R,\ g(x+2\sp{1.5}\pi)=-g(x+\pi)=g(x)\big)$
Soit $E$ l'ensemble des applications de $\,\bb R\,$ dans $\,\bb R\sp{1.5},\,$ $2\sp{1.5}\pi\tiret$périodiques ; alors :
- $E$ est non vide car il contient la fonction nulle ;
- $E$ est stable par combinaisons linéaires car pour $\,f_1,f_2\app E,\,\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\eqalign{ (\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)(x+2\sp{1.5}\pi)&=\alpha\sp{1.5}f_1(x+2\sp{1.5}\pi)+\beta\sp{1.5}f_2(x+2\sp{1.5}\pi)\\ &=\alpha\sp{1.5}f_1(x)+\beta\sp{1.5}f_2(x)\\&=(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)(x)}$
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel de $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ contenant les ensembles $F$ et $G\sp{1.5}.$
À toute fonction $f$ de $E\sp{1.5},$ on associe la fonction $\,g=\sigma(f)\,$ définie sur $\,\bb R\,$ par :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,g(x)=\sigma(f)(x)= f(x+\pi)$
L'application $\,\sigma\,$ va de $E$ vers $E\sp{1.5},$ car $\,g=\sigma(f)\app E\,$ pour toute $\,f\app E\sp{1.5},\,$ puisque :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,g(x+2\sp{1.5}\pi)=f(x+3\sp{1.5}\pi)=f(x+\pi)=g(x)$
$\sigma$ est alors un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $E\sp{1.5};$ en effet pour $\,f_1,f_2\app E\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb R\,$ on a, pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\eqalign{\sigma(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)(x)&=(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)(x+\pi)\\&=\alpha\sp{1.5}f_1(x+\pi)+\beta\sp{1.5}f_2(x+\pi)\\&=
\alpha\sp{1.5}\sigma(f_1)(x)+\beta\sp{1.5}\sigma(f_2)(x)}$
D'autre part, l'application $\sigma$ est
Une involution de $\,E\,$ est une $\,f:E\to E\,$ telle que : $\,f\circ f=\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
involutive,
c'est-à-dire que $\,\sigma\circ\sigma=\op{Id}_E\sp{1.5};\,$ en effet, pour tout $x\app\bb R:$
$\displaystyle{}\sigma(\sigma(f))(x)=\sigma(g)(x)=g(x+\pi)=f(x+2\sp{1.5}\pi)=f(x)$
Par
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
identification
des endomorphismes involutifs aux
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
symétries,
$F$ et $G$ sont
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ssi : $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$
supplémentaires
dans $E:$
$\displaystyle{}E=\op{Ker}(\sigma-\op{Id}_E)\oplus\op{Ker}(\sigma+\op{Id}_E)=F\oplus G$
En effet, $F$ et $G$ sont les ensembles des $\,f\app E\,$ vérifiant respectivement $\,\sigma(f)=f\,$ et $\,\sigma(f)=-f\sp{1.5}.\,$
En tant que
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyaux
d'endomorphismes, $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E\sp{1.5},$ et leur somme est
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Cette somme est directe ssi tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :
directe.
$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$
- On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme : $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
- on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$
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Exercice e
Dans l'espace vectoriel $\,\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ des applications réelles continues sur $\,\bb{R}\sp{1.5},\,$ on considère deux sous-ensembles :
- l'ensemble $F$ des applications qui s'annulent sur $\,\bb R_{-}\,;\,$
- l'ensemble $G$ des applications qui s'annulent sur $\,\bb R_{+}\,.\,$
projections vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$
On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
projecteurs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
endomorphismes involutifs
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
indication
1
Déterminer un hyperplan $H$ de $\,\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ contenant $F$ et $G.$
indication
2
Montrer que $F$ et $G$ sont le noyau et l'image d'un projecteur défini sur cet hyperplan $H\sp{1.5}.$
réponse
$F$ et $G$ sont bien des sous-espaces vectoriels de $\,\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\sp{1.5}.\,$
Leur somme $\,F+G\,$ est directe, et $\,F\oplus G\,$ est l'hyperplan des $\,f\app\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ telles que $\,f(0)=0\sp{1.5}.\,$
correction
Par leur définition, $F$ et $G$ sont
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
inclus
dans l'ensemble $H$ des fonctions de $\,\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ nulles en $\,0\sp{1.5}.\,$ $H$ est un
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Un hyperplan d'un espace vectoriel $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E\sp{1.5}.$
hyperplan
de $\,\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ en tant que noyau de la
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
forme linéaire
$\phi:f\mapsto f(0)\sp{1.5}.$
En effet, pour $\,f_1,f_2\app\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a :
$\eqalign{\phi(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\,f_2)&=(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\,f_2)(0)\\&= \alpha\sp{1.5}f_1(0)+\beta\,f_2(0)\\&=\alpha\sp{1.5}\phi(f_1)+\beta\,\phi(f_2)}$
A toute application $\,f\app H\sp{1.5},\,$ on associe la fonction $\,g\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\pi(f)\,$ définie sur $\,\bb R\,$ par :
$\displaystyle{}g=\pi(f):\ x\longmapsto\syst{&\ \ 0&\txt{si} x < 0\\[-.5ex]&f(x)&\txt{si} x \geq 0}$
Avec $\,\lim x{0^-} g(x)=0=g(0)\,$ et $\,\lim x{0^+} g(x)=f(0)=g(0)\sp{1.5},\,$ $\,g\,$ est
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue à droite ou à gauche en $\,a\stb{.75}\,$ intérieur à $I$ si :
continue
sur $\,\bb R\,$ et elle appartient à $H\sp{1.5}.$
De plus, si $\,f_1,f_2\app\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\bb R:\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]\sp{1.5}a,\,+\I\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^+}\,f(x)=f(a)\sp{1.5};\,$
- $\,f\restr{\sp{1.5}I\,\cap\,\sp{1.5}]-\I,\,a\sp{1.5}[}\,$ est continue en $a\sp{1.5},$ soit : $\,\lim x{a^-}\,f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\pi(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)(x)=\syst{&0&&\txt{si} x < 0\sp{1.5}\\[-.5ex]
\,\alpha\sp{1.5}f_1(x)&+&\beta\sp{1.5}f_2(x)&\txt{si} x \geq 0}$
c'est-à-dire que : $\,\pi(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)=\alpha\,\pi(f_1)+\beta\,\pi(f_2)\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve que $\pi$ est un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $H.$
D'autre part, on a $\,\pi(\pi(f))=\pi(g)=g=\pi(f)\sp{1.5},\,$ soit $\,\pi\circ\pi=\pi:\,$ l'endomorphisme $\pi$ est un
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteur
de $H$ et :- $\,g=\pi(f)\Imp(\ptt x < 0,\ g(x)=0=g(0))\,$ et $\,g\app F\Imp g=\pi(g)\app\op{Im}\pi\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\op{Im}\pi=F\,;\,$
- $\,\pi(f)=0\Ssi(\ptt x\geq0,\ f(x)=0)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que : $\,\op{Ker}\pi=G\sp{1.5}.\,$
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
identification
des projecteurs aux
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
projections,
il sont alors
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
$F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ssi : $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$
supplémentaires
dans $H\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}H=\op{Im}\pi\oplus\op{Ker}\pi=F\oplus G$
La
Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Cette somme est directe ssi tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :
somme directe
$\,F\oplus G\,$ est ainsi l'hyperplan $H$ des $\,f\app\sc{C}(\bb{R},\bb{R})\,$ telles que $f(0)=0\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$
- On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme : $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
- on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$