Sujet B.2.2 Image et noyau
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Exercice a
\\(\ALGLIN\\)Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E,$ non nul et tel que : $\,f\circ f=0\sp{1.5}.\,$
Comparer $\,\im f\,$ et $\,\ker f\sp{1.5};\,$ l'endomorphisme $f$ peut-il être injectif ? surjectif ?
noyau d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
image d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
caractérisation des applications linéaires injectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
caractérisation des applications linéaires surjectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :
$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
indication
Considérer l'image par $f$ d'un élément quelconque de $\,\im f\sp{1.5}.\,$
réponse
On a l'inclusion : $\,\im f\subset\ker f\sp{1.5},\,$ mais pas nécessairement l'égalité.
D'autre part, avec $\,f\neq 0\sp{1.5},\,$ $f$ n'est ni injectif, ni surjectif.
correction
Par définition de la
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composition
des applications, on a : $\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\displaystyle{}\ptt x\app E,\ (f\circ f)(x)=f(f(x))=0$
Selon la définition du
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau
de $f\sp{1.5},$ il s'ensuit que : $\,\ptt x\app E,\ f(x)\app\ker f\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
L'image
de $f$ étant l'ensemble des $f(x)$ pour $x\app E\sp{1.5},$ on en déduit
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\,\im f\subset\ker f\sp{1.5}.\,$
En revanche, on n'a pas nécessairement égalité de $\,\im f\,$ et $\,\ker f\sp{1.5},\,$ car l'inclusion suffit à garantir que $\,f\circ f=f\sp{1.5}.\,$
En effet, pour tout $\,x\app E\sp{1.5},\,$ on a réciproquement : $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}f(x)\app\im f\subset\ker f\Imp (f\circ f)(x)=f(f(x))=0$
On peut caractériser l'injectivité et la surjectivité de l'endomorphisme $f$ par son noyau et son image :
- Avec
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :$f$ injective, on aurait : $\,\ker f=\{0\}\sp{1.5},\,$ et donc : $\,\im f\subset\{0\}\sp{1.5},\,$ ce qui est exclu car : $\,f\neq0\,;\,$$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
- avec
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :$f$ surjective, on aurait : $\,\im f=E\sp{1.5},\,$ et donc : $\,E\subset\ker f,\,$ ce qui est aussi exclu car : $\,f\neq0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
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Exercice b
\\(\ALGLIN\\)Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ tel que : $\,f\circ f\circ f=0\sp{1.5}.\,$
Comparer $\,\big(\ker f\cap\im f\big)\,$ avec $\,\im (f\circ f)\sp{1.5},\,$ et
$\,\big(\ker f+\im f\big)\,$ avec $\,\ker (f\circ f)\sp{1.5}.\,$
noyau d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
image d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
caractérisation des applications linéaires injectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
caractérisation des applications linéaires surjectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :
$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
indication
Comparer d'abord $\,\ker f\,$ et $\,\im f\,$ avec $\,\im (f\circ f)\sp{1.5},\,$ puis avec $\,\ker (f\circ f)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,\im (f\circ f)\subset\big(\ker f\cap\im f\big)\sp{1.5},\,$ sans avoir nécessairement d'égalité.
On a aussi :
$\,\big(\ker f+\im f\big)\subset\ker (f\circ f)\sp{1.5},\,$ sans égalité non plus a priori.
correction
Par la définition de la
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composition
des applications et du fait de son
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
La composition des applications est associative :
Pour $\,\sth1 f:E\to F,\,$ $\,g:F\to G\,$ et $\,h:G\to H\,,\,$ on a :
associativité,
on obtient : $\displaystyle{}h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
$\displaystyle{}\ptt x\app E,\ (f\circ f\circ f)(x)=f\big((f\circ f)(x)\big)=(f\circ f)\big(f(x)\big)=0$
Selon les définitions des
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyaux
de $f$ et de $\,f\circ f\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que :
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\ptt x\app E,\ (f\circ f)(x)\in\ker f\,\txt{et}\ptt x\app E,\ f(x)\in\ker (f\circ f)$
D'après les définitions des
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
images
de $\,f\circ f\,$ et de $f$ on en déduit les
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
inclusions :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\im (f\circ f)\subset\ker f\,\txt{et}\,\im f\subset\ker(f\circ f)$
D'autre part, tout élément de $\,\im (f\circ f)\,$ est un $\,f(f(x))\,$ pour un $x\app E\sp{1.5},$ c'est-à-dire l'image par $f$ de $f(x)\sp{1.5}.$
De même, tout élément $x$ de $\,\ker f\,$ est tel que : $\,(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(0)=0\,;\,$ on peut donc affirmer que :
$\displaystyle{}\im (f\circ f)\subset\im f\,\txt{et}\,\ker f\subset\ker (f\circ f)$
$\,\im (f\circ f)\,$ étant inclus à la fois dans $\,\ker f\,$ et dans $\,\im f\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\im (f\circ f)\subset\big(\ker f\cap\im f\big)$
D'autre part, $\,\ker (f\circ f)\,$ est un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel contenant $\,\ker f\,$ et $\,\im f\,$ et donc aussi leur
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
La somme de deux sous-espaces $\,F\,$ et $\,G\,$ d'un espace vectoriel $E$ est l'ensemble :
somme,
d'où :
$\displaystyle{}F+G=\ens{w\app E}{\iex u\app F,\,\iex v\app G,\ w=u+v\sp{1.5}}$
Une telle somme $\,F+G\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\big(\ker f+\im f\big)\subset\ker (f\circ f)$
En revanche, rien n'impose que l'une ou l'autre de ces inclusions soit une égalité.
En effet, elles impliquent respectivement que : $\,\im (f\circ f)\subset\ker f\,$ et : $\,\im f\subset\ker(f\circ f)\sp{1.5}.\,$
Or, selon l'égalité établie initialement pour tout $\,x\app E\sp{1.5},\,$ ces inclusions suffisent à garantir que : $\,f\circ f\circ f=0\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
\\(\GREC\\)Soit l'ensemble $F$ des polynômes de la forme $\,XP(X^2)\sp{1.5},\,$ pour $\,P\app\bb R[X]\sp{1.5}.\,$ Montrer que l'ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $\,\bb R[X]\sp{1.5}.\,$ Comment peut-on caractériser plus simplement dans $\,\bb R[X]\,$ cet ensemble de polynômes ?
noyau d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
image d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
caractérisation des applications linéaires injectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
caractérisation des applications linéaires surjectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :
$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
indication
1
Faire apparaître $F$ comme l'espace image d'une application linéaire définie sur $\,\bb R[X]\sp{1.5}.\,$
indication
2
Considérer la décomposition des éléments de $F$ dans la base canonique de $\,\bb R[X]\sp{1.5}.\,$
réponse
$F$ est bien un sous-espace vectoriel de $\,\bb R[X]\sp{1.5}.\,$
$F$ est l'ensemble des polynômes $\,Q\app\bb R[X]\,$ dont chaque monôme est de degré impair.
$F$ est aussi l'ensemble des polynômes $\,Q\app\bb R[X]\,$ tels que : $\,Q(-X)=-Q(X)\sp{1.5}.\,$
correction
On considère l'application $\,\Phi:R[X]\to\bb R[X]\,$ qui à tout $\,P\app\bb R[X]\,$ associe le polynôme $\,\Phi(P)= XP(X^2)\sp{1.5}.\,$
Cette application $\Phi$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaire
car, pour tous $\,P,Q\app\bb R[X]\,$ et tous $\,\a,\b\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a:
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
$\eqalign{\Phi\sp{1.5}(\a\sp{1.5}P+\b\sp{1.5}Q)&=X\sp{.75}(\a\sp{1.5}P+\b\sp{1.5}Q)(X^2)\\[-.5ex]&=X\big(\a\sp{1.5}P(X^2)+\b\sp{1.5}Q(X^2)\big)\\[-.5ex]
&=\a\sp{1.5}XP(X^2)+\b\sp{1.5}XQ(X^2)=\a\,\Phi(P)+\b\,\Phi(Q)}$
$\Phi$ est ainsi un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\bb R[X]\sp{1.5},$ et son
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
image
$\,F=\op{Im} \Phi\,$ est par conséquent un sous-espace vectoriel de $\bb R[X]\sp{1.5}.$
$F$ est aussi l'ensemble des polynômes dont chaque monôme est de degré impair, car :
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
- tout élément de $F$ est une somme de monômes de degrés impairs :
$\displaystyle{}\smh{1}{\smb{1.5}{P=\sum_{k=0}^np_kX^k\Imp f(P)=X\sp{1.5}P(X^2)=\sum_{k=0}^np_kX^{2\sp{1.5}k+1}}}$
- réciproquement, toute combinaison linéaire des $\,X^{2\sp{1.5}k+1}=X\sp{1.5}(X^2)^k\,$ appartient au
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$ $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :sous-espace vectoriel $F.$$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
- Si $\,\sth{1}Q=X\sp{1.5}P(X^2)\sp{1.5},\,$ on alors : $\,Q(-X)=-X\,P((-X)^2)=-X\sp{1.5}P(X^2)=-\,Q(X)\sp{1.5};\,$
- réciproquement, si $\,\sth{1}Q(-X)=-\,Q(X)\sp{1.5}\,$ on a pour $\,Q=q_0+\cdots+q_mX^m\,$ et $\,P=\!\!\smb{2}{\dsum_{2\sp{1.5}k+1\leq m}}\!\!q_{2k\sp{1.5}+1}X^k:\,$
$\eqalign{Q&=\frac{Q(X)-Q(-X)}2=\sum_{\ell=0}^mq_\ell\frac{X^\ell-(-X)^\ell}2\\[-1ex] &=\!\!\smb{2}{\dsum_{2\sp{1.5}k+1\leq m}}\!\!q_{2k\sp{1.5}+1}X^{2\sp{1.5}k+1}=X\sp{1.5}P(X^2)}$
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiale
associée $\,\widetilde Q\,$
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que : $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
impaire.
- $f$ est paire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
- $f$ est impaire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$
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Exercice d
\\(\GREC\\)Montrer que l'ensemble $\sc S$ des solutions sur $\bb R$ de l'équation différentielle : $\,x\,y\sp{1.5}'-2\,y=0\sp{1.5},\,$ forme un $\bb R\tiret$espace vectoriel.
Résoudre ensuite cette équation différentielle et en déduire la dimension de l'espace vectoriel $\,\sc S.\,$
noyau d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
image d'une application linéaire
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$ L'image de $f$ est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$
$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$
$\,\op{Im}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$
caractérisation des applications linéaires injectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective ssi :
$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$
caractérisation des applications linéaires surjectives
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective ssi :
$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$
indication
1
Faire apparaître $\sc S$ comme le noyau d'une application linéaire définie sur $\,\sc C^1(\bb R,\bb R).\,$
indication
2
Résoudre l'équation sur chaque intervalle de $\,\bb R^{\ast},\,$ puis raccorder ses solutions en $\,x=0\sp{1.5}.\,$
réponse
L'ensemble $\sc S$ est le plan vectoriel de $\,\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ formé des fonctions :
$\displaystyle{}f_{A,B}:x\mapsto\Big\{\eqalign{\sp{1.5}A\,\smash[t]{x^2}\ \txt{si} x\leq 0\\[-.5ex] \sp{1.5}B\,x^2\ \txt{si} x\geq 0}\ \txt{pour}(A,B)\app\bb R^2$
correction
Soit l'application $\Delta$ de
Soit $I$ un intervalle de $\bb R$ et $\,f,g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors :
l'espace vectoriel
$\,\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ vers $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ qui à $\,f\app\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ associe $\D(f)$ définie par : - $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(I,\bb K)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \D(f)(x)=x\,f'(x)-2\,f(x)$
Cette application $\Delta$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaire,
car pour $\,f,g\app\sc C^1(\bb R,\bb R)\,$ et pour $\,\a,\b\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a bien par
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
linéarité
de la dérivation : - $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\D(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)&=\a\sp{1.5}\D(f)+\b\D(g)\sp{1.5},\txt{car pour tout}x\app\bb R:\\[.5ex]
\D(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)&=x\sp{1.5}(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)'(x)-2\sp{1.5}(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)\\
&=\a\big(x\,f'(x)-2\,f(x)\big)+\b\sp{1.5}\big(x\,g'(x)-2\,g(x)\big)\\&=\a\sp{1.5}\D(f)(x)+\b\D(g)(x)}$
L'ensemble $\,\sc S\sp{-1.5},\,$ caractérisé par la relation $\,\Delta(f)=0\sp{1.5},\,$ est alors le
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$
Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$
noyau
de cette application linéaire : $\,\sc S=\op{Ker} \D\sp{1.5}.\,$
$\,\sc S\,$ forme donc un $\bb R\tiret$espace vectoriel en tant que
$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$
$\,\op{Ker}f\,$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel de l'espace $\sc C^1(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.$
Sous la forme normalisée : $\,\smash[b]{y'-\dfrac2x\sp{1.5}y}\,,\,$ l'équation a pour
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Soient $\,a\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
solution
sur chaque intervalle de $\,\bb R^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=0$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\sp{1.5},\,$ la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ est :
$\displaystyle{}\psi(x)= K\sp{1.5}\e{-A(x)}\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\displaystyle{}f(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\ln x}=K\sp{1.5}x^2,\,\txt{pour}K\app\bb R$
Avec $\,f(0)=0\sp{1.5},\,$ les solutions sur $\,]-\I,0\,[\,$ et sur $\,]\,0,+\I[\,$ se raccordent par continuité en $\,0\sp{1.5}.\,$
Ce prolongement est de plus de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ car selon le
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ dérivable sur $\,I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smb0{\lim xaf'(x)}=\ell\sp{1.5}.\,$
théorème
de la limite de la dérivée :
- Lorsque $\,\sth1\ell\app\bb R\sp{1.5},\,$ $f$ est dérivable en $a\sp{1.5},$ avec : $\,f'(a)=\ell\,;\,$
- lorsque $\ell=\pm\I\sp{1.5},$ alors : $\,\lim xa\smh{1.7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell\,.\,$
$\displaystyle{}\lim x0 f(x)=\lim x0f'(x)=0$
Les solutions sur $\bb R$ sont donc les fonctions $f_{A,B}\,$ pour $(A,B)\app\bb R^2,$ définies par :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f_{A,B}\sp{1.5}(x)=\syst{\sp{1.5}A\,x^2\ \txt{si} x\leq 0\\[-.5ex] \sp{1.5}B\,x^2\ \txt{si} x\geq 0}$
En observant que $\,f_{A,B}=A\sp{1.5}f_{1,0}+B\sp{1.5}f_{0,1}\sp{1.5},\,$ on peut affirmer que la famille $\,(f_{1,0}\sp{1.5},\sp{1.5}f_{0,1})\,$
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
engendre
$\sc S\sp{1.5}.$
D'autre part, avec $\,A=f_{A,B}\sp{1.5}(-1)\,$ et $\,B=f_{A,B}\sp{1.5}(1)\sp{1.5},\,$ la famille $\,(f_{1,0}\sp{1.5},\sp{1.5}f_{0,1})\,$ est
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
libre
car :
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
$\displaystyle{}A\sp{1.5}f_{1,0}+B\sp{1.5}f_{0,1}=f_{A,B}=0\Imp(A=0\txt{et}B=0\sp{1.5})$
On a finalement démontré que l'ensemble des solutions $\,\sc S=\op{Vect}(f_{1,0}\sp{1.5},\sp{1.5}f_{0,1})\,$ est un
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.
Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$
C'est la dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$
plan vectoriel.
- lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$ est une droite vectorielle ;
- lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$ est un plan vectoriel.