Sujet B.2.1 Linéarité
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Exercice a
\\(\GREC\\)Soint $\,E=\sc{F}([0,1],\bb{R})\,$ l'espace vectoriel des applications $\,f:[0,1]\to\bb{R}\sp{1.5}.\,$
Pour $n\geq 2$ fixé, l'expression suivante définit-elle une forme linéaire $\,\phi\,$ sur $\,E\ ?\,$
$\displaystyle{}\phi(f)=\frac{1}{n}\bigg(\frac{f(0)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\Big(\frac{k}{n}\Big)
+\frac{f(1)}{2}\bigg)$
applications linéaires
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
formes linéaires
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
espace vectoriel d'applications linéaires
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
composition d'applications linéaires
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
indication
Vérifier d'abord la linéarité des applications $\,\psi_t: f\mapsto f(t)\sp{1.5}.\,$
réponse
L'application $\,\phi:E\to\bb R\,$ est bien une forme linéaire sur l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
correction
Pour tout $t\app\, [0,1]\sp{1.5},$ l'application $\,\psi_t: f\mapsto f(t)\,$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaire
car, pour tous $f,g\app E$ et $\,\a,\b\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
$\eqalign{\psi_t(\a\,f+\b\,g)&=(\a\,f+\b\,g)(t)\\ &=\a\,f(t)+\b\,g(t)=\a\,\psi_t(f)+\b\,\psi_t(g)}$
De plus, chaque $\psi_t$ est une application de $E$ vers $\bb{R}\sp{1.5};$ les $\psi_t$ sont donc des
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
formes
linéaires sur $\,E:\,$ $\,\psi_t\app\sc L(E,\bb R)\sp{1.5}.\,$
La fonction $\,\phi\,$ est une combinaison linéaire des $n+1$ formes linéaires $\,\psi_{k/n}\sp{1.5},\,$ pour $\,k\,$ variant de $0$ à $n\sp{1.5}.$
Sachant que $\,\sc L(E,\bb R)\,$ est un
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
sous-espace
vectoriel de $\,\sc F(E,\bb R)\sp{1.5},\,$ $\,\phi\,$ est donc à son tour une forme linéaire sur $E\sp{1.5}.$
Lorsque la fonction $f$ est continue sur $\,[0,1]\sp{1.5},\,$ $\phi(f)$ constitue une approximation de $\,\dint_0^1\!\!f(x)\sp{-1.5}\op d\! x\,$ par la méthode des trapèzes.
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Exercice b
$ \GREC $Étant donnés $\,u\app\bb C\,$ et $\,v\app\bb C\,$ fixés, on considère l'application $\,f:z\mapsto u\sp{1.5}z+v\sp{1.5}\surl{z}\,$ de $\,\bb{C}\,$ dans lui-même.
Montrer que $f$ est un endomorphisme du $\bb{R}\tiret$espace vectoriel $\,\bb{C}\sp{1.5}.\,$
S'agit-il aussi d'un endomorphisme du $\bb{C}\tiret$espace vectoriel $\,\bb{C}\,?\,$
applications linéaires
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
formes linéaires
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
espace vectoriel d'applications linéaires
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
composition d'applications linéaires
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
indication
Considérer séparément les applications de $\,\bb C\,$ vers $\,\bb C:\,$ $\,g:z\mapsto u\sp{1.5}z\sp{1.5},\,$ $\,h:z\mapsto v\sp{1.5}z\,$ et $\,k:z\mapsto\surl{\sp{1.5}z\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient bien : $\,f\app \sc{L}_{\,\bb{R}}(\bb{C})\sp{1.5},\,$ mais en revanche, pour $\,v\neq0:\,$ $\,f\notin\! \sc{L}_{\,\bb{C}}(\bb{C})\sp{1.5}.\,$
correction
Les applications $\,g:z\mapsto u\,z\,$ et $\,h:z\mapsto v\,z\,$ sont
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaires
car, pour tous $\,\a\sp{1.5},\b\app \bb{R}\,$ et $\,z\sp{1.5},z'\app \bb{C}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
$\displaystyle{}u\sp{1.5}(\a\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}z')= \a\sp{1.5}u\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}u\sp{1.5}z'\ \ {\rm et}\ \ v\sp{1.5}(\a\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}z')=
\a\sp{1.5}v\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}v\sp{1.5}z'$
Sachant que la conjugaison $\,k:z\mapsto \surl{\sp{1.5}z\,}\,$ est
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
compatible
avec la somme dans $\,\bb C\sp{1.5},\,$ on a en premier lieu :- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} k\sp{1.5}(\a\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}z')= \surl{\a\sp{1.5}z+\b\sp{1.5}z'}= \surl{\a\sp{1.5}z\sth{.15}}+\surl{\b\sp{1.5}z'}=k(\a\sp{1.5}z)+k(\b\sp{1.5}z')$
On finit ensuite de prouver la $\bb R\tiret$linéarité de la conjugaison $\,k\,$ en écrivant $\,z=x+i\,y\,$ pour $\,x\sp{1.5},y\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\eqalign{k\sp{1.5}(\a\sp{1.5}z)=\surl{\a\,z\sth{.05}}&= \surl{\a(x+i\,y)} =\surl{\a\,x+i\,\a\,y}\\&=\a\,x-i\,\a\,y= \a\sp{1.5}(x-i\,y)=\a\,\surl{\sp{1.5}z\,}=\a\,k\sp{1.5}(z)}$
On peut
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
décomposer
la fonction $f$ à l'aide des fonctions $g\sp{1.5},$ $h$ et $\,k:\,$
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\displaystyle{}\ptt z\app\bb C\sp{1.5},\ f(z)=g(z)+h(\surl{\sp{1.5}z\,})=g(z)+h(k(z))$
Il s'ensuit que : $\,f=g+h\circ k\sp{1.5},\,$ d'où la $\bb{R}\tiret$linéarité de $f$ par
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
composition
et
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
somme
d'applications $\bb R\tiret$linéaires.
On a bien ainsi démontré que l'application $\,f:\bb{C}\rightarrow\bb{C}\,$ est un $\bb{R}\tiret$
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\,\bb{C}\sp{1.5}.\,$
En revanche, la conjugaison $\,k:z\mapsto \surl{\sp{1.5}z\,}\,$ n'étant pas $\bb{C}\tiret$linéaire,
$f$ n'est en général pas un $\bb{C}\tiret$endomorphisme.
Plus précisément, $f$ n'est pas un $\bb{C}\tiret$endomorphisme lorsque $\,v\neq0\sp{1.5},\,$ comme le montre le contre-exemple suivant :
$\displaystyle{}f(\sp{.75}i.1)=f(\sp{.75}i)=u\,i-v\,i\neq u\,i+v\,i=i\sp{1.5}f(1)$
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Exercice c
\\(\GREC\\)Soit $A\app\bb K[X]$ un polynôme fixé et non nul ; à tout
$P\app\bb K[X]\sp{1.5},$ on associe le reste $f(P)$ de sa division euclidienne par $A\sp{1.5}.$
Montrer qu'on définit ainsi une application linéaire sur $\,\bb K[X]\sp{1.5};\,$
s'agit-il d'un endomorphisme de $\,\bb K[X]\,?\,$
applications linéaires
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
formes linéaires
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
espace vectoriel d'applications linéaires
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
composition d'applications linéaires
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
indication
1
Utiliser l'unicité du reste dans la division euclidienne par $A$ pour établir la linéarité de $f.$
indication
2
Distinguer différents cas selon le choix effectué pour l'espace d'arrivée de l'application $f.$
réponse
Avec $\,p=\deg(A)\sp{1.5},\,$ on obtient selon le choix effectué pour l'espace d'arrivée de $f:$
- soit $\,f\app\sc L\big(\bb K[X],\bb K_{p-1}[X]\big),\,$ et $f$ n'est pas un endomorphisme de $\bb K[X]\sp{1.5};\stb{1}$
- soit $\,f\app \sc L\big(\bb K[X]\big),\,$ auquel cas $f$ est bien un endomorphisme de $\bb K[X]\sp{1.5}.$
correction
Dans la
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne par $A\sp{1.5},$ $\,P_1\app \bb K[X]\,$ et $\,P_2\app \bb K[X]\,$ ont pour images $\,f(P_1)=R_1\,$ et $\,f(P_2)=R_2\,$ tels que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}P_i=A\sp{1.5}Q_i+R_i,\text{ avec }\,Q_i,R_i\app \bb K[X]\,\text{ et }\deg(R_i)\!<\!\deg(A)$
On examine alors la
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéarité
de $f$ en considérant la division euclidienne de $\,\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2\,$ par $A\sp{1.5},$ pour $\a,\b\app \bb K\sp{1.5}.$
Compte tenu de la majoration du
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
Pour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :
degré
d'une somme de polynômes, on obtient :
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2=A\sp{1.5}(\a\sp{1.5}Q_1+\b\sp{1.5}Q_2)+\a\sp{1.5}R_1+\b\sp{1.5}R_2\sp{1.5},\txt{avec :}\\
&\deg(\a\sp{1.5}R_1+\b\sp{1.5}R_2)\leq \max\big(\deg(R_1),\deg(R_2)\big)<\deg(A)}$
On a donc $\,\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2=A\sp{1.5}Q+R\,$ avec $\,Q=\a\sp{1.5}Q_1+\b\sp{1.5}Q_2\,$ comme quotient et $\,R=\a\sp{1.5}R_1+\b\sp{1.5}R_2\,$ comme reste.
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
L'unicité
du couple $(Q,R)$ dans la division euclidienne de $\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2$ par $A$ nous garantit alors que $f$ est linéaire :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}f(\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2)=\a\sp{1.5}R_1+\b\sp{1.5}R_2= \a\sp{1.5}f(P_1)+\b\sp{1.5}f(P_2)$
Cependant, la
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
définition
de l'application $f$ demeure ambigüe tant qu'on n'a pas précisé son espace d'arrivée.
En posant $\,p=\deg(A)\sp{1.5},\,$ on peut ainsi définir plusieurs applications $f,$ comme par exemple :
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
- l'application $\,f:\bb K[X]\rightarrow\bb K_{p-1}[X]\sp{1.5},\,$ qui est alors
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$surjective, mais qui n'est pas un$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$ On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$endomorphisme de $\bb K[X]\,;$
- l'application $\,f:\bb K[X]\rightarrow\bb K[X]\sp{1.5},\,$ qui est cette fois un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$ On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$endomorphisme de $\bb K[X]\sp{1.5},$ mais qui n'est plusUne application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$surjective.$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
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Exercice d
\\(\GREC\\)Soit $\phi$ un élément fixé du $\bb{R}\tiret$espace vectoriel $E$ des applications réelles définies sur $\bb R\sp{1.5}.$
Les applications $\,A:f\mapsto f\circ \phi\,$ et $\,B:f\mapsto \phi\circ f\,$ définissent-elles des endomorphismes de l'espace vectoriel $E\,?$
applications linéaires
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
formes linéaires
Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$
espace vectoriel d'applications linéaires
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
composition d'applications linéaires
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si
$f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :
$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$
indication
Comparer les éléments de $E$ en les évaluant pour un réel $x$ arbitraire.
réponse
$\,A:f\mapsto f\circ \phi\,$ est bien un endomorphisme de $E$.
$\,B:f\mapsto \phi\circ f\,$ n'est pas linéaire, à moins que $\phi$ ne soit elle-même une application linéaire.
correction
Par définition de la
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composition,
la composée de deux applications de $\bb R$ dans $\bb R$ est encore du même type.
Il s'ensuit
que $A$ et $B$ sont bien des applications de l'espace $E$ dans lui-même.
Pour tous $\,f,g\app E\,$ et $\,\a,\b\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ on a d'abord, pour un $x\app \bb{R}$ arbitraire :
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\eqalign{\big((\a f+\b g)\circ\phi\big)(x)&= (\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)\big(\phi(x)\big)\\ &=\a\sp{1.5}f\big(\phi(x)\big)+\b\sp{1.5}g\big(\phi(x)\big)\\ &=\a\sp{1.5}(f\circ\phi)(x)+\b\sp{1.5}(g\circ\phi)(x)\\ &=\big(\a\sp{1.5}(f\circ\phi)+\b\sp{1.5}(g\circ\phi)\big)(x)}$
Par définition de
Deux applications $\,f:E\to F\,$ et $\,g:E'\to F'\,$ sont égales ssi :
l'égalité
de deux applications, on a donc :
$\displaystyle{}E=E'\,\text{ et }\,F=F'\,\text{ et }\,\ptt x\app E,\ f(x)=g(x)$
$\eqalign{A(\a f+\b g)&=(\a f+\b g)\circ\phi\\ &=\a\sp{1.5}(f\circ\phi)+\b\sp{1.5}(g\circ\phi)\\&=\a A(f)+\b A(g)}$
L'application $\,A\,$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :
linéaire
de $E$ vers $E\sp{1.5};$ c'est bien un
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$
On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $E:$ $\,A\app \sc L(E).\,$
En revanche on a en général, pour une application $\,\phi:\bb{R}\to\bb{R}\,$ quelconque et pour un $\,x\app\bb R:\,$
$\eqalign{\big(\phi\circ(\a f+\b g)\big)(x)&= \phi\big((\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)\big)\\ &=\phi\big(\a\sp{1.5}f(x)+\b\sp{1.5}g(x)\big)\\ &\neq\a\sp{1.5}\phi\big(f(x)\big)+\b\sp{1.5}\phi\big(g(x)\big)}$
En effet, l'application $\,\phi\,$ n'est a priori pas linéaire, puisque les seules $\,\phi\app\sc L(\bb R,\bb R)\,$ sont les applications :
$\displaystyle{}\phi:x\mapsto \phi(x.1)=x\sp{.75}\phi(1)=a\sp{1.5}x\sp{1.5},\txt{pour}a=\phi(1)\app \bb{R}$
On en conclut que l'application $\,B\,$ n'est en général pas linéaire, avec pour $\,f,g\app E\,$ et $\,\a,\b\app \bb{R}:\,$
$\eqalign{B(\a f+\b g)&=\phi\circ(\a f+\b g)\\ &\neq\a\sp{1.5}(\phi\circ f)+\b\sp{1.5}(\phi\circ g)=\a B(f)+\b B(g)}$