exercices de mathématiques - prépa et université

Pour tout réel $\,k\sp{1.5},\,$ on note $\,\surl{\sp{1.5}k\sp{1.5}}\,$ l'application constante de $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\,\Op{\longmapsto}^{\surl{\sp{1.5}k\sp{1.5}}} k\sp{1.5}.\,$

Sachant que $\,(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times)\,$ est un

Soient un ensemble $\,\Omega\sp{1.5},\,$ un corps $\,\bb K\,$ et les opérations sur $\,\sc F(\Omega,\bb K):\,$

$\eqalign{\ptt x\app\Omega,\ (f+g)(x)= f(x)+g(x)\\[-.5ex]\ptt x\app\Omega,\ (f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\stb1}$

Alors $\,\big(\sc F(\Omega,\bb K),+,\times\big)\,$ forme un anneau commutatif.

anneau commutatif, il resterait deux conditions à vérifier pour que cet

Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes  est  un anneau $(A,+,\times)$  ssi :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
• le produit est associatif :  $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
• $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit :  $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
• le produit est distributif par rapport à la somme :
  $\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$

L'anneau $(A,+,\times)$ est commutatif  ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ x\sp{1.5}y=y\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

anneau soit un

Un anneau commutatif $\,(K,+,\times)\,$ non réduit à $\,\{0_K\}\,$ est  un corps  ssi  tout élément non nul de $K$ est inversible.

corps :

• Que $\,\sc F(\bb R,\bb R)\,$ ne soit pas réduit à $\,\{\surl{\sp{1.5}0\sp{1.5}}\}\,;\,$ c'est le cas, car il contient la fonction $\,\surl{\sp{1.5}1\sp{1.5}},\,$ neutre pour le produit et distincte de $\,\surl{\sp{1.5}0\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
• Que tout élément $\,f\,$ de $\,\sc F(\bb R,\bb R)\,$ distinct de $\,\surl{\sp{1.5}0\sp{1.5}}\,$ ait un
  Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible  ssi :

  $\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$

  Cet $\,y\app A\,$ est alors  unique ;  c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté :  $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$

  L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
  inverse $\,g\app\sc F(\bb R,\bb R)\,$ tel que $\,f\sp{1.5}.g=\surl{\sp{1.5}1\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :
  $\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ (f\sp{1.5}.g)(x)=f(x)\sp{1.5}.g(x)=1$
  Cela implique que : $\,\ptt x\app\bb R,\ f(x)\neq0\sp{1.5};\,$ la condition $\,f\neq\surl{0}\,$ ne suffit donc pas : $f$ ne doit s'annuler en aucun $\,x\app\bb R\sp{1.5}.\,$

Une fonction comme $\,\op{Id}_{\bb R}:x\mapsto x\,$ est distincte de $\,\surl{\sp{1.5}0\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ mais elle n'a pas d'inverse dans $\,\sc F(\bb R,\bb R)\,$ car elle s'annule en $\,x=0\sp{1.5}.\,$

On a ainsi démontré que l'anneau commutatif $\,(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times)\,$ n'est pas un corps.

Il ressort aussi des considérations précédentes que le groupe des éléments inversibles de $\,\sc F(\bb R,\bb R)\,$ est :

Montrons d'abord que $K,$ inclus dans $\bb R\sp{1.5},$ est un

Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes  est  un anneau $(A,+,\times)$  ssi :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
• le produit est associatif :  $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
• $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit :  $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
• le produit est distributif par rapport à la somme :
  $\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$

L'anneau $(A,+,\times)$ est commutatif  ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ x\sp{1.5}y=y\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

anneau commutatif en tant que

Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$  ssi :

• $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
• $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
• $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$

$B$ est alors un anneau pour les restrictions des lois $\,+\,$ et $\,\times\,$ à  $\,B\!\times\! B\sp{1.5}.\,$

sous-anneau du

Pour les opérations usuelles, $\,(\bb R\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est  un corps.

corps $\,(\bb R,+,\times):\,$

• $K$ est stable pour la somme et le produit de $\,x=a+b\sp{.75}\sqrt2\app K\,$ et $\,y=c+d\sp{.75}\sqrt2\app K\sp{1.5}.\,$
  En effet, on a alors par
  Une loi de composition interne sur un ensemble $E$  est  une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$

  Une partie $A$ de $E$  est stable pour la loi $\,*\,$ ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$
  stabilité de la somme et du produit dans le corps $\,(\bb Q, +,\times):\,$
  $\eqalign{x+y&=(a+c)+(b+d)\sp{.75}\sqrt2\app K\\ x\sp{1.5}y&=(a\sp{1.5}c+2\sp{1.5}b\sp{1.5}d)+(a\sp{1.5}d+b\sp{1.5}c)\sp{.75}\sqrt2\sp{1.5}\app K}$
• $K$ contient le nombre $\,1\sp{1.5},\,$ obtenu pour $\,a=1\,$ et $\,b=0\sp{.75},\,$ et donc :  $\,K\neq\vide\sp{1.5}.\,$
• Enfin, pour tout $\,x=a+b\sp{.75}\sqrt2,\,$ on a aussi :  $\,-\,x=-\sp{1.5}a-b\sp{1.5}\sqrt2\sp{.75}\app K\sp{1.5}.\,$

$K$ est ainsi, non seulement un

Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :

• $H$ est non vide ;
• $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
• tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$

$H$ est alors un groupe pour la restriction de la loi $\,*\,$ à $\,H\!\times\! H\sp{1.5}.\,$

sous-groupe de $\,(\bb R,+)\sp{1.5},\,$ mais aussi un sous-anneau de $\,(\bb R,+,\times)\sp{1.5}.\,$

$K$ n'étant pas réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ $\,(K,+,\times)\,$ sera un

Un anneau commutatif $\,(K,+,\times)\,$ non réduit à $\,\{0_K\}\,$ est  un corps  ssi  tout élément non nul de $K$ est inversible.

corps si et seulement si tout $\,x\app K\!\setminus\!\{0\}\,$ est

Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible  ssi :

$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$

Cet $\,y\app A\,$ est alors  unique ;  c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté :  $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$

L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$

inversible dans $K.$

Pour $\,x=a+b\sp{.75}\sqrt2\app K\!\setminus\!\{0\}\,\,$ on a : $\,(a+b\sp{.75}\sqrt2)(a-b\sp{.75}\sqrt2)=a^2-2\sp{.75}b^2\neq0\,,\,$ car avec $\,a^2-2\sp{1.5}b^2=0,\,$ on aurait :

• soit $\,b=0\sp{1.5},\,$ et alors : $\,a=0,\,$ ce qui est exclu puisque $\,a+b\sp{.75}\sqrt2\neq0\,;\,$
• soit $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ et alors : $\,\sqrt2=\pm\,\smh{.5}{\dfrac ab}\app\bb Q,\,$ ce qui est également exclu.

Dans ces conditions, tout $\,x=a+b\sp{1.5}\sqrt2\sp{1.5}\app K\!\setminus\!\{0\}\,$ a alors pour inverse : Il s'ensuit que cet inverse de $\,x\,$ appartient à $K,$  par stabilité des opérations dans le corps $\,(\bb Q, +,\times)\sp{1.5}.\,$

En conclusion, $\,(K,+,\times)\,$ est un corps ; on dit alors que $K$ est un sous-corps de $\,(\bb R,+,\times)\sp{1.5}.\,$

Le complexe $\,j\,$ est une

Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$

Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a  alors :

$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$

racine cubique de l'unité distincte de $\,1,\,$ d'où : $\,1+j+j^{\sp{1.5}2}=0\sp{1.5},\,$ et donc : $\,j^{\sp{1.5}2}=-1-j\,.\,$

D'autre part, $\,j\,$ étant de

Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$  est :  $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$

C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a  alors :

• $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
• $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
• $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$

module $\,1\sp{1.5},\,$ on a aussi :

Montrons que $K,$ inclus dans $\bb C\sp{1.5},$ est un

Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes  est  un anneau $(A,+,\times)$  ssi :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
• le produit est associatif :  $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
• $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit :  $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
• le produit est distributif par rapport à la somme :
  $\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$

L'anneau $(A,+,\times)$ est commutatif  ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ x\sp{1.5}y=y\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

anneau commutatif en tant que

Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$  ssi :

• $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
• $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
• $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$

$B$ est alors un anneau pour les restrictions des lois $\,+\,$ et $\,\times\,$ à  $\,B\!\times\! B\sp{1.5}.\,$

sous-anneau du

Pour les opérations usuelles, $\,(\bb C\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est  un corps.

corps $\,(\bb C,+,\times):\,$

• $K$ est stable pour la somme et le produit de $\,z_1=x_1+y_1\sp{1.5}j\sp{.75}\app K\,$ et $\,z_2=x_2+y_2\sp{1.5}j\sp{.75}\app K\sp{1.5}.\,$
  En effet, on a alors par
  Une loi de composition interne sur un ensemble $E$  est  une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$

  Une partie $A$ de $E$  est stable pour la loi $\,*\,$ ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$
  stabilité de la somme et du produit dans le corps $\,(\bb Q, +,\times):\,$
  $\eqalign{ \!z_1+z_2&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\sp{1.5}j\sp{.75}\app K\\ \!z_1\sp{1.5}z_2&=x_1\sp{1.5}x_2 +(x_1\sp{1.5}y_2+y_1\sp{1.5}x_2)\sp{1.5}j+y_1\sp{1.5}y_2\sp{1.5}j^{\sp{1.5}2}\\[-.5ex] &=\!(x_1\sp{1.5}x_2-y_1\sp{1.5}y_2)\sp{-1.5} +\sp{-1.5}(x_1\sp{1.5}y_2+y_1\sp{1.5}x_2-y_1\sp{1.5}y_2)\sp{1.5}j\sp{.75}\app K}$

• $\,K\,$ contient le nombre $\,1\sp{.75},\,$ obtenu pour $\,x=1\,$ et $\,y=0\sp{.75},\,$ et donc : $\,K\neq\vide\,.\,$

• Enfin, pour tout $\,z=x+y\sp{1.5}j\sp{1.5},\,$ on a aussi : $\,-\sp{1.5}z=-\sp{1.5}x-y\sp{1.5}j\app K\sp{1.5}.\,$

$\,K\,$ est ainsi non seulement un

Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :

• $H$ est non vide ;
• $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
• tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$

$H$ est alors un groupe pour la restriction de la loi $\,*\,$ à $\,H\!\times\! H\sp{1.5}.\,$

sous-groupe de $\,(\bb C,+)\sp{1.5},\,$ mais aussi un sous-anneau de $\,(\bb C,+,\times)\sp{1.5}.\,$

$\,K\,$ n'étant pas réduit à $\,\{0\},\,$ $\,(K,+,\times)\,$ sera un

Un anneau commutatif $\,(K,+,\times)\,$ non réduit à $\,\{0_K\}\,$ est  un corps  ssi  tout élément non nul de $K$ est inversible.

corps si et seulement si tout $\,x\app K\!\setminus\!\{0\}\,$ est

Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible  ssi :

$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$

Cet $\,y\app A\,$ est alors  unique ;  c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté :  $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$

L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$

inversible dans $K\sp{1.5}.$

Soit $\,z=x+y\sp{1.5}j\app K\!\setminus\!\{0\}\,;\,$ on a alors $\,|z|^2=z\sp{1.5}\surl{z\,}>0\,$ et : Le calcul de $\,z_1\sp{1.5}z_2\,$ effectué ci-dessus montre, pour $\,z_1=x+y\sp{1.5}j\,$ et $\,z_2=(x-y)-y\sp{1.5}j\sp{1.5},\,$ que $\,|z|^2=z\,\surl{z\,}\,$ vaut : On en déduit que : $\,|z|^2=x^2-x\sp{.75}y+y^2\,$ est un rationnel strictement positif, et que $\,z\,$ a pour inverse :

On en conclut que cet inverse de $\,z\,$ appartient à $K,$  par stabilité des opérations dans le corps $\,(\bb Q, +,\times)\sp{1.5}.\,$

En conclusion, $\,(K,+,\times)\,$ est un corps ; on dit alors que $\,K\,$ est un sous-corps de $\,(\bb C,+,\times)\sp{1.5}.\,$