Sujet A.2.3 Structure d'anneau
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Exercice
Soit $A$ l'ensemble des quotients d'un entier relatif par un entier naturel impair.
Démontrer que $\,(A,+,\times)\,$ est un anneau pour la somme et le produit usuels.
Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ?
structure d'anneau
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
anneau intègre
Un anneau $(A,+,\times)$ est intègre ssi il est commutatif, non réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ et sans diviseur de $\,0\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \big(x\,y=0\!\Imp\!(x=0\txt{ou} y=0)\big)$
éléments inversibles d'un anneau
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
sous-anneau
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
indication
1
Montrer que $A$ est un sous-anneau de l'anneau $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Discuter de l'inversibilité de $\,x=\dfrac m{2\sp{.75}p+1}\app A\,$ selon la parité de $\,m\sp{1.5}.\,$
réponse
$\,(A,+,\times)\,$ est un anneau commutatif, en tant que sous-anneau du corps $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$
Le groupe des éléments inversibles de $A$ est l'ensemble des quotients de deux entiers impairs.
correction
Soit $\,x=\dfrac{m}{2\sp{.75}p+1}\app A\sp{1.5},\,$ pour $\,m\app\bb Z,\ p\app\bb N\sp{1.5};\,$ avec $\,2\sp{.75}p+1\neq0\sp{1.5},\,$ $\,x\,$ est un nombre
Les nombres rationnels sont les nombres réels $\,q\,$ tels que :
rationnel :
$\,A\subset \bb Q\sp{.75}.\,$
Montrons alors que $(A,+,\times)$ est un
$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$
Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est un nombre irrationnel.
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
anneau
commutatif en tant que
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
sous-anneau
du
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est un corps.
corps
$\,(\bb Q,+,\times):\,$
-
$A$ est
Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$ Une partie $A$ de $E$ est stable pour la loi $\,*\,$ ssi : $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$stable pour la somme et le produit, car pour $\,x=\dfrac{m}{2\sp{.75}p+1}\app A\sp{1.5},\,$ $\,y=\dfrac{n}{2\sp{.75}q+1}\app A\sp{1.5},\,$ on a :$\eqalign{ &x+y=\frac{m(2\sp{.75}q+1)+n(2\sp{.75}p+1)} {2(p+q+2\sp{.75}p\sp{1.5}q)+1}\app A\\ &x\sp{.75}y=\smb{1.5}{\frac{m\,n} {2(p+q+2\sp{.75}p\sp{1.5}q)+1}}\app A}$
- $A$ contient le nombre $1\sp{.75},$ obtenu pour $\,m=1\,$ et $\,p=0\sp{.75},\,$ et donc : $\,A\neq\vide\,.\,$
- Enfin, pour tout $x=\dfrac m{2\sp{.75}p+1}\app A,$ on a aussi : $\,-x=\dfrac{-m}{2\sp{.75}p+1}\app A\sp{1.5}.\,$
Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :
sous-groupe
de $\,(\bb Q,+)\sp{1.5},\,$ mais aussi un sous-anneau de $\,(\bb Q,+,\times)\,.\,$
Soit $\,x=\dfrac{m}{2\sp{.75}p+1}\,$ un élément
- $H$ est non vide ;
- $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
- tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
inversible
de $\,(A,+,\times)\,;\,$ il existe alors $\,y=\dfrac{n}{2\sp{.75}q+1}\app A\,$ vérifiant :
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{x\sp{1.5}y&=\smh0{\frac{m}{2\sp{.75}p+1}\cdot\frac{n}{2\sp{.75}q+1}}=1\\
\txt{d'où :}\ m\sp{1.5}n&=(2\sp{.75}p+1)(2\sp{.75}q+1)=2(p+q+2\sp{.75}p\sp{1.5}q)+1}$
- $\,m\sp{1.5}n\,$ étant
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$ Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$impair, $\,m\,$ ne peut pas être pair ; $\,m\,$ est donc impair.
- Réciproquement, si $\,m\,$ est impair on a $\,m\neq 0,\,$ d'où :
$\displaystyle{}y=x^{-1}=\smh{1}{\smb{1.5}{\dfrac{2\sp{.75}p+1}{m}=\dfrac{-(2\sp{.75}p+1)}{-m}}}$On a : $\,x\sp{.75}y=1,\,$ et $\,m\,$ ou $\,-m\,$ est un entier naturel impair ; cet inverse de $\,x\,$ appartient donc bien à $A\sp{1.5}.$
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Exercice
Soit $\,\bb D\,$ l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire de la forme $\,\smb{2}{\dfrac{m}{10^p}}\,$ pour $\,m\app\bb Z\,$ et $\,p\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Démontrer que $\,(\bb D,+,\times)\,$ est un anneau pour la somme et le produit usuels.
Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ?
structure d'anneau
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
anneau intègre
Un anneau $(A,+,\times)$ est intègre ssi il est commutatif, non réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ et sans diviseur de $\,0\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \big(x\,y=0\!\Imp\!(x=0\txt{ou} y=0)\big)$
éléments inversibles d'un anneau
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
sous-anneau
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
indication
1
Montrer que $\,\bb D\,$ est un sous-anneau de l'anneau $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Discuter de l'inversibilité de $\,x=\dfrac m{10^p}\app\bb D\sp{1.5},\,$ au moyen de la décomposition de m en facteurs premiers.
réponse
$\,(\bb D,+,\times)\,$ est un anneau commutatif, en tant que sous-anneau du corps $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$
Le groupe des éléments inversibles de $\,\bb D\,$ est l'ensemble des nombres décimaux de la forme $\,\pm\,2^a\sp{1.5}5^b,\,$ pour $\,a,b\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
correction
Tout nombre décimal $\,x=\dfrac{m}{10^p}\,$ pour $\,m\app\bb Z,\ p\app\bb N,\,$ est un nombre
Les nombres rationnels sont les nombres réels $\,q\,$ tels que :
rationnel
: $\,\bb D\subset \bb Q\sp{1.5}.\,$
Montrons alors que $\,(\bb D,+,\times)\,$ est un
$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$
Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est un nombre irrationnel.
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
anneau
commutatif en tant que
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
sous-anneau
du
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
Pour les opérations usuelles, $\,(\bb Q\sp{1.5},+\sp{1.5},\times)\,$ est un corps.
corps
$\,(\bb Q,+,\times):\,$ -
$\,\bb D\,$ est
Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$ Une partie $A$ de $E$ est stable pour la loi $\,*\,$ ssi : $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$stable pour la somme et le produit, car pour $\,x,y\app\bb D,\,$ on a :$\eqalign{ x+y=&\frac{m}{10^p}+\frac{n}{10^q}&=&\frac{m\sp{1.5}10^q+n\sp{1.5}10^p} {10^{\sp{1.5}p+q}}\app\bb D\\ x\sp{1.5}y=&\ \frac{m}{10^p}\cdot\frac{n}{10^q}&=&\frac{m\sp{1.5}n} {10^{\sp{1.5}p+q}}\app\bb D}$
- $\,\bb D\,$ contient le nombre $\,1\sp{1.5},\,$ obtenu pour $\,m=1\,$ et $\,p=0\sp{1.5},\,$ et donc : $\,\bb D\neq\vide\,.\,$
- Enfin, pour tout $\,x=\dfrac m{10^p}\app\bb D\sp{1.5},\,$ on a aussi : $\,-x=\dfrac{-m}{10^p}\app\bb D\sp{1.5}.\,$
Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :
sous-groupe
de $\,(\bb Q,+)\sp{1.5},\,$ mais aussi un sous-anneau de $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,x=\dfrac{m}{10^p},\,$ un élément
- $H$ est non vide ;
- $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
- tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
inversible
de $\,(\bb D,+,\times)\sp{1.5};\,$ il existe alors $\,y=\dfrac{n}{10^q}\app\bb D\,$ vérifiant :
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{x\sp{1.5}y&=\smh0{\frac{m}{10^p}\cdot\frac{n}{10^q}}=1
\txt{pour}m,n\app\bb Z,\ p,q\app\bb N\\
\txt{d'où :}m\sp{1.5}n&=10^{\sp{1.5}p+q}=2^{\sp{1.5}p+q}\,5^{\sp{1.5}p+q}}$
- Par unicité de la
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :décomposition en facteurs premiers, $\,m\sp{1.5}n\,$ a pour seuls facteurs$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$ L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.premiers $\,2\,$ et $\,5\,.\,$ Il en va alors de même pour $\,m,\,$ d'où l'existence de $\,\alpha,\beta\app\bb N\,$ tels que $\,|m|=2^{\alpha}\sp{1.5}5^{\beta}.\,$
- Réciproquement, si $\,|m|=2^{\alpha}\sp{1.5}5^{\beta},\,$ on a $\,m\neq 0,\,$ d'où :
$\displaystyle{}y=x^{-1}=\smh{1.5}{\frac{10^p}m=\pm\dfrac{10^p}{2^{\alpha}\sp{1.5}5^{\beta}}= \pm\dfrac{2^{\sp{1.5}p+\beta}\,5^{\sp{1.5}p+\alpha}} {10^{\sp{1.5}\alpha+\beta}}}\app\bb D$
$\displaystyle{}x=\pm\,\dfrac{2^{\alpha}\sp{1.5}5^{\beta}}{10^p}=\pm\,2^{\sp{1.5}\alpha-p}\sp{1.5}5^{\sp{1.5}\beta-p}$
Les éléments inversibles de $\,\bb D\,$ sont donc les nombres de la forme $\,\pm\,2^a\sp{1.5}5^b\sp{1.5},\,$ pour $\,a,b\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
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Exercice
Soit $\,\sc P_1\,$ l'ensemble des fonctions réelles définies sur $\,\bb R\,$ et de période $\,1\sp{1.5}.\,$
Démontrer que $\,(\sc P_1,+,\times)\,$ est un anneau pour la somme et le produit des fonctions réelles ; cet anneau est-il intègre ?
Que peut-on dire de l'application $\,R:\sc P_1\to\sc F([\sp{1.5}0,1[,\bb R)\sp{1.5}\,$ qui à toute $f\app\sc P_1$ associe sa restriction à l'intervalle $\,[\sp{1.5}0,1[\,:\,$ $\,R(f)=f\restr{[\sp{1.5}0,1[}\ ?\,$
structure d'anneau
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
anneau intègre
Un anneau $(A,+,\times)$ est intègre ssi il est commutatif, non réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ et sans diviseur de $\,0\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \big(x\,y=0\!\Imp\!(x=0\txt{ou} y=0)\big)$
éléments inversibles d'un anneau
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
sous-anneau
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
indication
1
Montrer que $\sc P_1$ est un sous-anneau de l'anneau $\,\big(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times\big).\,$
indication
2
Vérifier que $\,R\,$ est un morphisme d'anneaux ; est-il bijectif ?
réponse
$\,(\sc P_1,+\times)\,$ est un anneau commutatif, en tant que sous-anneau de $\,\big(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times\big),\,$ mais cet anneau n'est pas intègre.
L'application $\,R:f\mapsto f\restr{[0,1]}\,$ constitue un isomorphisme d'anneaux de $\,(\sc P_1,+,\times)\,$ vers $\,\big(\sc F([0,1],\bb R),+,\times\big).\,$
correction
Toute fonction réelle définie sur $\,\bb R\,$ et
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :
de période $\,1\,$
appartient à l'ensemble $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
Montrons alors que $\,(\sc P_1,+,\times)\,$ est un
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est
un anneau $(A,+,\times)$ ssi :
anneau
commutatif en tant que
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
Soit $(A,+,\times)$ un anneau ; une partie $B$ de $A$ est un sous-anneau de $A$ ssi :
sous-anneau
de
- $B$ est sous-groupe de $(A,+)\,;$
- $B$ est stable pour la loi $\,\times\,:\,$ $\,\ptt (x,y)\app B^2,\ x\sp{1.5}y\app B\,;\,$
- $B$ contient l'élément neutre $\,1_A\,$ de $A$ pour la loi $\times\sp{1.5}.$
Soient un ensemble $\,\Omega\sp{1.5},\,$ un corps $\,\bb K\,$ et les opérations sur $\,\sc F(\Omega,\bb K):\,$
l'anneau
$\,(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times):\,$
$\eqalign{\ptt x\app\Omega,\ (f+g)(x)= f(x)+g(x)\\[-.5ex]\ptt x\app\Omega,\ (f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\stb1}$
Alors $\,\big(\sc F(\Omega,\bb K),+,\times\big)\,$ forme un anneau commutatif.
-
$\,\sc P_1\,$ est
Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$ Une partie $A$ de $E$ est stable pour la loi $\,*\,$ ssi : $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$stable pour la somme et le produit, car pour toutes $\,f,g\app\sc P_1\,$ et quel que soit $\,x\app\bb R\,:\,$$\eqalign{(f+g)(x+1)&=f(x+1)+g(x+1)\\[-.5ex]&=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\\ (f\sp{1.5}.g)(x+1)\ \ &=f(x+1)\sp{1.5}.g(x+1)\\[-.5ex]&=f(x)\sp{1.5}.g(x)=(f\sp{1.5}.g)(x)}$
- $\,\sc P_1\,$ contient la fonction $\,\surl{1}:x\mapsto 1\sp{1.5},\,$ élément neutre pour le produit, et donc : $\,\sc P_1\neq\vide\,.\,$
- Enfin, pour toute $\,f\app\sc P_1\sp{1.5},\,$ on a aussi : $\,-f\app\sc P_1,\,$ car quel que soit $\,x\app\bb R\,:\,$
$\displaystyle{}(-f)(x+1)=-f(x+1)=-f(x)=(-f)(x)$
Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :
sous-groupe
de $\,(\sc F(\bb R,\bb R),+)\sp{1.5},\,$ mais aussi un sous-anneau de $\,(\sc F(\bb R,\bb R),+,\times)\sp{1.5}.\,$
Considérons les fonctions
- $H$ est non vide ;
- $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
- tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$
La fonction indicatrice d'une partie $F$ d'un ensemble $E$ est :
indicatrices
suivantes, à valeurs dans $\bb R$ et de période $\,1\,:\,$
$\displaystyle{}\bb1_{\sp{-1.5}F}:E\to\{0,1\}\sp{1.5},\ \ x\mapsto\syst{&1\sp{1.5}\txt{si}x\app F\\[-.5ex]&0\sp{1.5}\txt{si}x\sp{-1.5}\non\app\sp{-1.5} F}$
$\displaystyle{}\bb1_{\lower .5ex \bb Z}:x\mapsto\syst{\,1&\txt{si}x\app\bb Z\\[-.5ex]0&\txt{si}x\notin\bb Z}
\ \txt{et}\ \bb1_{\lower .5ex{\bb R\setminus\bb Z}}:x\mapsto\syst{\,0&\txt{si}x\app\bb Z\\[-.5ex]1&\txt{si}x\notin\bb Z}$
Aucune de ces deux fonctions n'est nulle, mais leur produit est nul : l'anneau commutatif $\,(\sc P_1,+,\times)\,$ n'est pas
Un anneau $(A,+,\times)$ est intègre ssi il est commutatif, non réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ et sans diviseur de $\,0\sp{1.5},\,$ soit :
intègre.
La somme et le produit de $\,\smb0{f\restr{[\sp{1.5}0,1[}}\,$ et $\,\smb0{g\restr{[\sp{1.5}0,1[}}\,$ sont induits par la somme et le produit de $\,f,g\app\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
De même, l'application $\,\surl{1}\restr{[\sp{1.5}0,1[}\,$ est induite par l'application $\,\surl{1}\app\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
La restriction $\,R:f\mapsto f\restr{[\sp{1.5}0,1[}\,$ est donc un
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app A^2,\ \big(x\,y=0\!\Imp\!(x=0\txt{ou} y=0)\big)$
Soient deux anneaux $\,(A,+,\times)\,$ et $\,(A',+,\times)\,$ et $\,f:A\to A'\sp{1.5}.\,$
L'application $f$ est un morphisme d'anneau de $A$ vers $A'$ ssi :
morphisme
d'anneaux de $\,(\sc P_1,+,\times)\,$ vers $\,\big(\sc F([\sp{1.5}0,1[,\bb R),+,\times\big).\,$
Toute $\,f\app\sc P_1\,$ est entièrement définie par sa restriction $\,\phi=R(f)=f\restr{[\sp{1.5}0,1[}\sp{1.5},\,$
car par périodicité de $\,f\sp{1.5},\,$ on a :
- $\,\ptt(x,y)\app A^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)\,;\,$
- $\,\ptt(x,y)\app A^2,\ f(x\,y)=f(x)\sp{1.5}f(y)\,;\,$
- $\,f(1_A)=1_{A'}\,.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f(x)=f(x-\lfloor x\rfloor)=\phi(x-\lfloor x\rfloor)$
On considère alors les applications $\,\omega:x\mapsto x-\lfloor x\rfloor\,$ et $\,P:\phi\mapsto f=\phi\circ \omega\sp{1.5}.\,$
L'application $\,P\,$ associe ainsi à toute application $\,\phi\,$ de $\,[\sp{1.5}0,1[\,$ vers $\,\bb R\,$ son unique prolongement à $\,\bb R\,$ de période $\,1\sp{1.5}.\,$
L'application $\,R: f\mapsto \phi=f\restr{[\sp{1.5}0,1[}\,$ est donc une application
Soient deux applications $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to E\,$ telles que :
bijective,
et de réciproque $\,P\,$ car : $\displaystyle{}g\circ f=\op{Id}_E \txt{et} f\circ g=\op{Id}_F$
Alors $f$ et $\,g\,$ sont bijectives, avec : $\,g=f^{-1}\,$ et $\,f=g^{-1}.\,$
$\displaystyle{}P\circ R=\op{Id}_{\sc P_1}\txt{et}R\circ P=\op{Id}_{\sc F([\sp{1.5}0,1[,\,\bb R)}$
On a démontré que l'application $\,R\,$ est un
Un morphisme d'anneaux $\,f:A\to A'\,$ est un isomorphisme ssi $f$ est bijectif.
Alors sa réciproque $\,f^{-1} : A'\to A\,$ est aussi un isomorphisme d'anneaux.
isomorphisme
d'anneaux de $\,\sc P_1\,$ vers $\,\sc F([\sp{1.5}0,1[,\bb R)\sp{1.5}.\,$