Sujet A.2.2 Morphisme de groupes
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Exercice
Soient $\,r>0\,$ et $\,\alpha\app\bb R\,$ et l'ensemble $\,E\,$ des $\,r^k\sp{1.5}\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\alpha}\,$ pour $\,k\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
Démontrer que $\,E\,$ forme un groupe pour une loi de composition interne à préciser.
morphisme de groupes
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
isomorphisme de groupes
Un isomorphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est un morphisme de groupes $\,\phi : G\to G\sp{1.5}'\,$ bijectif.
L'application réciproque $\,\phi^{-1} : G\sp{1.5}'\to G\,$ est alors un isomorphisme de $\,(G',\top)\,$ vers $\,(G,*)\sp{1.5}.\,$
noyau d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ le noyau $\,\op{Ker}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image réciproque du sous-groupe trivial $\,\{e'\}\!\cdot\,$
$\,\op{Ker}(\phi)\,$ est l'ensemble des antécédents de l'élément neutre $\,e'\,$ de $\,G\sp{1.5}':\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}(\phi)=\phi^{-1}\big(\{e'\}\big)=\ens{\sp{1.5}x\app G}{\phi(x)=e'}$
Cet ensemble $\,{\op{Ker}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}.\,$
image d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ l'image $\,\op{Im}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image directe du groupe $\,G\,$ par $\,\phi\sp{1.5}.\,$
$\,\op{Im}(\phi)\,$ est l'ensemble des images par $\,\phi\,$ de tous les éléments de $\,G:\,$
$\displaystyle{}\op{Im}(\phi)=\phi(G)=\ens{\sp{1.5}y\app G\sp{1.5}'}{\iex x\app G,\ y=\phi(x)}$
Cet ensemble $\,{\op{Im}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}'\sp{1.5}.\,$
indication
Faire apparaître $\,E\,$ comme l'ensemble image d'un morphisme de groupes.
figure
L'ensemble $\,E\,$ pour $\,r=1,\sp{-1.5}1\,$ et $\,\alpha=\pi/8\,$
réponse
$\,E\,$ forme un groupe multiplicatif, en tant que sous-groupe du groupe $\,(\bb C^{\ast},\times)\sp{1.5}.\,$
correction
On considère l'application $\,\smb{1}{\phi:\syst{\,\bb Z&\to \bb C^{\ast}\\[-.5ex]k&\mapsto r^k\sp{1.5}\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\alpha}}}\,$ qui est bien définie de $\bb Z$ vers $\,\bb C^{\ast}\!=\sp{-1.5}\bb C\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},\,$ car :
$\displaystyle{}\ptt k\app\bb Z,\ |\phi(k)|=r^k > 0$
C'est un
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
morphisme
du groupe $\,(\bb Z,+)\,$ vers le
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible
ssi :
groupe
$\,(\bb C^{\ast},\times)\,$ des éléments inversibles du
$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$
Cet $\,y\app A\,$ est alors unique ; c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté : $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$
Un anneau commutatif $\,(K,+,\times)\,$ non réduit à $\,\{0_K\}\,$ est un corps ssi tout élément non nul de $K$ est inversible.
corps
$\,(\bb C,+,\times):\,$
$\eqalign{\ptt (k,\ell)\app\bb Z^2,\ \phi(k+\ell)&= r^k\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\alpha}.\, r^\ell\e{i\sp{1.5}\ell\sp{1.5}\alpha}\\[-.5ex]
&=r^{k+\ell}\,\e{i\sp{1.5}(k+\ell)\sp{1.5}\alpha} =\phi(k)\sp{1.5}\phi(\ell)}$
Dans ces conditions, l'ensemble $\,E\,$ des $\,\phi(k)\,$ pour $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ est
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ l'image $\,\op{Im}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image directe du groupe $\,G\,$ par $\,\phi\sp{1.5}.\,$
$\,\op{Im}(\phi)\,$ est l'ensemble des images par $\,\phi\,$ de tous les éléments de $\,G:\,$
l'image
de ce morphisme de groupes : $\,E=\op{Im}\phi\,.\,$
Il s'ensuit que $\,E\,$ un
$\displaystyle{}\op{Im}(\phi)=\phi(G)=\ens{\sp{1.5}y\app G\sp{1.5}'}{\iex x\app G,\ y=\phi(x)}$
Cet ensemble $\,{\op{Im}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}'\sp{1.5}.\,$
Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :
sous-groupe
du groupe $\,(\bb C^{\ast},\times)\,;\,$ $\,(E,\times)\,$ est donc un groupe multiplicatif.
- $H$ est non vide ;
- $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
- tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$
On peut aussi établir directement que $\,(E,\times)\,$ satisfait à la
Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne est un groupe $(G,*)$ ssi :
définition
d'un groupe, mais c'est plus long.- la loi $\,*\,$ est associative : $\,\ptt(x,y,z)\app G^3,\ (x*y)*z=x*(y*z)\,;\,$
- $G$ contient un élément neutre $\,e:\,$ $\,\ptt x\app G,\ x*e=x=e*x\,;\,$
- tout $\,x\app G\,$ a un symétrique $\,x'\,$ dans $G:$ $\,\ptt x\app G,\ \iex x'\app G,\ x*x'=e=x'*x\sp{1.5}.\,$
On peut visualiser les éléments de $\,E\,$ dans le plan complexe ; ils sont disposés le long d'une spirale logarithmique :
|
L'ensemble $\,E\,$ pour $\,r=1,\sp{-1.5}1\,$ et $\,\alpha=\pi/8\,$
|
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Exercice
On considère l'application $\,\phi\,$ de $\,\bb Z\!\times\!\bb Z\,$ vers $\,\bb Z\,$ qui à tout $\,(x,y)\,$ associe l'entier : $\,2\sp{.75}x-3\sp{.75}y\sp{1.5}.\,$
Montrer que $\,\phi\,$ est un morphisme de groupes additifs dont on précisera le noyau et l'image.
Quelle propriétés de l'application $\,\phi\,$ peut-on en déduire ?
morphisme de groupes
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
isomorphisme de groupes
Un isomorphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est un morphisme de groupes $\,\phi : G\to G\sp{1.5}'\,$ bijectif.
L'application réciproque $\,\phi^{-1} : G\sp{1.5}'\to G\,$ est alors un isomorphisme de $\,(G',\top)\,$ vers $\,(G,*)\sp{1.5}.\,$
noyau d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ le noyau $\,\op{Ker}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image réciproque du sous-groupe trivial $\,\{e'\}\!\cdot\,$
$\,\op{Ker}(\phi)\,$ est l'ensemble des antécédents de l'élément neutre $\,e'\,$ de $\,G\sp{1.5}':\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}(\phi)=\phi^{-1}\big(\{e'\}\big)=\ens{\sp{1.5}x\app G}{\phi(x)=e'}$
Cet ensemble $\,{\op{Ker}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}.\,$
image d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ l'image $\,\op{Im}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image directe du groupe $\,G\,$ par $\,\phi\sp{1.5}.\,$
$\,\op{Im}(\phi)\,$ est l'ensemble des images par $\,\phi\,$ de tous les éléments de $\,G:\,$
$\displaystyle{}\op{Im}(\phi)=\phi(G)=\ens{\sp{1.5}y\app G\sp{1.5}'}{\iex x\app G,\ y=\phi(x)}$
Cet ensemble $\,{\op{Im}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}'\sp{1.5}.\,$
indication
Remarquer que pour tout $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a : $\,\phi\big((2\sp{.75}k,k)\big)=k\,$ et $\,\phi\big((3\sp{.75}k,2\sp{.75}k)\big)=0\sp{1.5}.\,$
réponse
$\,\phi\,$ est un morphisme de groupe surjectif, mais non injectif, avec :
$\displaystyle{}\op{Im}\phi=\bb Z\ \txt{et}\ \op{Ker}\phi=\ens{(3\,k,2\sp{.75}k)}{k\app \bb Z}$
correction
En notant $\,(\bb Z^2, +)\,$ le
Pour un groupe $\,(G,*\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ on définit sur $\,G\times G\,$ l'opération $\circledast:$
groupe
produit de $\,(\bb Z,+)\,$ par lui-même, on a pour tous $\,(x,y),(x',y')\app\bb Z^2\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt (x,x'),(y,y')\app G^2,\ (x,x')\circledast(y,y')=(x*y\sp{1.5},\, x'*y')$
Alors $\,(G^2,\circledast)\,$ est le groupe produit de $\,(G,*\sp{1.5})\,$ par lui-même.
$\eqalign{\phi\big((x,y)+(x',y')\big)&=\phi\big((x+x',y+y')\big)\\&=2(x+x')-3(y+y')\\&=(2\sp{.75}x-3\sp{.75}y)+(2\sp{.75}x'-3\sp{.75}y')\\
&=\phi\big((x,y)\big)+\big((x',y')\big)}$
Il s'ensuit que $\,\phi\,$ est un
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
morphisme
du groupe $\,(\bb Z^2,+)\,$ vers le groupe $\,(\bb Z,+)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ l'image $\,\op{Im}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image directe du groupe $\,G\,$ par $\,\phi\sp{1.5}.\,$
$\,\op{Im}(\phi)\,$ est l'ensemble des images par $\,\phi\,$ de tous les éléments de $\,G:\,$
L'image
de $\,\phi\,$ est une partie de $\,\bb Z\,$ contenant $\,\phi\big((2,1)\big)=1,\,$ ainsi que les $\,\phi\big((2\sp{.75}k,k)\big)=k\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\,.\,$
On a donc : $\,\op{Im}\phi=\bb Z\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve que le morphisme $\,\phi\,$ est
$\displaystyle{}\op{Im}(\phi)=\phi(G)=\ens{\sp{1.5}y\app G\sp{1.5}'}{\iex x\app G,\ y=\phi(x)}$
Cet ensemble $\,{\op{Im}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}'\sp{1.5}.\,$
Un morphisme de groupes $\,f: G\to G\sp{.75}'\,$ est surjectif ssi $\,\op{Im}f=G\sp{.75}'\sp{.75}.\,$
surjectif.
Le
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ le noyau $\,\op{Ker}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image réciproque du sous-groupe trivial $\,\{e'\}\!\cdot\,$
$\,\op{Ker}(\phi)\,$ est l'ensemble des antécédents de l'élément neutre $\,e'\,$ de $\,G\sp{1.5}':\,$
noyau
de $\,\phi\,$ est l'ensemble des $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ tels que $\,\phi\big((x,y)\big)=2\sp{.75}x-3\sp{.75}y=0\,.\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}(\phi)=\phi^{-1}\big(\{e'\}\big)=\ens{\sp{1.5}x\app G}{\phi(x)=e'}$
Cet ensemble $\,{\op{Ker}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}.\,$
- On observe alors que tous les $\,(3\sp{.75}k,2\sp{.75}k)\,$ pour $\,k\app\bb Z\,$ appartiennent à ce noyau.
- Réciproquement, pour tout $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ tel que $\,2\sp{.75}x =3\sp{.75}y\sp{1.5},\,$ il existe $\,k\app\bb Z\,$ tel que : $\,y=2\sp{.75}k\sp{1.5},\,$ d'où : $\,x=3\sp{.75}k\sp{1.5}.\,$
En effet le nombre
Un nombre premier est un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$ L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.premier $\,2\,$ figure dans laTout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :décomposition unique de $\,3\sp{.75}y\,$ en facteurs premiers, et donc aussi dans celle de $\,y\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
Cette réciproque s'obtient plus facilement si on connaît le lemme de
On a finalement : $\,\op{Ker}\phi=\ens{(3\sp{.75}k,2\sp{.75}k)}{k\app \bb Z}\neq\{(0,0)\}\sp{1.5},\,$ si bien que $\,\phi\,$ n'est pas
Soient $\,a,b,c\app\bb Z\,';\,$ si $\,a\,$ est premier avec $\,b\,$ et si $\,a\,$ divise $\,b\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ alors $\,a\,$ divise $\,c:\,$
Gauss,
avec l'implication :$\displaystyle{}\big(a\land b = 1\ \text{ et }\ a\op{|}(b\sp{1.5}c)\big)\Imp a\op{|}c$
$\displaystyle{}\big(2\wedge 3=1\txt{et}2\sp{.75}|\sp{.75}(3\sp{.75}y)\big)\Imp 2\sp{.75}|\sp{.75}y$
Un morphisme de groupes $\,f: G\to G\sp{.75}'\,$ est injectif ssi $\,\op{Ker}f=\{e_G\}\sp{1.5},\,$ où $\,e_G\,$ est l'élément neutre de $G.$
injectif.
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Exercice
Soit $\,(\sc S(E),\circ)\,$ le groupe des permutations d'un ensemble $\,E\sp{1.5}.\,$
À à toute $\,f\app\sc S(E)\sp{1.5},\,$ on associe l'application $\,\phi_f:\sc S(E)\to\sc S(E)\,$ définie par :
$\displaystyle{}\ptt g\app\sc S(E),\ \phi_f(g)=f\circ g\circ f^{-1}$
Montrer que ces applications $\,\phi_f\,$ sont des isomorphisme de groupes.
En déduire que l'application $\,\Phi:f\mapsto \phi_f\,$ est un morphisme entre deux groupes à préciser.
morphisme de groupes
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
isomorphisme de groupes
Un isomorphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est un morphisme de groupes $\,\phi : G\to G\sp{1.5}'\,$ bijectif.
L'application réciproque $\,\phi^{-1} : G\sp{1.5}'\to G\,$ est alors un isomorphisme de $\,(G',\top)\,$ vers $\,(G,*)\sp{1.5}.\,$
noyau d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ le noyau $\,\op{Ker}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image réciproque du sous-groupe trivial $\,\{e'\}\!\cdot\,$
$\,\op{Ker}(\phi)\,$ est l'ensemble des antécédents de l'élément neutre $\,e'\,$ de $\,G\sp{1.5}':\,$
$\displaystyle{}\op{Ker}(\phi)=\phi^{-1}\big(\{e'\}\big)=\ens{\sp{1.5}x\app G}{\phi(x)=e'}$
Cet ensemble $\,{\op{Ker}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}.\,$
image d'un morphisme de groupes
Pour un morphisme de groupes $\,\phi: G\to G\sp{1.5}',\,$ l'image $\,\op{Im}(\phi)\,$ de $\,\phi\,$ est l'image directe du groupe $\,G\,$ par $\,\phi\sp{1.5}.\,$
$\,\op{Im}(\phi)\,$ est l'ensemble des images par $\,\phi\,$ de tous les éléments de $\,G:\,$
$\displaystyle{}\op{Im}(\phi)=\phi(G)=\ens{\sp{1.5}y\app G\sp{1.5}'}{\iex x\app G,\ y=\phi(x)}$
Cet ensemble $\,{\op{Im}(\phi)}\,$ est un sous-groupe du groupe $\,G\sp{1.5}'\sp{1.5}.\,$
indication
1
Après avoir établi que chaque $\,\phi_f\,$ est un morphisme de groupes, on peut montrer sa bijectivité en trouvant sa réciproque.
indication
2
Pour $\,f_1,f_2\app\sc S(E)\sp{1.5},\,$ déterminer $\,\Phi(f_1\circ f_2)\,$ en utilisant la relation : $\,(f_1\circ f_2)^{-1} = f_2^{-1}\circ f_1^{-1}.\,$
réponse
Pour tout $\,f\app\sc S(E)\sp{1.5},\,$ $\,\phi_f\,$ est bien un isomorphisme de groupes de $\,\sc S(E)\,$ dans lui-même.
L'application $\,\Phi:f\mapsto \phi_f\,$ définit un morphisme de groupes de $\,\big(\sc S(E),\circ\big)\,$ vers $\,\big(\sc S\big(\sc S(E)\big),\circ\big).\,$
correction
Soit $\,f\app\sc S(E)\sp{1.5};\,$ toute
La composée $\,g\circ f\,$ de deux bijections $f$ et $\,g\,$ est bijective et :
composée
de bijections étant bijective, l'application $\phi_f$ va bien de $\sc S(E)$ vers $\sc S(E)\sp{1.5}.$
Pour $\,g,h\app\sc S(E)\sp{1.5},\,$ sachant que $\,f^{-1}\!\circ\sp{-1.5} f=\op{Id}_E\sp{1.5},\,$ on a alors par
$\displaystyle{}(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
La composition des applications est associative :
Pour $\,\sth1 f:E\to F,\,$ $\,g:F\to G\,$ et $\,h:G\to H\,,\,$ on a :
associativité
de la composition :
$\displaystyle{}h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
$\eqalign{\phi_f(g\circ h)&=f\circ(g\circ h)\circ f^{-1}\\ &=(f\circ g\circ f^{-1})\circ(f\circ h\circ f^{-1})\\
&=\phi_f(g)\circ\phi_f(h)}$
$\,\phi_f\,$ est donc un
Un morphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est une application $\,\phi:G\to G\sp{1.5}'\,$ telle que :
morphisme
du
$\displaystyle{}\ptt(x,y)\app G^2,\ \phi(x*y)=\phi(x)\top\phi(y)$
L'ensemble $\sc S(E)$ des permutations de $E\sp{1.5}, $ muni de la composition, est un groupe : $\,\big(\sc S(E),\circ\big).\,$
groupe
$\,\sc S(E)\,$ des permutations de $E$ dans lui-même.
Étant données $\,g,h\app\sc S(E)\sp{1.5},\,$ en composant à droite par $f$ puis à gauche par $f^{-1}\sp{-1.5},$ on obtient des équivalences :
$\eqalign{\phi_f(g)=h&\Ssi f\circ g\circ f^{-1}=h\\ &\Ssi f\circ g= h\circ f\\
&\Ssi g=f^{-1}\circ h\circ f\\ &\Ssi g=\phi_{f^{-1}}(h)}$
En effet, chaque implication peut être renversée en composant du même côté par la réciproque de $f$ ou de $f^{-1}.$
Il s'ensuit que tout $\,h\app\sc S(E)\,$ admet un unique antécédent $\,g\app\sc S(E)\,$ par $\,\phi_f\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, l'application $\,\phi_f\,$ est
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijective,
avec pour réciproque : $\,(\phi_f)^{-1}=\phi_{f^{-1}}\,.\,$
$\,\phi_f\,$ est donc bien un
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Un isomorphisme d'un groupe $\,(G,*)\,$ vers un groupe $\,(G\sp{1.5}',\top)\,$ est un morphisme de groupes $\,\phi : G\to G\sp{1.5}'\,$ bijectif.
L'application réciproque $\,\phi^{-1} : G\sp{1.5}'\to G\,$ est alors un isomorphisme de $\,(G',\top)\,$ vers $\,(G,*)\sp{1.5}.\,$
isomorphisme
de groupes de $\,\sc S(E)\,$ dans lui-même : c'est un automorphisme de $\,\big(\sc S(E),\circ\big).\,$
On a établi que, pour tout $\,f\app\sc S(E),\,$ $\,\phi_f\,$ est une
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
permutation
de l'ensemble $\,\sc S(E),\,$ soit :
$\,\phi_f\app\sc S\big(\sc S(E)\big).\,$
Cela signifie que $\,\Phi:f\mapsto\phi_f\,$ est une application du groupe $\,(\sc S(E),\circ)\,$ vers le groupe $\,\big(\sc S\big(\sc S(E)\sp{-1.5}\big),\sp{1.5}\circ\sp{1.5}\big).\,$
L'application $\,\Phi\,$ n'est pas de même nature que les applications $\,\phi_f:\,$ chaque $\,\Phi(f)\,$ est une « permutation de permutations » .
L'application $\,\Phi\,$ est un morphisme de groupes si on a, pour toutes $\,f_1,f_2\app\sc S(E):\,$ $\,\Phi(f_1\circ f_2)=\Phi(f_1)\circ\Phi(f_2)\sp{1.5}.\,$
On applique ces fonctions à un $\,g\app\sc S(E)\,$ quelconque, en utilisant l'expression de la
La composée $\,g\circ f\,$ de deux bijections $f$ et $\,g\,$ est bijective et :
réciproque
d'une composée :
$\displaystyle{}(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
$\eqalign{\ptt g\app\sc S(E),\ \Phi(f_1\circ f_2)(g)&=(f_1\circ f_2)\circ g\circ(f_1\circ f_2)^{-1}\\
&= f_1\circ f_2\circ g\circ f_2^{-1}\circ f_1^{-1}\\
&=f_1\circ\big(\Phi(f_2)(g)\big)\circ f_1^{-1}\\
&=\Phi(f_1)\big(\Phi(f_2)(g)\big)\\ &=\big(\Phi(f_1)\circ\Phi(f_2)\big)(g)\\[.5ex]
\txt{d'où finalement :}\Phi(f_1\circ f_2)&=\Phi(f_1)\circ\Phi(f_2)}$
On a ainsi démontré que $\,\Phi\,$ est un morphisme du groupe $\,\big(\sc S(E),\circ\big)\,$ vers le groupe $\,\big(\sc S\big(\sc S(E)\big),\circ\big).\,$