exercices de mathématiques - prépa et université

Montrons que $\,\sc G\,$ est un

Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :

• $H$ est non vide ;
• $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
• tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$

$H$ est alors un groupe pour la restriction de la loi $\,*\,$ à $\,H\!\times\! H\sp{1.5}.\,$

sous-groupe de $\,(\bb Q^{\ast},\times)\sp{1.5},\,$ qui est le

Soit un anneau $\,(A,+,\times)\,;\,$ un élément $\,x\,$ d'un anneau $\,(A,+,\times)\,$ est inversible  ssi :

$\displaystyle{}\iex y\app A,\ x\sp{1.5}y=1_A=y\sp{1.5}x$

Cet $\,y\app A\,$ est alors  unique ;  c'est l'inverse de $\,x\sp{1.5},\,$ noté :  $\,y=x^{-1}\sp{1.5}.\,$

L'ensemble de ces éléments inversibles forme un groupe multiplicatif : $\,(U(A),\times)\sp{1.5}.\,$

groupe des éléments inversibles du

Un anneau commutatif $\,(K,+,\times)\,$ non réduit à $\,\{0_K\}\,$ est  un corps  ssi  tout élément non nul de $K$ est inversible.

corps $\,(\bb Q,+,\times)\sp{1.5}.\,$

Tout nombre

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

impair étant de la forme $\,2\sp{1.5}k+1\,$ pour $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ les quotients d'entiers impairs sont des

Les nombres rationnels  sont  les nombres réels $\,q\,$ tels que :

$\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$

Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est  un nombre irrationnel.

rationnels.

Ils sont en effet de la forme $\,x=\dfrac{2\sp{.75}p+1}{2\sp{.75}q+1}\,$ pour $\,p,q\app\bb Z\sp{1.5},\,$ et sont nécessairement non nuls puisque $\,2\sp{.75}p+1\neq0\,.\,$

On a donc l'inclusion de $\,\sc G\,$ dans $\,\bb Q^{\ast}\sp{1.5},\,$ et d'autre part :

• $\,\sc G\,$ est non vide, car $\,1\app\sc G,\,$ comme on le voit en posant : $\,p=q=0\sp{1.5}.\,$

• Pour tout $\,(x,y)\app\sc G,\,$ avec $\,p+p'+2\sp{1.5}p\sp{1.5}p'\app\bb Z\,$ et $\,q+q'+2\sp{.75}q\sp{1.5}q'\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a :
  $\displaystyle{}x\sp{1.5}y=\frac{2\sp{1.5}p+1}{2\sp{1.5}q+1}\cdot\frac{2\sp{1.5}p'+1}{2\sp{1.5}q'+1}=\frac{2(p+p'+2\sp{1.5}p\sp{1.5}p')+1} {2(q+q'+2\sp{.75}q\sp{1.5}q')+1}\app\sc G$
• pour tout $\,x\app\sc G,\,$ on a enfin : $\,x^{-1}\app\sc G,\,$ car pour $\,p,q\app\bb Z:\,$
  $\displaystyle{}x=\dfrac{2\sp{1.5}p+1}{2\sp{1.5}q+1}\Imp x^{-1}=\frac1x=\frac{2\sp{1.5}q+1}{2\sp{1.5}p+1}$

$\,(\sc G,\times)\,$ est donc un groupe, et il est

Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne  est  un groupe $(G,*)$  ssi :

• la loi $\,*\,$ est associative : $\,\ptt(x,y,z)\app G^3,\ (x*y)*z=x*(y*z)\,;\,$
• $G$ contient un élément neutre $\,e:\,$  $\,\ptt x\app G,\ x*e=x=e*x\,;\,$
• tout $\,x\app G\,$ a un symétrique $\,x'\,$ dans $G:$ $\,\ptt x\app G,\ \iex x'\app G,\ x*x'=e=x'*x\sp{1.5}.\,$

Le groupe $(G,*)$ est commutatif  ssi : $\,\ptt (x,y)\app G^2,\ x*y=y*x\sp{1.5}.\,$

commutatif, en tant que sous-groupe du groupe commutatif $\,(\bb Q^{\ast},\times)\sp{1.5}.\,$

Toute application $\,f_{\theta,\sp{1.5}u}:\bb C\to\bb C\,$ est une

Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.

permutation de $\bb C$ car, pour tous $\,z,z'\app\bb C:\,$ Cela établit la

L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.

En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$

bijectivité de $\,f_{\theta,\sp{1.5}u}\sp{1.5},\,$ avec pour

Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$

$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$

Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$

réciproque : $\,(f_{\theta,\sp{1.5}u})^{-1}=f_{\theta\sp{1.5}'\sp{-1.5},\sp{1.5}u'}\app\sc G\sp{1.5},\,$ pour $\,(\theta\sp{1.5}',u')=(-\theta,-\e{-i\sp{1.5}\theta}u)\sp{1.5}.\,$

Montrons que $\,\sc G\,$ est un

Soit $(G,*)$ un groupe ; une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $\,G\,$ ssi :

• $H$ est non vide ;
• $H$ est stable pour la loi $\,*:\,$ $\,\ptt (x,y)\app H^2,\ x*y\app H\sp{1.5};\,$
• tout $\,x\app H\,$ a son symétrique $\,x'\,$ dans $H:$ $\,\ptt x\app H,\ x'\app H\sp{1.5}.\,$

$H$ est alors un groupe pour la restriction de la loi $\,*\,$ à $\,H\!\times\! H\sp{1.5}.\,$

sous-groupe du

L'ensemble $\sc S(E)$ des permutations de $E\sp{1.5}, $ muni de la composition,  est  un groupe : $\,\big(\sc S(E),\circ\big).\,$

groupe des permutations de $\bb C:$ $\,(\sc S(\bb C),\circ)\sp{1.5}.\,$

On vient d'établir que $\,\sc G\,$ est une partie de ce groupe ; de plus :

• $\,\sc G\,$ est non vide, car $\,\op{Id}_{\,\bb C}=f_{0,\sp{1.5}0}\app\sc G\,.\,$
• $\,\sc G\,$ est stable par composition car, pour tous $\,\theta,\sp{1.5}\omega\app\bb R,\,$ et tous $\,u,\sp{1.5}v\sp{1.5},z\app\bb C:\,$
  $\eqalign{(f_{\theta,\sp{1.5}u}\circ f_{\omega,\sp{1.5}v})(z)&=\e{i\sp{1.5}\theta}(\e{i\sp{1.5}\omega}z+v)+u\\ &=\e{i\sp{1.5}(\theta+\omega)}z+\e{i\sp{1.5}\theta}v+u\\ &=f_{\theta+\omega\sp{1.5},\,\e{i\sp{1.5}\theta}\sp{1.5}v\sp{1.5}+\sp{1.5}u}\sp{1.5}(z)}$
• Tout élément de $\,\sc G\,$ a sa réciproque dans $\,\sc G\,$ car on a établi que : $\,(f_{\theta,\sp{1.5}u})^{-1}=f_{-\theta\sp{1.5},\sp{1.5}-\sp{1.5}\e{-i\sp{1.5}\theta}\sp{1.5}u}\app\sc G\sp{1.5}.\,$

$\,(\sc G,\circ)\,$ est donc bien un groupe en tant que sous-groupe du groupe des permutations de $\bb C\sp{1.5}.$

Ce groupe n'est pas

Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne  est  un groupe $(G,*)$  ssi :

• la loi $\,*\,$ est associative : $\,\ptt(x,y,z)\app G^3,\ (x*y)*z=x*(y*z)\,;\,$
• $G$ contient un élément neutre $\,e:\,$  $\,\ptt x\app G,\ x*e=x=e*x\,;\,$
• tout $\,x\app G\,$ a un symétrique $\,x'\,$ dans $G:$ $\,\ptt x\app G,\ \iex x'\app G,\ x*x'=e=x'*x\sp{1.5}.\,$

Le groupe $(G,*)$ est commutatif  ssi : $\,\ptt (x,y)\app G^2,\ x*y=y*x\sp{1.5}.\,$

commutatif, comme le montrent les calculs suivants : Avec par exemple $\,z=0,\,$ on en déduit que : $\,f_{0,\sp{1.5}1}\circ f_{\pi,\sp{1.5}0}\neq f_{\pi,\sp{1.5}0}\circ f_{0,\sp{1.5}1}\,.\,$

$\,\phi\,$ et $\,\psi\,$ sont des

Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :

$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$

composées de $\,s\,$ et $\,\sigma\sp{1.5},\,$ car pour tout $\,x\app\bb R\!\setminus\!\{0,1\}:\,$ On obtient de même plusieurs décompositions de $\,\omega:\,$

On remarque ensuite que $\,i\,$ est

L'identité d'un ensemble $\,E\,$ est l'application $\,\op{Id}_E:E\to E\,$ telle que :

$\displaystyle{}\ptt x\app E,\ \op{Id}_E(x)=x\sp{1.5}.$

Pour toute application $\,f:E\to F\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}f\circ\op{Id}_E=f=\op{Id}_F\circ f$

l'identité de $\,\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0,1\}\sp{1.5},\,$ et que $\,s\,$ et $\,\sigma\,$ sont des

Une involution de $\,E\,$ est  une $\,f:E\to E\,$ telle que : $\,f\circ f=\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$

involutions car : On peut alors calculer chaque composée comme dans l'exemple suivant :

Cela nous permet de dresser ensuite la table de $\,(E,\circ):\,$

$\require{color}\colorbox{white}{$\eqalign{\nearrow\,&\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \,i\sp{1.5}&\phi&\psi&\sp{1.5}s\,&\sp{1.5}\sigma&\omega\\ \hline}\\[-.75ex] \tabl{{|c|}\hline i\stb{.6}\\ \hline \phi\stb{.5}\\ \hline \psi\stb{.5}\\ \hline s\stb{.6}\\ \hline \sigma\stb{.6}\\ \hline \omega\stb{.5}\\ \hline}& \tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline i&\phi&\psi&s&\sigma&\omega\\ \hline \phi&\psi&i&\sigma&\omega&s\\ \hline \psi&i&\phi&\omega&s&\sigma\\ \hline s&\omega&\sigma&i&\psi&\phi\\ \hline \sigma&s&\omega&\phi&i&\psi\\ \hline \omega&\sigma&s&\psi&\phi&i\\ \hline}}$}$

Cette table établit que la composition des applications est une

Une loi de composition interne sur un ensemble $E$  est  une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$

Une partie $A$ de $E$  est stable pour la loi $\,*\,$ ssi :  $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$

loi de composition interne à $\,E\,;\,$ de plus :

• La composition des applications est
  La composition des applications  est  associative :

  Pour $\,\sth1 f:E\to F,\,$ $\,g:F\to G\,$ et $\,h:G\to H\,,\,$ on a :

  $\displaystyle{}h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
  associative.
• L'identité $\,i=\op{Id}_{\bb R\setminus\{0,1\}}\,$ est neutre pour la composition des applications.
• L'application $\,i\,$ est située sur chaque ligne et chaque colonne, de manière symétrique par rapport à la diagonale.
  Cela nous garantit que tout élément de $\,E\,$ admet un symétrique pour la loi $\,\circ\,$ dans $\,E:\,$
  $\eqalign{&i^{-1}\!=i\,;\ \ s^{-1}\!=s\,;\ \ \sigma^{-1}\!=\sigma\\ &\omega^{-1}\!=\omega\,;\ \ \phi^{-1}\!=\psi\,;\ \ \psi^{-1}\!=\phi}$

On a ainsi établi que $\,(E,\circ)\,$ forme un

Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne  est  un groupe $(G,*)$  ssi :

• la loi $\,*\,$ est associative : $\,\ptt(x,y,z)\app G^3,\ (x*y)*z=x*(y*z)\,;\,$
• $G$ contient un élément neutre $\,e:\,$  $\,\ptt x\app G,\ x*e=x=e*x\,;\,$
• tout $\,x\app G\,$ a un symétrique $\,x'\,$ dans $G:$ $\,\ptt x\app G,\ \iex x'\app G,\ x*x'=e=x'*x\sp{1.5}.\,$

Le groupe $(G,*)$ est commutatif  ssi : $\,\ptt (x,y)\app G^2,\ x*y=y*x\sp{1.5}.\,$

groupe.

Ce groupe n'est pas commutatif, car cette table n'est pas symétrique par rapport à sa diagonale.

On a par exemple : $\,s\circ\sigma=\psi\neq\phi=\sigma\circ s\sp{1.5},\,$ avec par exemple : $\,\psi(-1)=2\neq\dfrac12=\phi(-1)\sp{1.5}.\,$