Sujet G.1.4 Événements indépendants
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Exercice a
Un circuit électrique comporte deux interrupeurs $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ montés en parallèle :
Un dispositif electronique détermine aléatoirement, et de manière indépendante, l'état ouvert ou fermé de $\,a\,$ et de $\,b\sp{1.5}.\,$
Montrer l'indépendance deux à deux des événements suivants :
Un dispositif electronique détermine aléatoirement, et de manière indépendante, l'état ouvert ou fermé de $\,a\,$ et de $\,b\sp{1.5}.\,$
Montrer l'indépendance deux à deux des événements suivants :
- $\,A:\,$ « l'interrupteur $\,a\,$ est ouvert » ;
- $\,B:\,$ « l'interrupteur $\,b\,$ est fermé » ;
- $\,C:\,$ « un seul des deux interrupteurs est ouvert » .
indépendance de deux événements
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
indépendance mutuelle d'événements
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
probabilité d'un différence d'événements
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
indication
Représenter l'état des deux interrupteurs par $\,(a,b)\app\sp{1.5}\{0,1\}^2.\,$
Avec les conventions : $0$ pour « ouvert » et $1$ pour « fermé » , expliciter les événements $\,A,B,C\,$ et leurs intersections.
réponse
Les événements $\,A,B,C\,$ sont bien deux à deux indépendants.
En revanche, ils ne sont pas mutuellement indépendants.
correction
On convient de désigner par $\,(a,b)\app\sp{1.5}\{0,1\}^2\,$ l'état des deux interrupteurs, avec $0$ pour « ouvert » et $1$ pour « fermé. »
Dans ces conditions, les événements $\,A,B,C\,$ sont les parties suivantes de l'univers $\,\Omega=\{0,1\}^2:\,$
$\eqalign{\sp{-1.5}A\!=\!\{(0,1),(0,0)\}\sp{1.5}, \,B\!=\!\{(0,1),(1,1)\}\sp{1.5}, \,C\!=\!\{(0,1),(1,0)\}}$
On remarque que leurs intersections deux à deux sont toutes égales à un même singleton :
$\displaystyle{}A\cap\sp{-1.5}B=A\cap\sp{-1.5}C=B\cap\sp{-1.5}C=\{(0,1)\}$
Les éventualités étant par hypothèse
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
équiprobables,
avec $\,\Omega\,$ de
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est fini, avec :
cardinal
$\,2^2=4\sp{1.5},\,$ on obtient les probabilités suivantes :
$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$
$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$
$\eqalign{P(A)&=P(B)=P(C)=\frac12\\[-2ex]
P(A\cap\sp{-1.5}B)&=P(A\cap\sp{-1.5}C)=P(B\cap\sp{-1.5}C)=\frac14}$
$A$ et $B$ sont donc deux événements
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
indépendants :
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
$\eqalign{P(A\cap\sp{-1.5}B)=\frac14=\Big(\frac12\Big)^{\!2}=P(A)\sp{1.5}P(B)}$
$A$ et $C\sp{1.5},$ ainsi que $B$ et $C,$ le sont aussi pour les mêmes raisons.
En revanche, avec $\,A\cap\sp{-1.5}B\cap\sp{-1.5}C=\{(0,1)\}\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}P(A\cap\sp{-1.5}B\cap\sp{-1.5}C)=\frac14\neq\Big(\frac12\Big)^{\!3}=P(A)\sp{1.5}P(B)\sp{1.5}P(C)$
Les événements $\,A,B,C\,$ ne sont pas
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
mutuellement
indépendants.
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
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Exercice b
Soient trois événements $A,B$ et $C$ mutuellement indépendants dans un espace probabilisé.
Les événements $(A\cup\sp{-1.5} B)$ et $C$ sont-ils alors indépendants ?
Réciproquement, si $A$ et $B$ sont indépendants et si $(A\cup\sp{-1.5} B)$ et $C$ le sont aussi,
$A,B$ et $C$ sont ils mutuellement indépendants ?
indépendance de deux événements
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
indépendance mutuelle d'événements
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
probabilité d'un différence d'événements
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
indication
1
Comparer $\,P\big((A\cup\sp{-1.5} B)\cap\sp{-1.5} C\big)\,$ avec le produit $\,P(A\cup\sp{-1.5} B)\sp{1.5}P(C)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Déterminer un contre-exemple de la réciproque en prenant pour $A$ l'univers $\Omega\sp{1.5}.$
réponse
L'indépendance mutuelle de $A,\sp{1.5}B$ et $C$ implique bien l'indépendance de $\,(A\cup B)\,$ et $\,C\sp{1.5}.\,$
Cependant, la réciproque proposée est fausse dès qu'il existe des événements de probabilité ni nulle ni égale à $1\sp{1.5}.$
correction
On a d'abord, par
Pour un ensemble $E$ et $\,A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C\subset E\sp{1.5},\,$ on a alors :
distributivité
de l'intersection :
$\eqalign{A\cup(B\cap C)&=(A\cup B)\cap(A\cup C)\\[-.5ex]
A\cap(B\cup C)&=(A\cap B)\cup(A\cap C)}$
$\displaystyle{}(A\cup\sp{-1.5} B)\cap C=(A\cap\sp{-1.5} C)\cup(B\cap\sp{-1.5} C)$
On peut alors développer la probabilité de cette
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
réunion :
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
$\displaystyle{}P\big((A\cup\sp{-1.5} B)\cap\sp{-1.5} C\big)= P(A\cap\sp{-1.5} C)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B\cap\sp{-1.5} C)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}P(A\cap\sp{-1.5} B\cap\sp{-1.5} C)$
Compte tenu de l'indépendance
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
mutuelle
de $A\sp{1.5},$ $B$ et $C\sp{1.5},$ cette probabilité devient :
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
$\displaystyle{}P(A)\sp{1.5}P(C)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)\sp{1.5}P(C)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}P(A)\sp{1.5}P(B)\sp{1.5}P(C)$
D'autre part, le produit des probabilités de $(A\cup B)$ et $C$ s'écrit :
$\eqalign{P(A\cup\sp{-1.5} B)\sp{1.5}P(C)&=\big(P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}P(A\cap\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}\big)\sp{1.5}P(C)\\
&=\big(P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}P(A)\sp{1.5}P(B)\sp{-1.5}\big)\sp{1.5}P(C)}$
Ce dernier produit, une fois développé, coïncide avec le produit précédent, si bien que :
$\displaystyle{}P\big((A\cup\sp{-1.5} B)\cap\sp{-1.5} C\big)=P(A\cup\sp{-1.5} B)\sp{1.5}P(C)$
On a ainsi démontré
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
l'indépendance
des événements $\,(A\cup B)\,$ et $\,C\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, en prenant pour $\,A\,$
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
l'univers
$\,\Omega\,$ qui vérifie $\,P(\Omega)=1\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
$\eqalign{ A\cap\sp{-1.5}B=\Omega\cap\sp{-1.5}B&=B\txt{et}A\cup\sp{-1.5} B=\Omega\cup\sp{-1.5} B=\Omega\sp{1.5},\txt{d'où :}\\[.5ex]
P(A\cap\sp{-1.5} B)&=P(B)=P(A)\sp{1.5}P(B)\txt{et :}\\
P\big((A\cup\sp{-1.5} B)\cap\sp{-1.5} C\big)&=P(\Omega\cap\sp{-1.5} C)=P(A\cup B)\sp{1.5}P(C)}$
Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants, ainsi que les événements $(A\cup B)$ et $C\sp{1.5}.$
Cependant, en considérant par exemple $\,B=C\,$ tel que $\,P(B)\neq P(B)^2\,$ c'est-à-dire que : $\,P(B)\!\non\app\!\{0,1\}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}P(B\cap\sp{-1.5}C)=P(B)\neq P(B)^2=P(B)\sp{1.5}P(C)$
Il s'ensuit que, s'il existe $B$ tel que $\,P(B)\!\non\app\!\{0,1\}\sp{1.5},\,$ les trois événements $A,B$ et $C$ ne sont pas mutuellement indépendants.
Les indépendances de $A$ et $B$ d'une part, et de $(A\cup B)$ et $C$ d'autre part, ne garantissent pas l'indépendance mutuelle de $A,B$ et $C\sp{1.5}.$
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Exercice c
Pour des événements $\,A_1,\dots,A_n\,$ mutuellement indépendants d'un espace probabilisé fini $\,(\Omega,\sc P(\Omega),P)\sp{1.5},\,$ montrer que :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)=1-\prod_{k=1}^n \big(1-P(A_k)\big)}$
indépendance de deux événements
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
indépendance mutuelle d'événements
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
probabilité d'un différence d'événements
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
indication
Passer des événements $\,A_k\,$ à leurs contraires $\,\adher{A_k\!}\,.\,$
réponse
On obtient bien, pour tout $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ l'identité :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)=1-\prod_{k=1}^n \big(1-P(A_k)\big)}$
correction
Compte tenu de l'expression de la probabilité d'un événement
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
contraire,
la relation peut s'écrire :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
$\eqalign{\prod_{k=1}^n P(\adher{A_k\!}\,)}=1-\smh{1.5}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\Big)=
\smh{2}{P\bigg(\,\adher{\smh{1.75}{\Op{\Large\cup}_{k=1}^{n}A_k}\!}\,\bigg)}
}$
En vertu des lois de
Pour un ensemble $E$ et $\,A,\sp{1.5}B\subset E\sp{1.5},\,$ on a alors :
Morgan,
cette relation devient :
$\eqalign{E\!\setminus\! (A\cup B)&=(E\!\setminus\!A)\cap(E\!\setminus\! B)\\[-.5ex]
E\!\setminus\! (A\cap B)&=(E\!\setminus\!A)\cup(E\!\setminus\! B)}$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\prod_{k=1}^n P(\adher{A_k\!}\,)=P\Big(\inter_{k=1}^{n}\adher{A_k\!}\,\Big)}$
Cette relation est justifiée, car les contraires d'une famille d'événements
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
mutuellement
indépendants forment aussi une famille d'événements indépendants.
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
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Exercice d
Pour un entier $n > 1$ fixé, on choisit de manière équiprobable un nombre entier $\,k\,$ tel que $\,1\leq k\leq n\sp{1.5}.\,$
On désigne par $\,p_1,\dots,p_m\,$ les diviseurs premiers de $\,n\sp{1.5},\,$ et par $A_i$ l'événement : « $\,k\,$ est un multiple de $p_i$ » .
Démontrer que les événements $\,A_1,\dots,A_m\,$ sont mutuellement indépendants.
En déduire la probabilité de l'événement $B:$ « le pgcd de $\,k\,$ et $\,n\,$ est égal à $1$ » .
indépendance de deux événements
Deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé sont indépendants ssi :
$\displaystyle{}P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Alors $A$ et $\adher{B}$ sont eux aussi indépendants, ainsi que $\adher{A}$ et $B\sp{1.5}.$
indépendance mutuelle d'événements
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
probabilité d'un différence d'événements
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
indication
1
Commencer par déterminer les probabilité des $\,A_i\sp{.75},\,$ puis celle de $\,A_{i_1}\sp{-1.5}\cap\dots\cap\sp{-1.5}A_{i_r}\,$ pour $\,\{i_1,\dots,i_r\}\!\subset\![\![1,m]\!]\sp{1.5}.\,$
indication
2
Exprimer l'événement $\,B\,$ à l'aide des contraires des événements $\,A_i\sp{1.5}.\,$
réponse
Les événements $\,A_1,\dots,A_m\,$ sont bien mutuellement indépendants.
la probabilité de $B:$ « le pgcd de $\,k\,$ et $\,n\,$ est égal à $1$ » , c'est-à-dire :
« $\,k\,$ et $\,n\,$ sont premiers entre eux » vaut :
$\displaystyle{}P(B)=\Big(1-\frac1{p_1}\!\Big)\dots\Big(1-\frac1{p_m}\!\Big)$
correction
On suppose que $\,n\,$ a pour
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :
décomposition
en facteurs premiers : $\,n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_m}\sp{1.5}.\,$
Pour $\,i\app\,[\![1,m]\!]\,$ fixé, l'ensemble des
$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
multiples
de $\,p_i\,$ dans l'univers $\,\Omega= [\![1,n]\!]\,$ est :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
$\eqalign{A_i&=\ens{k\app\,[\![1,n]\!]}{\iex q\app\bb N\sp{1.5}, \ k=q\,p_i}\\[-.5ex]
&=\ens{q\,p_i\sp{-1.5}}{q\app\bb N\txt{et}1\leq q\leq n/\sp{-1.5}p_i}}$
Toutes les éventualités $\,k\app\Omega=[\![1,n]\!]\,$ étant
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
équiprobables,
on obtient :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
$\displaystyle{}P(A_i)=\frac{\op{card}(A_i)}{\op{card}(\Omega)}=\frac{n/\sp{-1.5}p_i}{n}=\frac1{p_i}$
Pour tout $\,\{i_1,\dots,i_r\}\!\subset\![\![1,m]\!]\sp{1.5},\,$ on considère les $\,k\app A_{i_1}\sp{-1.5}\cap\dots\cap A_{i_r}.\,$
Ce sont exactement les $\,k\app\Omega\,$ qui ont ces $p_{i_j}$ parmi leurs diviseurs premiers,
c'est-à-dire les
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
multiples
de $\,p_{i_1}\sp{-1.5}\dots p_{i_r}:\,$
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
Alors $\,a\,$ est un diviseur de $\,b\,$ ssi : $\,\ptt k\app\,[\![1,r]\!]\sp{1.5},\ \alpha_k\leq\beta_k\,.\,$
$\displaystyle{}A_{i_1}\sp{-1.5}\cap\dots\cap\sp{-1.5}A_{i_r}=\ens{q\,p_{i_1}\sp{-1.5}\dots p_{i_r}\sp{-1.5}}{1\leq q\leq n\big/\sp{-1.5}(p_{i_1}\sp{-1.5}\dots p_{i_r})}$
On en déduit alors la probabilité de cet événement :
$\eqalign{P(A_{i_1}\sp{-1.5}\cap\dots\cap\sp{-1.5}A_{i_r})&=\frac{\op{card}(A_{i_1}\sp{-1.5}\cap\dots\cap\sp{-1.5}A_{i_r})}{\op{card}(\Omega)}=\frac1{p_{i_1}\sp{-1.5}\dots p_{i_r}}\\&=P(A_{i_1})\dots P(A_{i_r})}$
On a ainsi démontré que les événements $\,A_1,\dots,A_m\,$ sont bien
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
mutuellement
indépendants.
$B$ est l'ensemble des $\,k\app\Omega\,$
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux ssi leur pgcd $\,a\land b\,$ est égal à $1\sp{1.5}.$
En d'autres termes, $\,a\,$ et $\,b\,$ ont $\,1\,$ et $\,-1\,$ pour seuls diviseurs communs.
premiers
avec $\,n\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire tels que $\,k\land n=1\sp{1.5}.\,$
On connaît
Soient $\,p_1,\dots,p_r\,$ des nombres premiers distincts, et $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que :
l'expression
du pgcd $\,k\land n\,$ de $\,k\,$ et $\,n\,$ par leurs décompositions en facteurs premiers.
Il s'ensuit que $\,k\,$ appartient à $B$ si et seulement si il n'est divisible par aucun des facteurs premiers de $n:$
$\displaystyle{}a=p_{1}^{\alpha_1}\dots p_{r}^{\alpha_r}\txt{et}b=p_1^{\beta_1}\dots p_r^{\beta_r}\,\txt{pour} \alpha_k,\beta_k\app\bb N$
- on a alors : $\,a\land b=\smh{0}{p_{1}^{\delta_1}\dots p_{r}^{\delta_r}}\,$ pour $\,\delta_k=\min(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5},\,$
- ainsi que : $\,a\lor b=\smh{0}{p_{1}^{\mu_1}\dots p_{r}^{\mu_r}}\,$ pour $\,\mu_k=\max(\alpha_k,\,\beta_k)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}B=\adher{A_1\!\!}\,\cap\dots\cap\adher{A_m\!\!}$
Les événements $\,A_i\,$ étant mutuellement indépendants, leurs
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille d'événements sur un espace probabilisé.
Les $A_i$ sont indépendants ssi pour tout $J\subset I$ fini :
contraires
$\,\adher{A_i\!\!}\,\,$ le sont aussi.
On peut alors en déduire la probabilité de $\,B\,$ comme étant le produit des
$\displaystyle{}P\Big(\Op{\Large\cap}_{j\app J}A_j\sp{-1.5}\Big)=\tst{\prod}_{j\app J}P(A_j)$
Alors, lorsque $\,\smh{.75}{B_i\app\sp{1.5}\{A_i,\adher{A_i\!}\sp{1.5}\}}\sp{1.5},\,$ les $B_i$ sont aussi indépendants.
Pour deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé, tels que $\,B\subset A\sp{1.5},\,$ on a :
probabilités
des contraires :
$\eqalign{P(A\!\setminus\! B)&=P(A)-P(B)\\
\txt{d'où :} P(\adher{A})&= 1-P(A)}$
$\eqalign{P(B)= P(\adher{A_1\!\!}\,)\dots P(\adher{A_m\!\!}\,)&=\big(1-P(A_1)\big)\dots\big(1-P(A_m)\big)\\[-.5ex]
&=\Big(1-\frac1{p_1}\!\Big)\dots\Big(1-\frac1{p_m}\!\Big)}$