Sujet G.1.2 Espaces probabilisé finis
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Exercice a
Pour des événements $\,A_1,\dots,A_n\,$ d'un espace probabilisé fini $\,(\Omega,\sc P(\Omega),P)\sp{1.5},\,$ démontrer que :
$\displaystyle{}P\Big(\inter_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)\geq\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}P(A_k)-n+1$
probabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
probabilité d'une réunion de deux événements
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
probabilité d'une réunion d'événements disjoints
Soient $\,A_1,\dots,A_n\,$ des événements deux à deux disjoints sur un même espace probabilisé ; alors :
$\displaystyle{}\smh{2}{ P\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big)=\sum_{k=1}^n P(A_k)}$
indication
Procéder par récurrence sur $\,n\geq1\,.\,$
réponse
On obtient bien, pour tout $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ la minoration :
$\displaystyle{}P\Big(\inter_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)\geq\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}P(A_k)-n+1$
correction
On procède par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :
récurrence
sur $\,n\geq1\,\,$ à partir de :
$\,P(A_1)\geq P(A_1)\sp{1.5}.\,$
On suppose alors l'inégalité vérifiée pour $\,n\geq 2:\,$
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P\Big(\inter_{k=1}^{n-1}A_k\Big)\geq\sum_{k=1}^{n-1}}P(A_k)-n+2$
Sachant que par définition d'une
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
probabilité,
on a : $\,P(A\cup B)\leq1\sp{1.5},\,$ on utilise l'expression de la probabilité d'une
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
réunion :
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
$\eqalign{P(A\cap B)&=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\\[-.5ex]
&\geq P(A)+P(B)-1}$
Avec $\,A=A_1\sp{-1.5}\cap\dots\cap\sp{-1.5} A_{n-1}\,$ et $\,B=A_n\sp{1.5},\,$ on en déduit :
$\eqalign{ P\Big(\inter_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)&\geq P\Big(\inter_{k=1}^{n-1}A_k\Big) + P(A_n)-1\\
&\geq\smh{1.5}{\sum_{k=1}^{n-1}}P(A_k)+ P(A_n)-n+1}$
On a ainsi établi, pour tout $\,n\geq1\,$ la minoration :
$\displaystyle{}P\Big(\inter_{k=1}^{n}A_k\sp{-1.5}\Big)\geq\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}P(A_k)-n+1$
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Exercice b
Pour des événements $\,A_1,\dots,A_n\,$ d'un espace probabilisé fini $\,(\Omega,\sc P(\Omega),P)\sp{1.5},\,$ démontrer que :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\Big)\geq\sum_{k=1}^n P(A_k)-\sp{-6}\sum_{1\leq i < j\leq n}\sp{-6} P(A_i\cap A_j)}$
probabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
probabilité d'une réunion de deux événements
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
probabilité d'une réunion d'événements disjoints
Soient $\,A_1,\dots,A_n\,$ des événements deux à deux disjoints sur un même espace probabilisé ; alors :
$\displaystyle{}\smh{2}{ P\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big)=\sum_{k=1}^n P(A_k)}$
indication
Procéder par récurrence sur $\,n\geq1\,.\,$
réponse
On obtient bien, pour tout $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ la minoration :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\Big)\geq\sum_{k=1}^n P(A_k)-\sp{-6}\sum_{1\leq i < j\leq n}\sp{-6} P(A_i\cap A_j)}$
correction
On procède par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :
récurrence
sur $\,n\geq1\,\,$ à partir de :
$\,P(A_1)\geq P(A_1)\sp{1.5}.\,$
On suppose alors l'inégalité vérifiée pour $\,n\geq 2:\,$
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}P\Big(\union_{k=1}^{n-1}A_k\sp{-1.5}\Big)\geq\smh{1.5}{\sum_{k=1}^{n-1} P(A_k)-\sp{-12}\sum_{1\leq i < j\leq n-1}\sp{-12} P(A_i\cap A_j)}$
En posant $\,A=A_1\sp{-1.5}\cup\dots\cup\sp{-1.5} A_{n-1}\,$ et $\,B=A_n\sp{1.5},\,$
on a l'expression de la probabilité d'une
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
réunion :
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
$\displaystyle{}P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
On obtient alors par
Pour un ensemble $E$ et $\,A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C\subset E\sp{1.5},\,$ on a alors :
distributivité
de l'intersection par rapport à l'union, puis
$\eqalign{A\cup(B\cap C)&=(A\cup B)\cap(A\cup C)\\[-.5ex]
A\cap(B\cup C)&=(A\cap B)\cup(A\cap C)}$
Pour des événements $A$ et $B$ d'un espace probabilisé $\,(\Omega,\sc A,P):\,$
majoration
de la probabilité d'une réunion :
$\eqalign{P(A\cup B)=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[-.5ex]
\txt{d'où :} &P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)}$
$\eqalign{P(A\cap B)&\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P\big(\sp{-1.5}(A_1\sp{-1.5}\cup\dots\cup\sp{-1.5} A_{n-1})\cap A_n\big)\\
&\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P\big(\sp{-1.5}(A_1\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}A_n)\sp{-1.5}\cup\dots\cup\sp{-1.5}(A_{n-1}\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}A_n)\sp{-1.5}\big)\\
&\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} P(A_1\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5} A_n)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\dots+P(A_{n-1}\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}A_n)}$
On peut alors écrire pour $\,P(A_1\sp{-1.5}\cup\dots\cup\sp{-1.5} A_{n}):\,$
$\eqalign{&\smh{2}{P\Big(\union_{k=1}^{n-1}A_k\sp{-1.5}\Big)+P(A_n)-P\Big(\!\Big(\union_{k=1}^{n-1}A_k\Big)\cap A_n\sp{-1.5}\Big)}\\[-1ex]
&\,\geq\sum_{k=1}^{n-1} P(A_k)+P(A_n)-\sp{-6}\sum_{1\leq i < j\leq n}\sp{-6} P(A_i\cap A_j)}$
On a ainsi établi, pour tout $\,n\geq1\,$ la minoration :
$\displaystyle{}\smh{2}{P\Big(\union_{k=1}^{n}A_k\Big)\geq\sum_{k=1}^n P(A_k)-\sp{-6}\sum_{1\leq i < j\leq n}\sp{-6} P(A_i\cap A_j)}$