Sujet G.1.1 Probabilités uniformes
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice a
Pour $\,n\sp{-1.5}\app\bb N^{\ast},\,$ on constitue une liste $\,a=(a_1,\dots,a_{2\sp{1.5}m})\,$ de $\,2\sp{1.5}m\,$ entiers tirés au sort uniformément entre $1$ et $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$
Calculer, pour $\,m\leq n\,$ fixé, la probabilité $\,p_n\,$ pour que chacun des termes $\,a_k\,$ de cette liste vérifie : $\,2\sp{1.5}a_k\geq k\ ?\,$
Quelle est la limite de $\,p_n\,$ lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,?\,$
le langage des probabilités
Pour étudier une situation aléatoire finie, on considère :
- un univers fini $\,\Omega\sp{1.5},\,$ contenant les éventualités : $\,\omega\app\Omega\,;\,$
- l'ensemble $\,\sc P(\Omega)\sp{1.5},\,$ formé des événements : $\,A\subset\Omega\,.\,$
probabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
équiprobabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
indication
1
Pour $\,p\app\,[\![1,m]\!]\sp{1.5},\,$ interpréter la condition $\,2\sp{1.5}a_k\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} k\sp{1.5},\,$ lorsque $\,k=2\sp{1.5}p-1\,$ et $\,k=2\sp{1.5}p\sp{1.5}.\,$
indication
2
Exprimer l'événement dont on cherche la probabilité comme un produit cartésien.
réponse
La probabilité que chacun des $a_k$ vérifie $\,2\sp{1.5}a_k\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} k\,$ vaut :
$\displaystyle{}p_n=\Big(\frac{n\sp{1.5}!}{n^m\sp{1.5}(n-m)\sp{1.5}!}\Big)^{\!2}$
Cette probabilité tend vers $1$ lorsque $\,n\,$ tend vers $+\I\sp{1.5}.$
correction
Pour se conformer au
Pour étudier une situation aléatoire finie, on considère :
langage
des probabilités, on commence par définir l'univers des éventualités.
Il s'agit ici de l'ensemble $\,\Omega=[\![\sp{1.5}1,n]\!]^{\sp{1.5}2\sp{1.5}m}\,$ formé des listes $\,a=(a_1,\dots,a_{2\sp{1.5}m})\sp{1.5},\,$ et
on s'intéresse alors à l'événement :
- un univers fini $\,\Omega\sp{1.5},\,$ contenant les éventualités : $\,\omega\app\Omega\,;\,$
- l'ensemble $\,\sc P(\Omega)\sp{1.5},\,$ formé des événements : $\,A\subset\Omega\,.\,$
$\displaystyle{}A=\ens{a\app\Omega}{\ptt k\app\,[\![\sp{1.5}1,2\sp{1.5}m]\!]\sp{1.5},\ 2\sp{1.5}a_k\geq k}$
Pour $\,p\app\,[\![1,m]\!]\sp{1.5},\,$ soit $\,k\app\,\{2\sp{1.5}p-1,2\sp{1.5}p\}\sp{1.5};\,$ on a alors :
$\eqalign{ 2\,a_{2\sp{1.5}p-1}&\geq2\sp{1.5}p\sp{-1.5}-\!1\!&\Ssi a_{2\sp{1.5}p-1}\geq \,p-\smh{1}{\frac12}\\[-.5ex]
2\,a_{2\sp{1.5}p}&\geq2\sp{1.5}p&\Ssi a_{2\sp{1.5}p-1}\geq p}$
Le terme $\,a_k\,$ étant un entier, cela équivaut à : $\,a_k\app\,[\![\sp{1.5}p,n\sp{.75}]\!]\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que $A$ peut s'écrire comme un produit
Le produit cartésien $\,E_1\!\times\!\cdots\!\times\! E_p\,$ de $p$ ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ est :
cartésien :
$\displaystyle{}E_1\!\times\!\cdots\!\times\!E_p=\ens{(x_1,\dots,x_p)}{x_1\app E_1,\dots,x_p\app E_p}$
$\displaystyle{}A=\prod_{p=1}^m\,[\![\sp{1.5}p,n\sp{.75}]\!]^2$
On en déduit son
Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est fini, avec :
cardinal,
qu'on exprime avec des
$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$
$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielles :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\eqalign{ \op{card}(A)&=\prod_{p=1}^m\,(n-p+1)^2\\[-1ex]
&=\big((n-m+1)\dots n\big)^{\sp{-1.5}2}=\smh{1}{\Big(\frac{n\sp{1.5}!}{(n-m)\sp{1.5}!}\Big)^{\!2}}}$
D'après les hypothèses, la probabilité sur $\,\Omega\,$ est
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
uniforme,
si bien que :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
$\displaystyle{}p_n=P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}=\Big(\frac{n\sp{1.5}!}{n^m\sp{1.5}(n-m)\sp{1.5}!}\Big)^{\!2}$
Avec $\,n-m+1\leq n-p+1\leq n\,$ pour tout $\,p\app\,[\![\sp{1.5}1\sp{1.5},\sp{1.5}m\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ on obtient l'encadrement :
$\displaystyle{}\Big(\frac{n-m+1}n\Big)^{\!m}\leq \frac{(n-m+1)\dots n}{n^m}\leq1$
L'entier $m$ étant fixé, on a : $\,\dfrac{n-m+1}n\eq n{+\I}1\sp{1.5},\,$ d'où, par
Soient $\,(u_n)\sp{1.5},\,$ $\,(v_n)\sp{1.5},\,$ $\,(w_n)\,$ des suites réelles et $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si on a, à partir d'un certain rang $N:$ $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\leq w_n\sp{1.5},\,$ alors :
encadrement
et continuité en $\,1\,$ de la fonction $\,x\mapsto x^{2\sp{1.5}m}:\,$
$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}\!u_n =\!\!\lim n{+\I}\!w_n =\ell\ \big) \Imp \lim n{+\I}\!v_n =\ell$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}p_n=\lim n{+\I}\Big(\frac{n-m+1}n\Big)^{\!2\sp{1.5}m}=1$
On aurait pu aussi recourir à la formule de
La factorielle de $n$ a pour équivalent lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$
Stirling,
mais le calcul est alors nettement moins simple.$\displaystyle{}n\sp{1.5}!\eq n{+\I}\!\sqrt{2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}n}\,\Big(\dfrac n{\e{}}\Big)^{\!n}$
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice b
Soient, pour $n\app\mathbb{N}^{\ast},$ deux urnes $A$ et $B$ contenant chacune $n$ boules numérotées de $1$ à $n\sp{1.5}.$ On tire au hasard une boule de $A$ et une boule de $B\sp{1.5},$ et on note $a$ et $b$ leurs numéros.
Exprimer, à l'aide d'une somme, la probabilité $\,p_n\,$ de l'événement : « $b$ divise $a$ » .
En déduire un équivalent de la probabilité $\,p_n\,$ lorsque $n$ tend vers $+\I\sp{1.5}.$
le langage des probabilités
Pour étudier une situation aléatoire finie, on considère :
- un univers fini $\,\Omega\sp{1.5},\,$ contenant les éventualités : $\,\omega\app\Omega\,;\,$
- l'ensemble $\,\sc P(\Omega)\sp{1.5},\,$ formé des événements : $\,A\subset\Omega\,.\,$
probabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini et $\,P:\sc P(\Omega)\to[0,1]\sp{1.5}.\,$
$\,P\,$ est une probabilité sur $\,\Omega\,$ ssi $\,P(\Omega)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}1\sp{1.5}\,$ et :
$\displaystyle{}A\cap B=\vide\Imp P(A\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5} B)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}P(A)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}P(B)$
équiprobabilité sur un univers fini
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
indication
1
Commencer par dénombrer, pour $b$ fixé, les couples $(a,b)$ tels que $\,b\,$ divise $\,a\sp{1.5}.\,$
indication
2
Comparer $p_n$ à $\,H_n\sp{1.5},\,$ somme partielle d'ordre $n$ de la série harmonique.
réponse
On obtient comme probabilité de l'événement « $b$ divise $a$ » :
$\displaystyle{}p_n=\smh{1.5}{\frac1{n^2}\sum_{b=1}^n\Big\lfloor\frac nb\Big\rfloor}$
$H_n$ étant la somme partielle d'ordre $n$ de la série harmonique, on a alors :
$\displaystyle{}p_n\,\eq n{+\I}\dfrac {H_n}n\sp{1.5},\txt{soit :} \ p_n\sp{1.5}\eq n{+\I}\frac {\ln n}n\tend n{+\I}0$
correction
Pour se conformer au
Pour étudier une situation aléatoire finie, on considère :
langage
des probabilités, on commence par définir l'univers des éventualités.
Il s'agit ici de l'ensemble $\,\Omega=[\![\sp{1.5}1,n]\!]^{\sp{1.5}2}\,$ formé de tous les couples de numéros $\,(a,b)\sp{1.5}.\,$
On désigne par $\,D\,$ l'événement : « $b$ divise $a$ », soit par définition de la
- un univers fini $\,\Omega\sp{1.5},\,$ contenant les éventualités : $\,\omega\app\Omega\,;\,$
- l'ensemble $\,\sc P(\Omega)\sp{1.5},\,$ formé des événements : $\,A\subset\Omega\,.\,$
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
divisibilité :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
$\eqalign{D&=\ens{(a,b)\app\Omega}{\iex q\app\bb N\sp{1.5},\ a=b\sp{1.5}q}\\[-.5ex]
&=\ens{(b,b\sp{1.5}q)}{b\app\,[\![\sp{1.5}1,n]\!]\!\txt{et}\!1\sp{-1.5}\leq \sp{-1.5}q\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}n\sp{-1.5}/b}}$
Compte tenu de la définition de la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière,
$\,A\,$ s'écrit donc comme une réunion de parties
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
Soient $\,A_1,\dots,A_n\,$ des événements deux à deux disjoints sur un même espace probabilisé ; alors :
disjointes :
$\displaystyle{}\smh{2}{ P\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big)=\sum_{k=1}^n P(A_k)}$
$\displaystyle{}D=\smh{1.5}{\bigcup_{b=1}^n}\,\ens{(b,b\sp{1.5}q)}{q\app\,[\![\sp{1.5}1,\lfloor n\sp{-1.5}/b\rfloor ]\!]}$
Selon les conditions de l'expérience, toutes les éventualités $\,(a,b)\,$ sont
Soit $\,\Omega\,$ un univers fini dont les éventualités sont équiprobables.
Alors, la probabilité est uniforme, avec pour tout événement :
équiprobables,
si bien que :
$\displaystyle{}P(A)=\frac{\op{card}(A)}{\op{card}(\Omega)}$
$\displaystyle{}p_n=P(D)=\frac{\op{card}(D)}{\op{card}(\Omega)}=\frac1{n^2}\sum_{b=1}^n\Big\lfloor\frac nb\Big\rfloor$
On encadre alors la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière
du quotient $n\sp{-1.5}/b:$
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
$\displaystyle{}\frac nb-1 < \Big\lfloor\frac nb\Big\rfloor\leq\frac nb$
On en déduit un encadrement de $p_n$ à l'aide de la somme partielle $H_n$ de la série
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique :
$\eqalign{\frac1{n^2}\!\sum_{b=1}^n\Big(\frac nb-1\Big)&< p_n \leq\frac1{n^2}\!\sum_{b=1}^n\frac nb\\
\txt{soit : }\frac{H_n}n-\frac1n &< p_n\leq \frac{H_n}n}$
Avec $\,\lim n{+\I}H_n=+\I\sp{1.5},\,$ on a : $\,\dfrac1n\,\dl n{+\I}o\Big(\sp{-1.5}\dfrac {H_n}n\!\Big),\,$ d'où par
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
caractérisation
des équivalents : $\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
$\displaystyle{}p_n\eq n{+\I}\dfrac {H_n}n$
En
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
comparant
$\,H_n\,$ à l'intégrale $\,\dint_1^n\dfrac{\d x}x=\ln n\sp{1.5},\,$ on peut alors en déduire, par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées, que :$\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
$\displaystyle{}p_n\eq n{+\I}\frac {\ln n}n\tend n{+\I}0$