exercices de mathématiques - prépa et université

Pour $\,x\app E\,$ tel que $\,d\sp{1.5}(x,A)=0\sp{1.5},\,$ considérons l'ensemble $\,\Delta_x=\ens{\|x-y\sp{1.5}\|}{y\app A}\!\cdot\,$

Avec $\,d\sp{1.5}(x,A)=\inf\Delta_x=0\sp{1.5},\,$ il résulte alors de la définition d'une borne

Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus grand minorant :

$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$

C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$

inférieure qu'aucun $\,\eps > 0\,$ ne

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est  un minorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$

Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$  $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$

minore $\,\Delta_x\,.\,$

Cela signifie que, pour tout $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ il existe un $\,\alpha\app\Delta_x\,$ tel que  $\,\alpha< d\sp{1.5}(x,A)+\eps:\,$

En d'autres termes, toute

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$  sont  des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$

boule ouverte $B(x,\eps)$ contient un élément $\,y\,$ de $A\sp{1.5},$ ce qui peut s'écrire : $\,B(x,\eps)\cap A\neq\vide\sp{1.5}.\,$

Cela correspond exactement à la définition d'un point $\,x\,$

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  adhérent à $A$  ssi  toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$

L'adhérence de $A$  est  l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$

$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$

adhérent à $A\sp{1.5}.$

Réciproquement, si $\,x\,$ est adhérent à $A\sp{1.5},$ on a : $\,\ptt\eps > 0\sp{1.5},\ B(x,\eps)\cap A\neq\vide\sp{1.5},\,$ d'où l'existence d'un $\,\alpha=\|x-y\sp{1.5}\| < \eps,\,$ pour $\,y\app A\sp{1.5}.\,$

Cela signifie que l'ensemble $\,\Delta_x\sp{1.5},\,$ minoré par $\,0\sp{1.5},\,$ n'a pas de minorant $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ si bien que : $\,d\sp{1.5}(x,A)=\inf\Delta_x=0\sp{1.5}.\,$

On a finalement démontré que : $\,d\sp{1.5}(x,A)=0\Ssi x\app\adher{A}\sp{1.5},\,$ soit finalement :

Soient deux parties de $E$ vérifiant $\,X\subset Y:\,$

• si toute
  Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

  $\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
  Les boules « ouvertes » de $E$  sont  des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$
  boule de centre $\,a\app E\,$ contient un $\,x\app X\sp{1.5},\,$ elle contient ce même $\,x\app Y\sp{1.5};\,$
• si une boule de centre $\,a\app E\,$ est contenue dans $X\sp{1.5},$ elle est contenue dans $Y\sp{1.5}.$

Par définition de l'

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  adhérent à $A$  ssi  toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$

L'adhérence de $A$  est  l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$

$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$

adhérence et de l'

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  intérieur à $A$  ssi  il existe une boule de centre $\,a\,$ contenue dans $A\sp{1.5}.$

L'intérieur de $A$  est  l'ensemble ouvert $\,\interieur A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ intérieurs à $A:$

$\displaystyle{}a\app\interieur A\Ssi\big(\iex r > 0,\ B(a,r)\subset A\big)$

intérieur d'une partie de $E\sp{1.5},$ on a donc :

Avec $\,A\subset\sp{-1.5}(A\cup\sp{-1.5}B\sp{1.5})\,$ et $\,B\subset\sp{-1.5}(A\cup\sp{-1.5}B\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ on a ainsi :

• $\,\adher A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\,$ et $\,\adher B\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\sp{1.5},\,$ d'où l'
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  inclusion :  $\,(\adher A\cup\sp{-1.5}\adher B)\subset\sp{-1.5}(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\sp{1.5};\,$
• $\,\interieur A\subset(A\sp{1.5}\interieur{\,\cup}\,B\sp{1.5})\,$ et $\,\interieur B\subset (A\sp{1.5}\interieur{\,\cup}\,B\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ d'où l'inclusion :  $\,(\interieur A\sp{1.5}\cup\sp{-1.5}\interieur B\sp{1.5})\subset(A\sp{1.5}\interieur{\,\cup}\,B\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$

Montrons par l'absurde que $\,(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\subset\sp{-1.5}(\adher A\cup \adher B)\sp{1.5},\,$ en supposant qu'il existe $\,x\app\sp{1.5}(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\,$ tel que $\,x\non\app(\adher {A}\cup \adher {B})\sp{1.5}.\,$

Par définition des points

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  adhérent à $A$  ssi  toute boule de centre $\,a\,$ contient un point de $A\sp{1.5}.$

L'adhérence de $A$  est  l'ensemble fermé $\,\adher A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ adhérents à $A:$

$\displaystyle{}a\app\sp{1.5}\adher A\Ssi\big(\ptt r > 0\sp{1.5},\ B(a,r)\cap A\neq\vide\big)$

adhérents, il existerait deux boules de centre $\,x\sp{1.5},\,$ l'une ne rencontrant pas $A\sp{1.5},$ et l'autre ne rencontrant pas $B:$

Pour $\,r=\min(r_1,r_2),\,$ on aurait alors : $\,B(x\sp{.75},r)\cap(A\cup B)=\vide,\,$ en contradiction avec l'hypothèse : $\,x\app\,(\adher{A\cup\sp{-1.5}B\sp{1.5}})\sp{1.5}.\,$

On a ainsi démontré que : $\,(\adher{A\cup \sp{-1.5}B\sp{1.5}})\subset\sp{-1.5}(\adher A\cup \adher B)\sp{1.5},\,$ d'où finalement l'

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

égalité :

En revanche, l'inclusion $\,(\interieur A\sp{1.5}\cup\sp{-1.5}\interieur B\sp{1.5})\subset(A\sp{1.5}\interieur{\,\cup}\,B\sp{1.5})\,$ peut être stricte.

Considérons par exemple les ensembles :  $\,A=\ens{x\app E}{\sp{1.5}\|x\|\geq 1}\,$  et  $\,B=\ens{x\app E}{\sp{1.5}\|x\|\leq 1}\!\cdot\,$

• On a d'une part :  $\,(A\sp{1.5}\interieur{\,\cup}\,B\sp{1.5})=E\sp{1.5},\,$ car : $\,(A\cup\sp{-1.5} B\sp{1.5})=E\,;\,$
• mais d'autre part : $\,(\interieur A\cup\sp{-1.5}\interieur B\sp{1.5})\neq E\sp{1.5},\,$ car un $\,x\,$ tel que $\,\|x\|=1\,$ n'est
  Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

  Le point $\,a\,$ est  intérieur à $A$  ssi  il existe une boule de centre $\,a\,$ contenue dans $A\sp{1.5}.$

  L'intérieur de $A$  est  l'ensemble ouvert $\,\interieur A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ intérieurs à $A:$

  $\displaystyle{}a\app\interieur A\Ssi\big(\iex r > 0,\ B(a,r)\subset A\big)$
  intérieur ni à $A\sp{1.5},$ ni à $B\sp{1.5}.$
  En effet, ni $A\sp{1.5},$ ni $B$ ne contiennent une boule de centre $\,x\sp{1.5},\,$ dans la mesure où :
  $\displaystyle{}\ptt\eps\app\,]\sp{1.5}0,1[\,,\ \big(\sp{1.5}(1-\eps)\sp{1.5}x\non\app A\txt{et}(1+\eps)\sp{1.5}x\non\app B\sp{1.5}\big)$

Étant donné que $\,A\subset\adher A,\,$ on a l'inclusion suivante, entre deux parties de $\adher{\,\bb R\sp{-1.5}}:$

L'ensemble $D$ est donc

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est  un majorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$

Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$  $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$

majoré par la borne

Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :

$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$

C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$

supérieure de $D^{\sp{1.5}\prime}:$  $\,\delta(\adher{A})={\sup D}^{\sp{1.5}\prime}.\,$

Il s'ensuit que le plus petit de ses majorants : $\,\delta(A)=\sup D\,$ vérifie l'inégalité suivante dans $\adher{\,\bb R\sp{-1.5}}:$  $\,\delta(A)\leq\delta(\adher{A})\sp{1.5}.\,$

Pour établir l'égalité $\,\delta(A)=\delta(\adher{A})\sp{1.5},\,$ on va utiliser la caractérisation

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5}.$

$\,a\app E\,$ est adhérent à $A$  ssi  il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\,a\sp{1.5}.\,$

séquentielle de $\adher A\sp{1.5}.$

Pour tout $\,(x,y)\app\,(\adher A{\sp{1.5}})^2,\,$ il existe des suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $A$ telles que :  $\,x_n\tend n{+\I}x\,$  et  $\,y_n\tend n{+\I}y\sp{1.5}.\,$

On écrit alors, par

Dans un espace vectoriel normé $E,$ pour tous $\,x,\sp{1.5}y\app E,\,$ on a :

$\eqalign{\|x+y\sp{.75}\|&\leq\|x\| + \|y\sp{.75}\|\\[-.5ex]\big|\|x\|-\|y\sp{.75}\|\big|&\leq\ \|x-y\sp{.75}\|}$

Chacune est une égalité  ssi  $\,x\,$ et $\,y\,$ sont colinéaires et de même sens.

inégalité triangulaire :

En

Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ admettant des limites.

Si  on a $\,u_n\leq v_n\,$ à partir d'un certain rang,  alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I}\sp{1.5}u_n\leq \lim n{+\I}\sp{1.5}v_n$

passant cette inégalité à la limite lorsque $\,n\,$ tend vers $+\I\sp{1.5},$ on obtient donc :

Le nombre $\delta(A)$ étant alors un majorant de $\,D^{\sp{1.5}\prime},\,$ on en déduit l'inégalité dans $\adher{\,\bb R\sp{-1.5}}:$  $\,\delta(\adher{A})\leq\delta(A)\sp{1.5}.\,$

Pa double inégalité, on a finalement établi que :  $\,\delta(\adher{A})=\delta(A)\sp{1.5}.\,$

Le diamètre de $\interieur A$ n'est défini que si l'ensemble $A$ est d'

Soient $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$  et $\,a\app E\sp{1.5}.\,$

Le point $\,a\,$ est  intérieur à $A$  ssi  il existe une boule de centre $\,a\,$ contenue dans $A\sp{1.5}.$

L'intérieur de $A$  est  l'ensemble ouvert $\,\interieur A\sp{1.5},\,$ formé des points de $E$ intérieurs à $A:$

$\displaystyle{}a\app\interieur A\Ssi\big(\iex r > 0,\ B(a,r)\subset A\big)$

intérieur non vide :  $\,\interieur A\neq\vide\sp{1.5}.\,$

Moyennant cette hypothèse, sachant que $\,\interieur A\subset A\sp{1.5},\,$ l'ensemble $\,D^{\sp{1.5}\prime\prime}=\ens{\|x-y\|}{(x,y)\app\,(\interieur A)^2}\,$ est inclus dans $D\sp{1.5}.$

L'ensemble $D^{\sp{1.5}\prime\prime}$ est donc majoré par la borne

Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :

$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$

C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$

supérieure de $D:$  $\,\delta(A)=\sup D\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que le plus petit de ses majorants : $\,\delta(\interieur A)=\sup D^{\sp{1.5}\prime\prime}\sp{1.5},\,$ vérifie l'inégalité dans $\adher{\,\bb R\sp{-1.5}}:$  $\,\delta(\interieur A)\leq\delta(A)\sp{1.5}.\,$

En revanche, cette inégalité peut être stricte pour certains ensembles $A$ d'intérieur non vide.

Soit $\,A=B\cup\{0\}\sp{1.5},\,$ lorsque $B$ est la

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$  sont  des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$

boule ouverte de centre $\,b\,$ et de rayon $\,1\sp{1.5},\,$ pour $\,b\app E\,$ tel que $\,\|b\| =2\sp{1.5}.\,$

Alors $\,0\non\app\interieur A\sp{1.5},\,$ car aucune boule de centre $\,0\,$ et de rayon $\,r>0\,$ n'est incluse dans $A\sp{1.5}.$

En effet, avec $\,\lambda=\min(r,1)/4\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,x=\lambda\sp{1.5}b\,$ appartient à cette boule et n'appartient pas à $A\sp{1.5},$  puisque :

Avec $\,B=\interieur B\subset\interieur A\sp{1.5},\,$ on a donc $\,\interieur A=B\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,\delta(\interieur A)=\delta(B)=2 < 1+\|\sp{.75}b\sp{1.5}\|=\delta(A)\sp{1.5}.\,$