Sujet F.1.4 Continuité et prolongement
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Exercice a
Déterminer sur quelle partie de $\,\bb R^2\,$ la fonction réelle suivante est définie et continue :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto\dfrac{x^2\sp{1.5}y^2-x^3-y^3}{x^2+y^2}$
Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité sur $\,\bb R^2\ ?\,$
limite d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonctions numériques continues et opérations
Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$
- les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
- le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
- le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$ si $g$ ne s'annule pas sur $A.$
prolongement par continuité
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
indication
Majorer $\,\big|f(x,y)\big|\,$ par une expression simple de limite nulle en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
figure
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-5,5\sp{1.5}]^2\,$
réponse
La fonction $f$ est continue sur tout le plan $\,\bb R^2\,$ sauf au point $\,(0\sp{.75},0)\sp{1.5}.\,$
On prolonge $f$ par continuité sur $\,\bb R^2\,$ en posant :
$\displaystyle{}f(0,0)\ =\!\lim{(x,\sp{1.5}y)}{(0,\sp{1.5}0)}\sp{1.5}f(x,y)\,=\,0$
correction
Les fonctions
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiales
$\,(x,y)\mapsto x^2\sp{1.5}y^2-x^3-y^3\,$ et $\,(x,y)\mapsto x^2+y^2\,$ sont continues sur $\,\bb R^2,\,$ avec :
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
$\displaystyle{}x^2+y^2=0\Ssi x=y=0$
Par
Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$
quotient
de fonctions continues, la fonction $f$ est donc continue sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\!\cdot\,$
On cherche ensuite une limite éventuelle de $\,f(x,y)\,$ en $\,(0,0)\,.\,$
On commence par majorer $\,|f(x,y)|\,$ par
- les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
- le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
- le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$ si $g$ ne s'annule pas sur $A.$
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire :
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
$\displaystyle{}|f(x,y)|\leq\frac{x^2\sp{1.5}y^2+|x|^3}{ x^2+y^2}+\frac{|y|^3}{ x^2+y^2}$
Pour $\,x\neq0\,$ et $\,y\neq0\sp{1.5},\,$ on en déduit la majoration :
$\displaystyle{}|f(x,y)|\leq \frac{x^2\sp{1.5}y^2+|x|^3}{ x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}=y^2+|x|+|y|$
Cette majoration de $\,|f(x,y)|\,$ par $\,y^2+|x|+|y|\,$ demeure vraie pour tout $\,(x,y)\neq(0,0)\sp{1.5},\,$ car :
$\displaystyle{}\ptt y\neq0\sp{1.5},\ |f(0,y)|=|y|\ \txt{et}\ \ptt x\neq0\sp{1.5},\ |f(x,0)|=|x|$
Les fonctions
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiales
$\,(x,y)\mapsto y^2,\,$ $\,(x,y)\mapsto x,\,$ $\,(x,y)\mapsto y\,$ étant continues en $\,(0,0)\sp{1.5},\,$ on a par
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels normés, $\,A\subset E \,$ et $\,\ell\app F\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,\phi:A\to \bb R\sp{1.5},\,$ si on a, au voisinage de $\,a\app\adher{A}:\,$
majoration :
$\displaystyle{}\|f(x)-\ell\|\leq\phi(x)$
on a alors l'implication : $\,\lim x a\, \phi(x) =0 \Imp \lim x a\, f(x) =\ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}|f(x,y)|\tend{(x,y)}{(0,0)}\,0$
On définit donc un
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
prolongement
par continuité de $f$ sur $\,\bb R^2\,$ en posant :
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
$\displaystyle{}f(0,0)=\!\lim{(x,y)}{(0,0)}\,f(x,y)=0$
On peut représenter la fonction $f$ sur $\,[-5,5\sp{1.5}]^2\,$ par la surface de $\,\bb R^3\,$ formée des $\,\big(x,y,f(x,y)\big):\,$
|
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-5,5\sp{1.5}]^2\,$
|
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Exercice b
Déterminer sur quelle partie de $\,\bb R^2\,$ la fonction réelle suivante est définie et continue :
$\displaystyle{}f:(x,y)\mapsto-\dfrac{x\sp{1.5}(x^2+y)}{2\sp{1.5}x^2+x\sp{1.5}y+y^2}$
Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité sur $\,\bb R^2\ ?\,$
limite d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonctions numériques continues et opérations
Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$
- les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
- le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
- le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$ si $g$ ne s'annule pas sur $A.$
prolongement par continuité
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
indication
1
Montrer d'abord que $f$ est définie et continue sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\!\cdot\,$
indication
2
Déterminer deux fonctions $\,u_1\,$ et $\,u_2:\bb R\to\bb R^2,\,$ telles que :
$\eqalign{\bigg\{\eqalign{&\lim t0\,u_1(t)=\lim t0\,u_2\,(t)=(0,0)\\[-.5ex]&\lim t0\, f(u_1(t))\neq\lim t0\, f(u_2(t))}}$
figure
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
réponse
La fonction $f$ est continue sur tout le plan $\,\bb R^2\,$ sauf au point $\,(0\sp{.75},0)\sp{1.5}.\,$
Elle ne se prolonge pas par continuité sur $\,\bb R^2,\,$ car $f$ n'admet pas de limite en $\,(0\sp{.75},0)\sp{1.5}.\,$
correction
On remarque d'abord que la fonction $f$ est définie sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\sp{1.5},\,$ car :
$\eqalign{&2\sp{1.5}x^2+x\sp{1.5}y+y^2=\dfrac12\big(3\sp{1.5}x^2+(x+y)^2+y^2\sp{1.5}\big)=0\\[-.5ex]
\txt{d'où :}&2\sp{1.5}x^2+x\sp{1.5}y+y^2=0\Ssi x=x+y=y=0}$
Les fonctions
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiales
$\,(x,y)\mapsto -x\sp{1.5}(x^2+y)\,$ et $\,(x,y)\mapsto 2\sp{1.5}x^2+x\sp{1.5}y+y^2\,$ sont continues sur $\,\bb R^2.\,$
Par
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$
quotient
de fonctions continues, $f$ est donc continue sur $\,\bb R^2\!\setminus\!\{(0,0)\}\!\cdot\,$
Avec : $\,\ptt x\neq0,\ f(x,0)=-\dfrac x2\,$ et : $\,\ptt y\neq0,\ f(0,y)=0\sp{1.5},\,$ on a les limites partielles : - les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
- le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
- le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$ si $g$ ne s'annule pas sur $A.$
$\displaystyle{}\lim x0\,f(x,0)=\lim y0\,f(y,0)=0$
Cependant, des limites partielles égales en un point ne garantissent pas l'existence d'une limite globale en ce point :
$\displaystyle{}\lim x0\,f(x,0)=\lim y0\,f(y,0)=0\longnon\Imp\!\!\lim{(x,y)}{(0,0)}\,f(x,y)=0$
On peut par exemple remarquer que, pour $\,t\neq0\sp{1.5},\,$ on a une autre limite partielle distincte de $\,0:\,$
$\displaystyle{}\ptt t\neq0,\ f(t,t)=-\dfrac{t^3+t^2}{4\sp{1.5}t^2}=-\dfrac{t+1}4\tend t0-\dfrac14$
Si $f$ admettait une limite $\ell$ en $\,(0,0)\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F.\,$
Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,g:B\to G\,$ telles que $\,f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\,$ et $\,a\app\surl{A}:\,$
composition
de limites, on devrait avoir pour toute $\,u:\bb R\to\bb R^2:\,$ $\displaystyle{}\big(\,\lim x a\, f(x) = b \txt{et} \lim y b\, g(y) = c\,\big)\Imp\lim x a\, (g\circ f)(x) = c$
$\displaystyle{}\lim t0\,u(t)=(0,0)\Imp\lim t0\, f(u(t))=\ell$
Avec $\,u_1:t\mapsto(t,0)\,$ et $\,u_2:t\mapsto(t,t)\sp{1.5},\,$ on a obtenu deux valeurs distinctes : $\,\ell=0\,$ et $\,\ell=-1/4\sp{1.5}.\,$
Cela contredit
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
l'unicité
de la limite de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5};\,$
$f$ n'admet donc pas de
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
prolongement
continu sur $\,\bb R^2.\,$
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
On peut représenter la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$ par la surface de $\,\bb R^3\,$ formée des $\,\big(x,y,f(x,y)\big)\sp{1.5}.\,$
Cette surface présente une lacune verticale qui correspond à la discontinuité de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
|
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
|
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Exercice c
Soit la fonction réelle définie sur $\bb R^2$ par :
$\displaystyle{}f(x,y)=\frac {|y|}{x^2}\,\e{-|y|/x^2}\txt{si}x\neq0\ \txt{et}\ f(0,y)=0 \txt{sinon}$
Déterminer, pour chaque $\,\theta\app\bb R\,$ fixé, la limite radiale de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5},\,$
c'est-à-dire : $\displaystyle{}\lim r{0^+} \ f(\sp{1.5}r\cos\theta,\sp{1.5}r\sin\theta\sp{1.5})$
Que peut-on en déduire quant à la continuité de $f$ en $\,(0,0)\ ?\,$
limite d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
continuité d'une fonction dans un espace vectoriel normé
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
fonctions numériques continues et opérations
Soient $E$ un espace vectoriel normé, ainsi que $\,f,g\app\sc C(A, \bb K):\,$
- les $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ pour $(\alpha,\beta)\app\bb K^2$ sont continues sur $A\,;$
- le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est continu sur $A\,;$
- le quotient $\,f/g\,$ est continu sur $A$ si $g$ ne s'annule pas sur $A.$
prolongement par continuité
Soit $\,f\app\sc C(A,F)\sp{1.5},\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F,$ avec $\,A\subset E\sp{1.5}.\,$
Si $f$ admet une limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}},\,$ alors $f$
se prolonge par continuité à $\,A\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
$\displaystyle{}f(a)=\lim x a\, f(x)$
indication
1
Utiliser la fonction $\,\phi:t\mapsto t\,\e{-t}\sp{1.5},\,$ pour déterminer les limites radiales de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Étudier la limite de $\,f(t\sp{.75},\sp{1.5}t^2)\,$ lorsque $\,t\,$ tend vers $\,0\sp{1.5},\,$ et la comparer aux limites précédemment obtenues.
figure
La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
réponse
Pour $\,\theta\app\bb R\,$ fixé, les limites radiales de $f$ en $\,(0\sp{.75},0)\,$ sont :
$\displaystyle{}{\lim r{0^+}} \ f(r\cos\theta,r\sin\theta)=0$
Cependant, $f$ n'admet pas de limite globale lorsque $\,(x,y)\to(0,0):\,$ $f$ est discontinue en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
correction
Considérons la fonction suivante, définie sur $\,\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}g:(x,y)\longmapsto\Syst{& |y|/{x^2}&\txt{si}\ x\neq0\\&\ \ 0&\txt{si}\ x=0}$
La fonction $f$ est alors la
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composée
de $\,g\,$ par la fonction $\,\phi:t\mapsto t\,\e{-t}\sp{1.5},\,$ soit : $\,f=\phi\circ g\sp{1.5}.\,$
En posant $\,x=r\cos\theta\,$ et $\,y=r\sin\theta\,$ pour $\,r > 0\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\displaystyle{}f(\sp{1.5}r\cos\theta,\sp{1.5}r\sin\theta\sp{1.5})=\smh{3.5}{\bigg\{\eqalign{&\smh{.5}{\phi\Big(\frac{|\sp{1.5}\sin\theta\sp{1.5}|}{r\cos^2\theta}\Big)}&\!\txt{si} \theta\non\equiv\pi/2\ [\pi]\\[-0ex]
&\phi(0)=0&\!\txt{si} \theta\equiv\pi/2\ [\pi]}}$
- Pour $\,\theta\equiv0\ [\pi]\,$ ou $\,\theta\equiv\pi/2\ [\pi]\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire pour $\,\theta\equiv0\ [\pi/2]\sp{1.5},\,$ on a : $\,f(\sp{1.5}r\cos\theta,\sp{1.5}r\sin\theta\sp{1.5})=0\sp{1.5}.\,$
- Pour $\,\theta\non\equiv0\ [\pi/2]\sp{1.5},\,$ on a : $\,\smb1{\lim r{0^+}}\,\dfrac{|\sp{1.5}\sin\theta\sp{1.5}|}{r\cos^2\theta}=+\I\,$ et $\,\smb1{\lim t{+\I}}\phi(t)=0\,$ par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :croissances comparées. Par$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F.\,$ Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,g:B\to G\,$ telles que $\,f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\,$ et $\,a\app\surl{A}:\,$composition de limites, on en déduit que : $\,{\lim r{0^+}} \,\phi\Big(\dfrac{|\sp{1.5}\sin\theta\sp{1.5}|}{r\cos^2\theta}\Big)=0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\big(\,\lim x a\, f(x) = b \txt{et} \lim y b\, g(y) = c\,\big)\Imp\lim x a\, (g\circ f)(x) = c$
$\displaystyle{}\lim r{0^+} \,f(\sp{1.5}r\cos\theta,\sp{1.5}r\sin\theta\sp{1.5})=0$
Cependant, des limites radiales égales en un point ne garantissent pas l'existence d'une limite globale en ce point :
$\displaystyle{}\big(\ptt \theta\app\bb R\sp{1.5},\ f(\sp{1.5}r\cos\theta,\sp{1.5}r\sin\theta\sp{1.5})\tend r{0^+}0\sp{1.5}\big)\longnon\Imp f(x,y)\tend{(x,y)}{(0,0)}0$
En effet, pour toute fonction $\,u:\bb R\to\bb R^2\,$ telle que : $\,\smb0{\lim t0 u(t)=(0,0)}\sp{1.5},\,$ on a par
Soient $\,E,\,F,\,G\,$ des espaces vectoriel normés, $\,A\!\subset\! E\,$ et $\,B\!\subset\! F.\,$
Pour $\,f:A\to F\,$ et $\,g:B\to G\,$ telles que $\,f(A)\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}B\,$ et $\,a\app\surl{A}:\,$
composition
de limites :
$\displaystyle{}\big(\,\lim x a\, f(x) = b \txt{et} \lim y b\, g(y) = c\,\big)\Imp\lim x a\, (g\circ f)(x) = c$
$\displaystyle{}\smb{1.7}{\lim{(x,y)}{(0,0)}f(x,y)=0\Imp\lim t0 f(u(t))=0}$
Considérons alors la fonction $\,u:t\mapsto(t,t^2)\sp{1.5};\,$ elle est telle que : $\,\ptt t\neq 0,\ f(u(t))=\e{-1}\neq0\sp{1.5},\,$ et dans ces conditions :
- lorsque $\,(x,y)\,$ tend vers $\,(0,0)\,$ le long de la parabole d'équation $\,y=x^2\sp{1.5},\,$ $\,f(x,y)\,$ reste égal à $\,\e{-1}\sp{1.5};\,$
- lorsque $\,(x,y)\,$ tend vers $\,(0,0)\,$ le long d'une
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :demi-droite d'argument $\,\theta\sp{1.5},\,$ $\,f(x,y)\,$ tend vers $\,0\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
l'unicité
de la limite de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5};\,$ $f$ n'a donc pas de limite en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que la fonction $f$ est
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
La fonction $f$ est continue $\,a\app A\,$ ssi elle admet une limite en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a} f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(A,F)$ est l'ensemble des $\,f:A\to F\,$ continues en tout $x\app A\sp{1.5}.$
discontinue
en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
On peut représenter la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$ par la surface de $\,\bb R^3\,$ formée des $\,\big(x,y,f(x,y)\big)\sp{1.5}.\,$
Les courbes de paramétrisations : $\,t\mapsto(t,\pm\sp{1.5} t^2,\e{-1})\,$ pour $\,t\neq0\sp{1.5},\,$ sont les lignes de crête de cette surface.
Cette surface présente une lacune verticale qui correspond à la discontinuité de $f$ en $\,(0,0)\sp{1.5}.\,$
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La surface représentant la fonction $f$ sur $\,[-1,1\sp{1.5}]^2\,$
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