Sujet F.1.3 Suites convergentes
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Exercice a
Soit $\,(x_n)_{n\app\bb N}\,$ une suite de vecteurs d'un espace vectoriel normé $\,E\,.\,$ Montrer que si les suites $(x_{2\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\sp{1.5},$ $(x_{2\sp{1.5}p+1})_{p\app\bb N}$ et $(x_{3\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}$ convergent, alors la suite $(x_n)_{n\app\bb N}$ converge.
suite convergente dans un vectoriel normé
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est convergente ssi il existe $\,\ell\app E\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\,\ \ptt n\app \bb N\sp{1.5}\ \big(\sp{1.5}n\geq N\Imp \|u_n-\ell\| \leq \eps\sp{1.5}\big)$
Cette limite $\,\ell\,$ est unique : on écrit :
$\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$ ou $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
notion de suite extraite
Une suite $(v_p)$ est extraite d'une suite $(u_n)$ ssi il existe $\,p\mapsto n_p\app\bb N\,$ strictement croissante telle que :
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ v_p=u_{n_p}$
suite extraite d'une suite convergente
Soit, dans un espace vectoriel normé $E,$ une suite $(u_{n_p})$ extraite d'une suite $(u_n)\sp{1.5};$ pour $\,\ell\app E\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$
indication
Considérer les suites extraites $\,(x_{6\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\,$ et $\,(x_{6\sp{1.5}p+3})_{p\app\bb N}\,.\,$
réponse
La suite $\,(x_n)_{n\app\bb N}\,$ converge bien vers une limite $\,\ell\app E,\,$ commune aux trois suites extraites.
correction
Soient $\,\ell_0,\,$ $\,\ell_1\,$ et $\,\ell_2\,$ les limites respectives des trois suites
Une suite $(v_p)$ est extraite d'une suite $(u_n)$ ssi il existe $\,p\mapsto n_p\app\bb N\,$ strictement croissante telle que :
extraites
de la suite $\,(x_n)_{n\app\bb N}:\,$
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ v_p=u_{n_p}$
$\displaystyle{}\lim p{+\I}x_{2\sp{1.5}p}=\ell_0,\ \lim p{+\I}x_{2\sp{1.5}p+1}=\ell_1\txt{et}\lim p{+\I}x_{3\sp{1.5}p}=\ell_2\,.$
Toute suite extraite d'une suite convergeant vers une limite $\,\ell\app E,\,$
Soit, dans un espace vectoriel normé $E,$ une suite $(u_{n_p})$ extraite d'une suite $(u_n)\sp{1.5};$ pour $\,\ell\app E\sp{1.5},\,$ on a alors :
converge
vers la même limite.
Ainsi $\,(x_{6\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\sp{1.5},\,$ extraite des suites $\,(x_{2\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\,$ et $\,(x_{3\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\sp{1.5},\,$ converge à la fois vers $\,\ell_0\,$ et $\,\ell_2\,.\,$
Par
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est convergente ssi il existe $\,\ell\app E\,$ tel que :
unicité
de la limite d'une suite, ces deux limites sont donc égales :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\,\ \ptt n\app \bb N\sp{1.5}\ \big(\sp{1.5}n\geq N\Imp \|u_n-\ell\| \leq \eps\sp{1.5}\big)$
Cette limite $\,\ell\,$ est unique : on écrit :
$\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$ ou $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ell_0=\lim p{+\I}\!x_{6\sp{1.5}p}=\ell_2$
De même $\,(x_{6\sp{1.5}p+3})_{p\app\bb N}\sp{1.5},\,$ extraite des suites $\,(x_{2\sp{1.5}p+1})_{p\app\bb N}\,$ et $\,(x_{3\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\sp{1.5},\,$ converge vers $\,\ell_1\,$ et $\,\ell_2\,,\,$ d'où :
$\displaystyle{}\ell_1=\lim p{+\I}\!x_{6\sp{1.5}p+3}=\ell_2$
Avec $\,\ell_0=\ell_2=\ell_1\sp{1.5},\,$ ces trois limites sont donc égales à un même $\,\ell\app E\,.\,$
Par définition de la
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est convergente ssi il existe $\,\ell\app E\,$ tel que :
convergence,
il existe pour tout $\,\eps > 0\,$ des rangs $\,P_0\app\bb N\,$ et $\,P_1\app\bb N\,$ tels que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\,\ \ptt n\app \bb N\sp{1.5}\ \big(\sp{1.5}n\geq N\Imp \|u_n-\ell\| \leq \eps\sp{1.5}\big)$
Cette limite $\,\ell\,$ est unique : on écrit :
$\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$ ou $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ \big(p\geq P_0\Imp \|x_{2\sp{1.5}p}-\ell\|\leq \eps\big)\\
&\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ \big(p\geq P_1\Imp \|x_{2\sp{1.5}p+1}-\ell\|\leq \eps\big)}$
Il s'ensuit alors que, en posant : $\,N=\max\big(2\sp{1.5}P_0\sp{1.5},\,2\sp{1.5}P_1+1\big),\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \big(n\geq N\Imp \|x_{n}-\ell\|\leq \eps\big)$
On a finalement établi que la suite $\,(x_n)_{n\app\bb N}\,$ converge vers $\,\ell\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Soit $\,E\,$ un espace vectoriel normé de dimension finie et $\,f\,$ un endomorphisme de $\,E\,$ tel que la suite $\,(f^n)_{n\app\bb N}\,$ converge vers un $\,g\app\sc L(E)\,;\,$
déterminer alors la nature de cet endomorphisme $\,g.\,$
suite convergente dans un vectoriel normé
Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est convergente ssi il existe $\,\ell\app E\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\,\ \ptt n\app \bb N\sp{1.5}\ \big(\sp{1.5}n\geq N\Imp \|u_n-\ell\| \leq \eps\sp{1.5}\big)$
Cette limite $\,\ell\,$ est unique : on écrit :
$\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$ ou $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$
notion de suite extraite
Une suite $(v_p)$ est extraite d'une suite $(u_n)$ ssi il existe $\,p\mapsto n_p\app\bb N\,$ strictement croissante telle que :
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ v_p=u_{n_p}$
suite extraite d'une suite convergente
Soit, dans un espace vectoriel normé $E,$ une suite $(u_{n_p})$ extraite d'une suite $(u_n)\sp{1.5};$ pour $\,\ell\app E\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$
indication
Exprimer la limite de la suite $\,(f^{2\sp{1.5}k})_{k\app\bb N}\,\,$ en fonction de $\,\ g=\!\!\lim n{+\I}\!f^n\sp{1.5}.\,$
réponse
On démontre que l'endomorphisme $\,g\,$ est un projecteur de $\,E.\,$
correction
La suite $\,(f^n)_{n\app\bb N}\,$ convergeant vers $\,g\sp{1.5},\,$ la suite
Une suite $(v_p)$ est extraite d'une suite $(u_n)$ ssi il existe $\,p\mapsto n_p\app\bb N\,$ strictement croissante telle que :
extraite
$\,(f^{2\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\,$
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N\sp{1.5},\ v_p=u_{n_p}$
Soit, dans un espace vectoriel normé $E,$ une suite $(u_{n_p})$ extraite d'une suite $(u_n)\sp{1.5};$ pour $\,\ell\app E\sp{1.5},\,$ on a alors :
converge
aussi vers $\,g.\,$
La
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel, $\,f,f_1,f_2,\,g,\,g_1,\sp{1.5}g_2\,$ des endomorphismes de $E$ et $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};\,$ alors :
$\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}g_1+\beta\sp{1.5}g_2)\sp{-1.5}\circ\sp{-1.5} f=\alpha\sp{1.5}(g_1\sp{-1.5}\circ\sp{-1.5} f)+\beta\sp{1.5}(g_2\circ\sp{-1.5}f)\\[-.5ex]
g\sp{-1.5}\circ\sp{-1.5}(\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2)=\alpha\sp{1.5}(g\circ\sp{-1.5}f_1)+\beta\sp{1.5}(g\circ\sp{-1.5}f_2)}\sp{1.5}:\,$ la composition est bilinéaire dans $\sc L(E)\sp{1.5}.$
composition
est bilinéaire et elle est aussi
Soient $E_1,\dots,E_p$ et $F$ des espaces vectoriels normés, avec $E_1,\dots,E_p$ de dimensions finies. Alors, toute $\,f:E_1\times\cdots\times E_p\to F\,$ multilinéaire est continue.
continue
sur $\,\sc L(E)\!\times\!\sc L(E)\,$ car $\,E\,$ est de dimension finie.
Cette application $\,(f_1,f_2)\mapsto f_1\circ f_2\\,$ est donc continue au point $\,(g,g)\,$ de $\,\sc L(E)\!\times\!\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
On en déduit , par propriété
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,f:A\subset E\to F.\,$
$f$ est continue en $\,a\app A\,$ ssi pour toute suite $\,(x_n)\app \smh0{A^{\bb N}}:\,$
séquentielle
de la continuité que :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\,x_n=a\Imp \lim n{+\I}\,f(x_n)=f(a)$
$\displaystyle{}(f^p,f^p)\tend p{+\I}\ (g,g) \,\Imp \,f^p\circ f^p\tend p{+\I}\ g\circ g$
Par
La composition des applications est associative :
Pour $\,\sth1 f:E\to F,\,$ $\,g:F\to G\,$ et $\,h:G\to H\,,\,$ on a :
associativité
de la composition, on a : $\,f^{2\sp{1.5}p}=f^p\circ f^p,\,$ d'où d'après
$\displaystyle{}h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
Soit $\,f:A\subset E\to F,\,$ pour des espaces vectoriels normés $E$ et $F.$
La fonction $f$ admet le vecteur $\,\ell\app F\,$ pour limite en $\,a\app\sp{1.5}\smh0{\surl{\sp{-1.5}A\,}}\,$ ssi :
l'unicité
de la limite : $\,g\circ g=g\,.\,$
On a ainsi démontré que la limite $\,g\,$ de la suite $\,(f^n)_{n\app\bb N}\,$ est un
$\displaystyle{}\!\!\ptt\eps\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,\iex\delta\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\ptt x\app A\sp{1.5},\sp{1.5}\big(\|x-a\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\delta\!\Imp\!\sp{-1.5}\|f(x)-\ell\sp{.75}\|\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$
Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteur
de $\,E\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, on peut aussi dire que $\,g\,$ une
Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :
projection
de $\,E\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$
On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$