exercices de mathématiques - prépa et université

Pour un $\,x\app B_1=\surl{\sp{-1.5}B\sp{1.5}}(a,r_1)\,$ et un $\,y\app B_2=\surl{\sp{-1.5}B\sp{1.5}}(b,r_2),\,$ on a par

Dans un espace vectoriel normé $E,$ pour tous $\,x,\sp{1.5}y\app E,\,$ on a :

$\eqalign{\|x+y\sp{.75}\|&\leq\|x\| + \|y\sp{.75}\|\\[-.5ex]\big|\|x\|-\|y\sp{.75}\|\big|&\leq\ \|x-y\sp{.75}\|}$

Chacune est une égalité  ssi  $\,x\,$ et $\,y\,$ sont colinéaires et de même sens.

inégalité triangulaire :

On en déduit

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

l'inclusion de la

La somme de deux parties $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace vectoriel $E$  est l'ensemble :

$\displaystyle{}A+B=\ens{w\app E}{\iex u\app A\sp{1.5},\,\iex v\app B\sp{1.5},\ w=u+v\sp{1.5}}$

somme $\,B_1+B_2\,$ dans la

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule fermée de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}\smh0{\adher B}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| \leq r}$
Les boules « fermées » de $E$  sont  des parties fermées de $E\sp{1.5}.$

boule fermée $B_3$ de centre $\,a+b\,$ et de rayon$\,r_1+r_2:\,$

Réciproquement, soit un $\,z\app B_3\,,\,$ c'est-à-dire tel que :  $\,\|z-(a+b)\|\leq r_1+r_2\,.\,$

On considère alors le vecteur : $\,w=z-(a+b)\sp{1.5},\,$ qui est tel que :  $\,\|w\|\leq r_1+r_2\,.\,$

Il s'agit de le décomposer en une somme $\,w=u+v\,$ de deux vecteurs $\,u\,$ et $\,v\,$ tels que $\,\|u\|\leq r_1\,$ et $\,\|v\|\leq r_2\,.\,$

Le plus simple est alors de choisir $\,u\,$ et $\,v\,$

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires et de même sens, en les définissant ainsi :

On peut donc définir : $\,x=a+u\,$ appartenant à $\, B_1\,,\,$ et $\,y=b+v\,$ appartenant à $\, B_2\,,\,$ car :

On a bien ainsi décomposé $\,z\,$ comme la somme d'un élément de $\,B_1\,$ et d'un élément de $\,B_2:\,$

On a ainsi :  $\,z\app B_3\Imp z\app \,(B_1+B_2),\,$  c'est-à-dire :  $\,B_3\subset (B_1+B_2),\,$ d'où finalement :

Les

Dans un espace vectoriel normé $E\sp{1.5},$ la boule ouverte de centre $\,a\app E\,$ et de rayon $\,r\sp{-1.5} >\sp{-1.5} 0\,$ est :

$\displaystyle{}\smh0{\interieur B}\sp{1.5}(a,r)=\ens{x\app E}{\|x-a\| < r}$
Les boules « ouvertes » de $E$  sont  des parties ouvertes de $E\sp{1.5}.$

boules ouvertes $\,B_1=\Op{\mathit B}^{\,\lower 1ex\circ}(a,r_1)\,$ et $\,B_2=\Op{\mathit B}^{\,\lower 1ex\circ}(b,r_2)\,$ sont caractérisées par les conditions :

Supposons que

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$

L'intersection de $A$ et $B$  est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$

$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$

l'intersection $\,B_1\cap B_2\,$ soit non vide ; pour $\,x\app B_1\cap B_2\sp{1.5},\,$ on a alors par

Un espace vectoriel normé  est  un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'une norme.

Il s'agit d'une application $\,N:x\mapsto\|x\|\sp{1.5},\,$ de $E$ vers $\,\bb R_{+}\,$ et telle que :

• $\,\ptt x\app E,\ \ptt y\app E,\ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|:\,$ inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt x\app E,\ \ptt \lambda\app \bb K,\ \|\lambda\sp{1.5}x\|=|\lambda|\sp{1.5}\|x\|:\,$ homogénéité ;
• $\,\ptt x\app E,\ \big(\|x\|=0\Imp x=0\big):\,$ séparation.

inégalité triangulaire :

On a ainsi prouvé l'implication suivante :

Réciproquement, on suppose que : $\,\|b-a\| < r_1+r_2\,,\,$ et on veut montrer qu'il existe alors un $\,x\app B_1\cap B_2\,.\,$

On peut le rechercher sur le

Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$

segment $\,[\![\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sous la forme :

Un tel $\,x\,$ existe si et seulement si $\,t\app\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1]\,$ vérifie les deux conditions suivantes :

On cherche donc un $\,t\app\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1]\,$ tel que : $\,\|b-a\|-r_2 < t\,\|b-a\| < r_1\sp{1.5}.\,$

Cela correspond à un $\,\lambda=t\,\|b-a\|\sp{1.5},\,$ compris entre $\,0\,$ et $\,\|b-a\|\,$ et appartenant à l'intervalle :

Par hypothèse, on a : $\,\|b-a\|-r_2 < r_1\,,\,$ si bien que l'intervalle $J$ est non vide.

Sachant de plus que : $\,0 < r_1 < \|b-a\|\sp{1.5},\,$ $J$ contient au moins un réel $\,\lambda\,$ compris entre $\,0\,$ et $\,\|b-a\|\sp{1.5}.\,$

En posant $\,t=0\,$ lorsque $\,a\sp{-1.5}=\sp{-1.5}b\sp{1.5},\,$ ou $\,t=\dfrac\lambda{\|b-a\|}\,$ lorsque $\,a\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a établi l'existence de $\,x\app B_1\cap B_2\,.\,$

On a donc finalement démontré la condition nécessaire et suffisante :