exercices de mathématiques - prépa et université

Les fonctions $\,f\app \sc C^1([a,b],\bb R)\,$ sont de dérivées bornées sur le segment $[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

On peut alors utiliser la

Soit $\,E=\sc B(\Omega\sp{1.5},\bb K)\,$ le $\bb K\tiret$espace vectoriel des fonctions bornées sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$

La norme de la convergence uniforme sur $\,\Omega\,$ est  définie par :

$\displaystyle{}\ptt f \app E,\ \|f\|_\I=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f(x)|$

norme de la convergence uniforme et écrire :

Dans ces conditions, on vérifie les propriétés d'une

Un espace vectoriel normé  est  un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'une norme.

Il s'agit d'une application $\,N:x\mapsto\|x\|\sp{1.5},\,$ de $E$ vers $\,\bb R_{+}\,$ et telle que :

• $\,\ptt x\app E,\ \ptt y\app E,\ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|:\,$ inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt x\app E,\ \ptt \lambda\app \bb K,\ \|\lambda\sp{1.5}x\|=|\lambda|\sp{1.5}\|x\|:\,$ homogénéité ;
• $\,\ptt x\app E,\ \big(\|x\|=0\Imp x=0\big):\,$ séparation.

norme :

• L'inégalité triangulaire, qui découle de
  Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

  $\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

  Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
  celle de $\bb R\sp{-1.5}:$
  $\eqalign{ N(f+g)&=|f(a)+g(a)|+\|f'+g'\|_\I\\ &\leq |f(a)|+|g(a)|+\|f'\|_\I+\|g'\|_\I\\&\leq N(f)+N(g)}$
• L'homogénéité, par
  La valeur absolue de $\,x\app\bb R\,$ est : $\,|x|=\max(x,-x)\sp{1.5};\,$ on a  alors :

  • $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ |x\sp{1.5}y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|\,|y|\,;\,$
  • $\,\ptt(x,y)\app\bb R\times\bb R^{\ast},\ |x/y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|/|y|\,;\,$
  • pour $\,a,r,x\app\bb R:\,$ $\,|x-a|\leq r\Ssi a-r\leq x\leq a+r\sp{1.5}.\,$
  propriété de la valeur absolue :
  $\eqalign{ N(\lambda\sp{1.5}f)&=|\lambda\sp{1.5}f(a)|+\|\lambda\sp{1.5}f'\|_\I\\ &=\lambda\sp{1.5}|f(a)|+\lambda\sp{1.5}\|f'\|_\I=\lambda\sp{1.5}N(f)}$
• La séparation, du fait de la
  Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante  ssi :

  $\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
  caractérisation des constantes :
  $\eqalign{&\big(N(f)=|f(a)|+\|f'\|_\I\sp{1.5}=0\big)\Imp f=0\\ &\txt{car :}\,f'=0\Imp f=f(a)=0}$

L'espace $\, \sc C^1([a,b],\bb R)\,$ n'étant pas de

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

dimension finie, rien ne garantit que les normes $N$ et $N_\I$ soient

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ sont équivalentes  ssi :

$\displaystyle{}\iex\alpha > 0\sp{1.5},\ \iex\beta > 0\sp{1.5},\ \big(N_1\leq\alpha\sp{1.5} N_2\txt{et}N_2\leq\beta\sp{1.5} N_1\big)$

Pour $N_1$ et $N_2\sp{1.5},$ toutes les notions topologiques sur $E$ sont identiques.

équivalentes.

Soit $f\app E\sp{1.5};$  par

Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$

Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est  une de ces primitives.

primitivation de $f'$ et

Pour $\,f\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ ou $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ avec $a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},$ on a :

$\displaystyle{}\bigg|\int_a^bf(x)\d x\bigg|\leq\int_a^b\big|f(x)\big|\d x$

inégalité triangulaire intégrale, on a pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},b\sp{1.5}]:\,$ En posant $\,\alpha=\max(1,b-a)\sp{1.5},\,$ on en déduit la majoration suivante :

En revanche, il n'existe aucune constante $\,\beta > 0\,$ telle que : $\,\ptt f\app E,\ N(f)\leq\beta\sp{1.5}\|f\|_\I\sp{1.5}.\,$

En effet, si on considère la suite des fonctions $\,f_n: x\mapsto(x-a)^n\,$ pour $n\geq1,$ on obtient :

Il s'ensuit que les normes $\,f\mapsto N(f)\,$ et $\,f\mapsto N_{\I}(f)=\|f\|_\I\,$ ne sont pas

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ sont équivalentes  ssi :

$\displaystyle{}\iex\alpha > 0\sp{1.5},\ \iex\beta > 0\sp{1.5},\ \big(N_1\leq\alpha\sp{1.5} N_2\txt{et}N_2\leq\beta\sp{1.5} N_1\big)$

Pour $N_1$ et $N_2\sp{1.5},$ toutes les notions topologiques sur $E$ sont identiques.

équivalentes sur $E\sp{1.5}.$

Les applications $N_1$ et $N_2$ sont bien définies, car :

• tout
  Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :

  $\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$

  • $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec :  $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
  • pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
  polynôme $P$ n'a qu'un nombre fini de coefficients $a_k$ non nuls ;
• l'image du segment $[\sp{1.5}0,1]$ par la fonction
  Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$
  continue $x\mapsto P(x)$ est un
  L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
  segment.

Soient $\,\lambda\app\bb R,\,$ $P\app\bb R[X]$ et $Q\app\bb R[X]\sp{1.5},$ définis comme suit :

L'application  $\,\smb{1.5}{N_1:P\mapsto \Op{\max}_{k\app\bb N}|a_k|}\,$ est bien une

Un espace vectoriel normé  est  un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'une norme.

Il s'agit d'une application $\,N:x\mapsto\|x\|\sp{1.5},\,$ de $E$ vers $\,\bb R_{+}\,$ et telle que :

• $\,\ptt x\app E,\ \ptt y\app E,\ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|:\,$ inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt x\app E,\ \ptt \lambda\app \bb K,\ \|\lambda\sp{1.5}x\|=|\lambda|\sp{1.5}\|x\|:\,$ homogénéité ;
• $\,\ptt x\app E,\ \big(\|x\|=0\Imp x=0\big):\,$ séparation.

norme, avec :

• l'inégalité triangulaire, qui découle de
  Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

  $\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

  Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
  celle de $\bb R\sp{-1.5}:$
  $\eqalign{&|a_k+b_k|\leq|a_k|+|b_k|\leq N_1(P)+N_1(Q)\sp{1.5}, \txt{d'où :}\\ &\smb0{N_1(P+Q)=\Op{\max}_{k\app\bb N}|a_k+b_k|\leq N_1(P)+N_1(Q)}}$
• l'homogénéité, par
  La valeur absolue de $\,x\app\bb R\,$ est : $\,|x|=\max(x,-x)\sp{1.5};\,$ on a  alors :

  • $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ |x\sp{1.5}y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|\,|y|\,;\,$
  • $\,\ptt(x,y)\app\bb R\times\bb R^{\ast},\ |x/y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|/|y|\,;\,$
  • pour $\,a,r,x\app\bb R:\,$ $\,|x-a|\leq r\Ssi a-r\leq x\leq a+r\sp{1.5}.\,$
  propriété de la valeur absolue :
  $\displaystyle{}(\sp{1.5}\ptt k\app\bb N\sp{1.5},\ |\lambda\sp{1.5}a_k|=|\lambda|\sp{1.5}|a_k|\sp{1.5})\!\Imp\! N_1(\lambda\sp{1.5}P)=|\lambda|\sp{1.5}N_1(P)$
• la séparation, car $P$ est caractérisé par ses coefficients :
  $\displaystyle{}N_1(P)=0\Imp(\sp{1.5}\ptt k\app\bb N,\ a_k=0\sp{1.5})$

L'application $\,\smb{1.5}{N_2:P\mapsto\!\Op{\max}_{x\app\,[0,1]}\!|P(x)|}\,$ est bien une

Un espace vectoriel normé  est  un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'une norme.

Il s'agit d'une application $\,N:x\mapsto\|x\|\sp{1.5},\,$ de $E$ vers $\,\bb R_{+}\,$ et telle que :

• $\,\ptt x\app E,\ \ptt y\app E,\ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|:\,$ inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt x\app E,\ \ptt \lambda\app \bb K,\ \|\lambda\sp{1.5}x\|=|\lambda|\sp{1.5}\|x\|:\,$ homogénéité ;
• $\,\ptt x\app E,\ \big(\|x\|=0\Imp x=0\big):\,$ séparation.

norme, avec :

• L'inégalité triangulaire, qui provient encore de
  Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

  $\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

  Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
  celle de $\bb R\sp{-1.5}:$
  $\eqalign{&\!|P(x)+Q(x)|\leq |P(x)|+|Q(x)|\leq N_2(P)+N_2(Q)\\ &\!\smb0{N_2(P+Q)=\!\Op{\max}_{x\app\,[0,1]}\sp{-1.5}|P(x)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}Q(x)|\leq N_2(P)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}N_2(Q)}}$
• L'homogénéité, car $\,N_2(\lambda\sp{1.5}P)=|\lambda|\sp{1.5}N_2(P)\,$ découle de :
  $\displaystyle{}\ptt x\app\,[0,1],\ |\lambda\sp{1.5}P(x)|=|\lambda|\sp{1.5}|P(x)|$
• La séparation, qui résulte de l'implication :
  $\displaystyle{}N_2(P)=0\Imp(\ptt x\app\,[0,1],\ P(x)=0)$
  En effet, avec une infinité de
  Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet  au plus $\,p\,$ racines.

  Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$
  racines, on a : $\,P=0\,.\,$

L'espace $\,\bb R[X]\,$ n'étant pas de

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

dimension finie, rien ne garantit que les normes $N_1$ et $N_2$ soient

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ sont équivalentes  ssi :

$\displaystyle{}\iex\alpha > 0\sp{1.5},\ \iex\beta > 0\sp{1.5},\ \big(N_1\leq\alpha\sp{1.5} N_2\txt{et}N_2\leq\beta\sp{1.5} N_1\big)$

Pour $N_1$ et $N_2\sp{1.5},$ toutes les notions topologiques sur $E$ sont identiques.

équivalentes.

Pour les polynômes $\,P_n=1+\cdots+X^n\sp{1.5},\,$ la fonction $\,x\mapsto P_n(x)\,$ est

Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :

• croissante  ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
• strictement croissante  ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$

$f$ est de même décroissante ou strictement décroissante avec :

$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$

croissante sur $[\sp{1.5}0,1]\sp{1.5},$ et on a :

Les normes $N_1$ et $N_2$ ne sont donc pas

Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ sont équivalentes  ssi :

$\displaystyle{}\iex\alpha > 0\sp{1.5},\ \iex\beta > 0\sp{1.5},\ \big(N_1\leq\alpha\sp{1.5} N_2\txt{et}N_2\leq\beta\sp{1.5} N_1\big)$

Pour $N_1$ et $N_2\sp{1.5},$ toutes les notions topologiques sur $E$ sont identiques.

équivalentes, car : En effet, avec une telle limite, il n'existe aucun $\,\alpha > 0\,$ tel que :