exercices de mathématiques - prépa et université

La suite $\suit un$ vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5}, u_{n+1}=f(u_n)\sp{1.5},\,$ pour la fonction $\,f:[\sp{1.5}0,+\I[\,\to\bb R\sp{1.5},\,$ définie par :

La fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $f,$ sans pôle sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

continue sur cet intervalle.

Après

L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :

• $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
• $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$

inversion de $\,x\mapsto\dfrac{1+x}2\,$ puis changement de signe, elle s'avère strictement

Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :

• croissante  ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
• strictement croissante  ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$

$f$ est de même décroissante ou strictement décroissante avec :

$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$

croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

Étant donné que :  $\,f(0)=0\,$  et $\,\!\lim x{+\I}\,f(x)=2\sp{1.5},\,$ on obtient donc pour l'ensemble

Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$

Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$,

selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :

• $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
• $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$

image de $\,f:\,$ On a alors : $\,u_0\geq0\,$  et :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \big(u_n\geq0 \Imp u_{n+1}=f(u_n)\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,2\sp{1.5}[\,\subset[\sp{1.5}0,+\I[\big).\,$

Il s'ensuit par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que la suite $\suit un$  est bien définie, et vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ 0\leq u_n < 2\sp{1.5}.\,$

D'autre part, pour tout $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ $\,u_{n+1}-u_n=f(u_n)-f(u_{n-1})\,$ est du signe de $\,u_n-u_{n-1}\sp{1.5},\,$ car $f$ est croissante.

Par récurrence, tous les $\,u_{n+1}-u_n\,$ sont donc du signe de $\,u_1-u_0\sp{1.5},\,$ si bien que la suite $\,\suit un\,$ est

Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

• soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
• soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

$(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.

monotone.

$\,\suit un\,$ étant monotone et bornée, elle

Une suite $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ réelle monotone et bornée  est  convergente :

• $\smb1{\lim n{+\I}u_n=\op{sup}\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}}$ si $\,(u_n)\,$ est croissante ;
• $\lim n{+\I}u_n=\,\op{inf}\,\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}$ si $\,(u_n)\,$ est décroissante.

converge alors vers une limite finie $\,\ell\app\,[\sp{1.5}0,2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Cette limite vérifie alors

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ continue, avec $\,f(I)\subset I\,$ et $(u_n)_{n\geq n_0}$ définie par :

$\displaystyle{}u_{n_0}\app I\txt{et}\ptt n\geq n_0,\ u_{n+1}=f(u_n)$

Si  $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app I,\,$ $\ell$ est un point fixe de $f\!:\sp{1.5}$ $f(\ell)=\ell\sp{1.5}.$

l'équation $\,f(\ell)=\ell\sp{1.5},\,$ du fait de la continuité de $\,f\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\ell=0\txt{ou}\ell=1\sp{1.5},\,$ car :

On peut enfin préciser le sens de variation de la suite $\,\suit un\,$ en remarquant que : Ainsi, pour tout $\,n\app\bb N,\,$ $\,u_{n+1}-u_n\,$ est du signe opposé à $\,u_n-1,\,$ avec $\,f(0)=0\sp{1.5},\,$ $\,f(1)=1\,$ et :

On aboutit aux conclusions suivantes pour ces suite $\suit un:$

• si $\,u_0\app\big\{0,1\big\},\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0,\,$ et la suite $\,\suit un\,$ est constante ;
• si $\,0\!<\!u_0\!<\!1,\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n\!<\!u_{n+1}\!<\!1,\,$ et $\,\suit un\,$ est strictement croissante ;
• si $\,u_0\!>\!1\sp{1.5},\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ 1\!<\!u_{n+1}\!<\!u_n,\,$ et $\,\suit un\,$ est strictement décroissante.

Finalement $\,\suit un\,$ est constante et égale à $\,0\,$ lorsque $\,u_0=0\sp{1.5},\,$ et elle converge vers $\,1\,$ dans tous les autres cas.

Deux suites $\suit un\sp{1.5},$ selon que $\,0\! < \!u_0\! <\!1\,$ ou $\,u_0 \!>\! 1\,$

La suite $\suit un$ vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5}, u_{n+1}=f(u_n)\sp{1.5},\,$ pour la fonction $\,f:[-1/2\sp{1.5},+\I[\,\to\bb R\sp{1.5},\,$ définie par :

Par

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composition de $\,x\mapsto2\sp{1.5}x+1\geq 0\,$ par la

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée, $f$ est continue et strictement croissante sur $\,[-1/2\sp{1.5},+\I[\,.\,$

Avec $\,f(-1/2)=0\,$  et $\,\!\smash[b]{\lim x{+\I}}\,f(x)=+\I\sp{1.5},\,$ on obtient donc pour l'ensemble

Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$

Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$,

selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :

• $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
• $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$

image de $f:$ On a alors : $\,u_0\geq-1/2\,$ et :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \big(\sp{1.5}u_n\geq-1/2 \Imp u_{n+1}=f(u_n)\geq0 > -1/2\sp{1.5}\big)\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que la suite $\suit un$  est bien définie, et vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ u_n \geq 0\sp{1.5}.\,$

La fonction $f$ étant continue, si $\,\suit un\,$ converge vers $\,\ell\geq0\sp{1.5},\,$ elle vérifie

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ continue, avec $\,f(I)\subset I\,$ et $(u_n)_{n\geq n_0}$ définie par :

$\displaystyle{}u_{n_0}\app I\txt{et}\ptt n\geq n_0,\ u_{n+1}=f(u_n)$

Si  $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app I,\,$ $\ell$ est un point fixe de $f\!:\sp{1.5}$ $f(\ell)=\ell\sp{1.5}.$

l'équation $\,f(\ell)=\ell\,:\,$

On étudie alors le comportement lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I\,$ de la suite $\,\big(|u_n-\ell|\big)_{n\app\bb N} :\,$ $\,\big(|u_n-\ell|\big)_{n\app\bb N}\,$ est majorée par une suite géométrique de raison $\,\smb{2}{\dfrac2{1+\sqrt 2}}<1\sp{1.5},\,$ et donc de

Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

• $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
• $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$

limite nulle : Ceci prouve que la suite $\,\suit un\,$

Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$

converge vers $\,\ell=1+\sqrt2\sp{1.5},\,$  quel que soit $\,u_0\geq-1/2\sp{1.5}.\,$

On peut ensuite préciser le sens de

Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

• soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
• soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

$(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.

variation de $\,\suit un\,$ en remarquant que : Ainsi, $\,\sth{1}u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\,$ est du signe opposé à $\,u_n-\ell\,$ lorsque $\,u_n\geq0\sp{1.5},\,$ avec :

La suite $\suit un$ converge donc vers $\,\ell=\sqrt2+1\,$ avec les variations suivantes :

• Si $\,u_0=\ell\sp{1.5},\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ \,u_n=u_0\sp{1.5},\,$  et la suite $\,\suit un\,$ est constante.
• Si $\,u_0\!<\!\ell\sp{1.5},\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ \,u_n < u_{n+1} < \ell\sp{1.5},\,$  et $\,\suit un\,$ est strictement croissante.
  Cela vaut encore lorsque $\, u_0< 0\sp{1.5},\,$ car on a alors : $\,u_0<0\leq u_1\sp{1.5}.\,$
• Si $\,u_0\! >\! \ell\sp{1.5},\,$ on a : $\,\ptt n\app\bb N,\ \,\ell < u_{n+1} < u_n\sp{1.5},\,$  et $\,\suit un\,$ est strictement décroissante.

Deux suites $\suit un\sp{1.5},$ selon que $\,u_0\! <\!\ell\,$ ou $\,u_0\!>\!\ell\,$

La suite $\suit un$ vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5}, u_{n+1}=f(u_n)\sp{1.5},\,$ pour la fonction $\,f:\bb R\to\bb R\sp{1.5},\,$ définie par :

Par

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composition de la valeur

La fonction valeur absolue : $\,x\mapsto|x|\sp{1.5},\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

De plus, elle est paire, et strictement croissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$

absolue par une

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle, puis

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit par $\,x\mapsto x\sp{1.5},\,$ la fonction $f$ est continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

D'autre part, elle est

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que :  $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• $f$ est paire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
• $f$ est impaire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$

impaire et dérivable sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ comme

Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$

• $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$

produit de $\,x\mapsto x\sp{1.5},\,$ par une

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$

exponentielle, avec :

On peut en déduire les

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

variations de $f\sp{1.5},$ et par

Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$

croissances comparées sa limite en $\,+\I:\,$ $\,\!\!\lim x{+\I}\!f(x)=0\sp{1.5}.\,$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-\r&&\r\r-1\ &&0&&1&&\r\r\i+\hl &&&\!1&&&& &&\sl &&\cr&&\dec&&&&\sl f(x)&\r0&& &&\r0\r&& &&\!0\r\sl &&&&&&\dec&&\cr\sl &&&&&&&\r-1}$}$

On en déduit alors l'ensemble

Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$

Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$,

selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :

• $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
• $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$

image de la fonction $f:$  $\,f\big(\bb R\big)=[-1,1\sp{1.5}]\subset \bb R\sp{1.5}.\,$

On a alors : $\,u_0\app\bb R\,$  et :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \big(u_n\app\bb R \Imp u_{n+1}=f(u_n)\app\,[-1,1\sp{1.5}]\subset \bb R\big)\,.\,$

Il s'ensuit par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que la suite $\suit un$  est bien définie, et vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ |u_n| \leq 1\sp{1.5}.\,$

Considérons alors la suite $\,\suit vn\,$ définie par : $\,\ptt n\app\bb N,\ v_n=|u_n|\sp{1.5}.\,$

On a alors :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ 1-v_n\geq 0\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ \,v_{n+1}=v_n\,\e{1-v_n}\geq v_n\sp{1.5}.\,$

La suite $\,(v_n)_{n\app\bb N^{\ast}}\,$ étant

Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

• soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
• soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

$(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.

croissante et majorée par $\,1,\,$ elle

Une suite $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ réelle monotone et bornée  est  convergente :

• $\smb1{\lim n{+\I}u_n=\op{sup}\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}}$ si $\,(u_n)\,$ est croissante ;
• $\lim n{+\I}u_n=\,\op{inf}\,\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}$ si $\,(u_n)\,$ est décroissante.

converge vers une limite finie $\,\ell\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Cette limite vérifie alors

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ continue, avec $\,f(I)\subset I\,$ et $(u_n)_{n\geq n_0}$ définie par :

$\displaystyle{}u_{n_0}\app I\txt{et}\ptt n\geq n_0,\ u_{n+1}=f(u_n)$

Si  $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app I,\,$ $\ell$ est un point fixe de $f\!:\sp{1.5}$ $f(\ell)=\ell\sp{1.5}.$

l'équation $\,|f(\ell)|=\ell\sp{1.5},\,$ du fait de la continuité de $\,|f|\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\ell=0\txt{ou}\ell=1\sp{1.5},\,$ car :

La suite $\,\suit vn\,$ est donc, soit nulle si $\,v_0=|u_0|=0,\,$ soit de limite $\,1\,$ si $\,v_0=|u_0|\neq0.\,$

On distingue alors deux cas quant à la convergence de la suite $\suit un:$

• Lorsque $\,u_0=0\sp{1.5},\,$ $\,\suit un\,$ est constante et de valeur $\,0\sp{1.5}.\,$
• Lorsque $\,u_0\neq0\sp{1.5},\,$ les termes $u_{n+1}$ et $u_n$ sont de signes opposés ; il s'ensuit que :
  • les deux suites $\,(u_{2\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\,$ et $\,(u_{2\sp{1.5}p+1})_{p\app\bb N}\,$ sont convergentes et de limites opposées $\,-1\,$ et $\,1\sp{1.5},\,$
  • et cette conclusion est incompatible avec la
    Soit $(u_{n_p})$ une suite extraite d'une suite numérique $(u_n)\sp{1.5};$  pour $\,\ell\app\bb C\,$ ou $\,\ell=\pm\I\sp{1.5},\,$ on a  alors :

    $\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$
    convergence de $\suit un$ vers une limite unique.
  La suite $\,\suit un\,$ est donc divergente dans le cas général $\,u_0\neq0\sp{1.5}.\,$

Une suite $\suit un\sp{1.5},$ lorsque $\,u_0\neq 0\,$

La suite $\suit un$ vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5}, u_{n+1}=f(u_n)\sp{1.5},\,$ pour la fonction $\,f:\,\,]\sp{1.5}0,+\I[\,\to\bb R\sp{1.5},\,$ définie par :

La fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $f,$ sans pôle sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

continue sur cet intervalle.

Après

L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :

• $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
• $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$

inversion de $\,x\mapsto\dfrac{x^2}4\sp{1.5},\,$ elle s'avère strictement

Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :

• croissante  ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
• strictement croissante  ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$

$f$ est de même décroissante ou strictement décroissante avec :

$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$

décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

Étant donné que : $\,\!\lim x{0^+}f(x)=+\I\,$  et $\,\lim x{+\I}f(x)=1\sp{1.5},\,$ on obtient donc pour l'ensemble

Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$

Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$,

selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :

• $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
• $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$

image de $\,f:\,$

On a alors : $\,u_0 > 0\,$  et :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \big(u_n > 0 \Imp u_{n+1}=f(u_n)\geq1 > 0\big).\,$

Il s'ensuit par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que la suite $\suit un$  est bien définie, et vérifie :  $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ u_n \geq 1\sp{1.5}.\,$

La fonction $f$ est décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ et la composée $\,f\circ f\,$ est

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

croissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,,\,$ d'où :

On en déduit alors par récurrence, que :

• $\,u_{2\sp{1.5}p+2}-u_{2\sp{1.5}p}\,$ est du signe de $\,u_2-u_0\,$ pour tout $\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$
• $\,u_{2\sp{1.5}p+3}-u_{2\sp{1.5}p+1}=f(u_{2\sp{1.5}p+2})-f(u_{2\sp{1.5}p})\,$ est du signe opposé à $\,u_2-u_0\,$ pour tout $\,p\app\bb N\sp{1.5}.\,$

Les suites $\,(u_{2\sp{1.5}p})_{p\app\bb N}\,$ et $\,(u_{2\sp{1.5}p+1})_{p\app\bb N}\,$ sont donc toutes deux

Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone  ssi  elle est :

• soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
• soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$

$(u_n)_{n\geq n_0}$ est strictement monotone, avec des inégalités strictes.

monotones, l'une croissante et l'autre décroissante :

• celle des deux qui est décroissante est minorée par $\,1\,$ pour $\,p\geq 1\,$ et
  Une suite $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ réelle monotone et bornée  est  convergente :

  • $\smb1{\lim n{+\I}u_n=\op{sup}\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}}$ si $\,(u_n)\,$ est croissante ;
  • $\lim n{+\I}u_n=\,\op{inf}\,\ens{u_n\!}{\!n\geq n_0}$ si $\,(u_n)\,$ est décroissante.
  converge donc vers un $\,\alpha\geq1\sp{1.5};\,$
• l'autre est alors croissante et
  Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$

  Alors,  pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ et pour tout $\,\ell\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}:\,$

  $\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}x_n=a\,\txt{et}\lim xa f(x)=\ell\ \big)\Imp\lim n{+\I}f(x_n)=\ell$
  converge vers $\,\beta=f(\alpha)\,$ en tant qu'image par $f$ de la première suite.

La composée $\,f\circ f\,$ étant continue, $\,\alpha\,$ et $\,\beta\,$ sont des points

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ continue, avec $\,f(I)\subset I\,$ et $(u_n)_{n\geq n_0}$ définie par :

$\displaystyle{}u_{n_0}\app I\txt{et}\ptt n\geq n_0,\ u_{n+1}=f(u_n)$

Si  $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app I,\,$ $\ell$ est un point fixe de $f\!:\sp{1.5}$ $f(\ell)=\ell\sp{1.5}.$

fixes de $\,f\circ f\,$ qu'il s'agit de déterminer. On remarque d'abord que $\,\sth{2}f(2)=2\sp{1.5},\,$ et donc que $\,2\,$ est un point fixe de $\,f\circ f\,$ car :

On sait alors que $\,P(2)=0\sp{1.5},\,$ et on

Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est  un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$

$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi  $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$

factorise $\,P(x)\,$ par $\,(x-2)\,$ tant que c'est possible :

$\,2\,$ est ainsi une racine

La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$  est  le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$

Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.

triple de $\,P,\,$ et c'est le seul point fixe de $\,f\circ f\,$ car :

On en déduit que $\,\alpha=\beta=2\sp{1.5},\,$ ce qui implique que la suite $\,\suit un\,$

Soient $\suit un$ une suite numérique ;  pour $\,\ell\app\bb C\,$ ou $\,\ell=\pm\I\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim p{+\I}\!u_{2\sp{1.5}p}=\!\!\lim p{+\I}\!u_{2\sp{1.5}p+1}=\ell\Imp\!\!\lim n{+\I}\!u_n=\ell$

converge vers $\,2:\,$

$\,\suit un\,$ est donc constante lorsque $\,u_0=2\sp{1.5},\,$ et elle converge vers $\,\ell=2\,$ dans tous les cas.

Une suite $\suit un\sp{1.5},$ lorsque $\,u_0\neq 0\,$