exercices de mathématiques - prépa et université

Montrons par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que $\suit un$ est une suite bien définie de réels positifs :

• Le réel $\,u_0=0\geq 0\,$ est bien défini ;
• si $\,u_n\geq 0\,$ est défini pour $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ alors avec $\,2\sp{1.5}u_n^2+1\geq1\sp{1.5},\,$ $\,u_{n+1}=\sqrt{\smh{0.35}{2\sp{1.5}\smb0{u_n^2}+1}}\geq 0\,$ est aussi défini.

Le réel $u_n\geq 0$ étant alors défini pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ la suite $\,(u_n)_{n\app\bb N}\,$ est bien une suite de réels positifs.

Considérons alors la suite $\suit vn$ définie par : $\,v_n=u_n^2\,;\,$ elle est telle que $\,v_0=0\,$ et : Il s'agit donc d'une

$(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite arithmético-géométrique  ssi  il existe $(a,b)\app\bb K^2$ tel que :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=a\,u_n+b$

suite arithmético-géométrique.

Une solution constante $\,c\app\bb R\,$ de cette relation de récurrence est donnée par $\,c=2\sp{1.5}c+1\sp{1.5},\,$ soit :  $\,c=-1\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit alors que la suite $\suit wn$ définie par : $\,w_n=v_n-c=v_n +1\,$ vérifie $\,w_0=1\,$ et :

Cette suite $\suit wn$ est donc une suite

Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite géométrique de raison $q\app\bb K^{\ast},$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=q\,u_n$

Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite $(u_n)_{n\app\bb N}:$  $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0\,q^n.\,$

géométrique de raison $\,2\,;\,$ on en déduit $w_n$ et $v_n$  pour tout $\,n\app\bb N:\,$

Avec une

La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$

$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$  et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$  sont réciproques l'une de l'autre.

On a  alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et :  $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$

racine carrée, on obtient finalement l'expression explicite de $\,u_n=\sqrt{\smb{0}{v_n}}\,$ en fonction de $\,n:\,$

Montrons par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence que $\suit un$ est une suite bien définie d'entiers relatifs :

• $\,u_0=1\,$ est bien un entier relatif ;
• si $\,u_n\,$ est un entier relatif pour $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ alors $\,u_{n+1}=(n+1)(-2\sp{1.5}u_n+n\sp{1.5}!\sp{1.5})\,$ est aussi un entier relatif.

L'entier $u_n$ étant alors défini pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ la suite d'entiers $\,(u_n)_{n\app\bb N}\,$ est bien définie.

Considérons alors la suite $\suit vn$ définie par :  $\,v_n=\dfrac{u_n}{n\sp{1.5}!}\,;\,$ elle est telle que $\,v_0=1\,$ et pour tout $\,n\app\bb N:\,$ Il s'agit donc d'une

$(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite arithmético-géométrique  ssi  il existe $(a,b)\app\bb K^2$ tel que :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=a\,u_n+b$

suite arithmético-géométrique.

Une solution constante $\,c\app\bb R\,$ de cette relation de récurrence est donnée par $\,c=-2\sp{1.5}c+1,\,$ soit $\,c=\dfrac13\!\cdot\,$

Il s'ensuit alors que la suite $\,(w_n)_{n\app\bb N}\,$ définie par : $\,w_n=v_n-c=v_n -1\sp{-1.5}/3\,\,$ vérifie $\,w_0=2/3\,$ et : Cette suite $\suit wn$ est donc une suite

Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite géométrique de raison $q\app\bb K^{\ast},$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=q\,u_n$

Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite $(u_n)_{n\app\bb N}:$  $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0\,q^n.\,$

géométrique de raison $\,-2\,;\,$ on en déduit $w_n$ et $v_n$  pour tout $\,n\app\bb N:\,$

On obtient finalement l'expression explicite de  $\,u_n=n\sp{1.5}!\,v_n\,$ en fonction de $\,n\,\,$:

Montrons par une

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$ soient vraies,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big((P(n)\txt{et}P(n+1))\!\Imp\! P(n+2)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence double que $\suit un$ est une suite bien définie de réels strictement positifs :

• $\,u_0=1\,$ et $\,u_1=2\,$ sont des réels strictement positifs ;
• si on a $\,u_n >0\,$ et $\,u_{n+1} >0\,$ pour $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ alors avec $\,u_{n+1}\,u_n\sp{-1.5}>\sp{-1.5} 0\sp{1.5},\,$ on a bien : $\,u_{n+2}=\sqrt{\smb{0}{u_{n+1}\,u_n}} > 0\sp{1.5}.\,$

Le réel $u_n >0$ étant alors défini pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ la suite des réels strictement positifs $\suit un$ est bien définie.

Considérons alors la suite $\suit vn$ définie par : $\,v_n=\ln u_n\,;\,$ par propriété du

Le logarithme est un morphisme de $\,(\bb R_+^{\ast}\sp{1.5},\times)\,$ vers $\,(\bb R\sp{1.5},+)\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\ptt x,\,y >0\sp{1.5},\ \ln(x\sp{1.5}y)=\ln x+\ln y\txt{et}\ln(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}y)=\ln x-\ln y$

On a de plus : $\,\ln 1=0\,$  et  $\,\ptt x >0\sp{1.5},\,\ptt \alpha\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x\,.\,$

logarithme, elle vérifie pour tout $\,n\app\bb N:\,$ $\,(v_n)_{n\app\bb N}\,$ est donc une suite

Soit pour $\,(a,b)\app\bb K^2,\,$ la relation de récurrence linéaire homogène :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+2}=a\,u_{n+1}+b\sp{1.5}u_n$

Selon les racines $\,\alpha,\sp{1.5}\beta\,$ du polynôme caractéristique $\,X^2-a\sp{1.5}X-b\sp{1.5},\,$ les suites vérifiant cette relation sont définies par :

• $\,\ u_n=K\sp{1.5}\alpha^{\sp{1.5}n}+L\sp{1.5}\beta^{\sp{1.5}\sp{1.5}n}\,$ pour $\,(K,L)\app\bb K^2,\,$ lorsque $\,\alpha\neq\beta\,;\,$
• $\,u_n=(K\sp{1.5}n+L)\sp{1.5}\alpha^{\sp{1.5}n},\,$ pour $\,(K,L)\app\bb K^2,\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\,;\,$
• $\,u_n=\rho^{\sp{1.5}n}\big(K\sp{1.5}\cos(n\sp{1.5}\omega)+L\,\sin(n\sp{1.5}\omega)\big),\,$ pour $\,(K,L)\app\bb R^2,\,$ lorsque $\,\bb K=\bb R\,$ et $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\,$ avec $\,\omega\neq0\sp{1.5}.\,$

récurrente linéaire homogène d'ordre $\,2\,$ à coefficients constants, de polynôme caractéristique :

La suite $\,(v_n)_{n\app \bb N}\,$ vérifie donc une relation de la forme suivante, pour $\,(K,L)\app\bb R^2\,\,$: Le couple $\,(K,L)\,$ s'obtient alors par la résolution d'un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire :

Avec

La fonction logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle :

$\displaystyle{}\ln:\ ]\sp{1.5}0,+\I[\,\To \bb R$

On a alors : $\,\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(\e{\sp{1.5}x})=x\,$  et  $\,\ptt y >0\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}\ln y}=y\,.\,$

l'exponentielle, on obtient finalement l'expression de $\,u_n=\e{v_n}\,$ en posant  $\,A=\e{\sp{1.5}(2\ln 2)/3}=2^{\sp{1.5}2/3}=\sqrt[3]4:\,$

La relation caractérisant $\sc S_c$ est une relation de

Soit pour $\,(a,b)\app\bb K^2,\,$ la relation de récurrence linéaire homogène :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+2}=a\,u_{n+1}+b\sp{1.5}u_n$

Selon les racines $\,\alpha,\sp{1.5}\beta\,$ du polynôme caractéristique $\,X^2-a\sp{1.5}X-b\sp{1.5},\,$ les suites vérifiant cette relation sont définies par :

• $\,\ u_n=K\sp{1.5}\alpha^{\sp{1.5}n}+L\sp{1.5}\beta^{\sp{1.5}\sp{1.5}n}\,$ pour $\,(K,L)\app\bb K^2,\,$ lorsque $\,\alpha\neq\beta\,;\,$
• $\,u_n=(K\sp{1.5}n+L)\sp{1.5}\alpha^{\sp{1.5}n},\,$ pour $\,(K,L)\app\bb K^2,\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\,;\,$
• $\,u_n=\rho^{\sp{1.5}n}\big(K\sp{1.5}\cos(n\sp{1.5}\omega)+L\,\sin(n\sp{1.5}\omega)\big),\,$ pour $\,(K,L)\app\bb R^2,\,$ lorsque $\,\bb K=\bb R\,$ et $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\,$ avec $\,\omega\neq0\sp{1.5}.\,$

récurrence linéaire d'ordre $\,2\sp{1.5},\,$ mais elle n'est pas homogène lorsque $\,c\neq0\sp{1.5}.\,$

Cependant, étant donnée la suite $\suit vn$ définie par $\,v_n=u_{n+1}-u_n\sp{1.5},\,$ cette relation peut s'écrire :

Ainsi, $\suit un$ appartient à $\sc S_c$ si et seulement si $\suit vn$ est une suite

Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite arithmétique de raison $r\app\bb K$  ssi :

$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=u_n+r$

Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite :  $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0+n\sp{1.5}r\,.\,$

arithmétique de raison $\,c\sp{1.5},\,$ soit :

On peut alors déterminer une expression de $u_n$ au moyen d'un

Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :

$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$

On a  alors :  $\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$

télescopage, et avec une

La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels  est :

$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$

somme d'entiers consécutifs : En posant $\,A=u_1-u_0-\smb{1.5}{\dfrac c2}\,$ et $\,B=u_0\sp{1.5},\,$ on obtient l'expression générale de $\,u_n\,$ pour les suites appartenant à $\sc S_c:$

Réciproquement, la suite $\suit vn$ associée à une telle suite est bien une suite arithmétique puisque :

Comme on l'a montré précédemment, cette condition nous garantit qu'une telle suite $\suit un$ appartient bien à $\sc S_c\,.$