Sujet E.1.2 Suites adjacentes
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Exercice a
Soient les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ définies pour $\,n\geq1\,$ par :
$\displaystyle{}u_n=\smh{1}{\smb{1.5}{ \sum_{k=0}^{n}\frac1{k\sp{1.5}!}}}\,\txt{et}\,v_n=u_n+\frac1{n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}$
Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
En déduire une formule d'approximation de : $\,S=\smh{1.5}{\dsum_{n=0}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}!}}\!\cdot\,$
suites réelles monotones
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
suites réelles adjacentes
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
convergence des suites réelles adjacentes
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
indication
Simplifier l'expression de $\,v_n-v_{n-1}\,$ lorsque $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ afin de prouver la décroissance de $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5}.\,$
réponse
Les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont bien adjacentes.
$\,(u_n)_{n\geq1}\,$ converge vers : $\,S=\dsum_{n=0}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}!}=\e{}\sp{1.5},\,$ avec : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision $\,\eps=\dfrac1{n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}\!\cdot\,$
correction
Avec : $\,\ptt n\geq2,\ u_n-u_{n-1}=\dfrac1{n\sp{1.5}!}\geq0\sp{1.5},\,$ la suite $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
croissante.
Pour étudier les variations de la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5},\,$ on simplifie $\,v_n-v_{n-1}\,$ pour tout $\,n\geq2:\,$
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{v_n-v_{n-1}&=u_n-u_{n-1}+\Big(\frac1{n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}-\frac1{(n-1)\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}!}\Big)\\[-.5ex]
&=\frac1{n\sp{1.5}!}+\frac1{n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}-\frac1{(n-1)\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}!}\\ &=\frac{n+1}{n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}-\frac1{(n-1)\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}!}\\
&=\frac{(n+1)\sp{1.5}(n-1)-n^2}{n\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}!}=-\frac1{n\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}!}\leq0}$
Avec : $\,\ptt n\geq2\sp{1.5},\ v_{n-1}\geq v_n\sp{1.5},\,$ on a ainsi établi que la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
décroissante.
Étant donnée la
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
Soient $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ deux suites réelles.
Si on a $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\,$ à partir d'un certain rang, alors :
limite :
$\,n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!\geq n\ \,\tend n{+\I}+\I\sp{1.5},\,$ on a par
- $\,\lim n{+\I} u_n =+\I\ \Imp \lim n{+\I} v_n =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim n{+\I} v_n =-\I\ \Imp \lim n{+\I} u_n =-\I\sp{1.5}.\,$
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
inversion :
$\,v_n-u_n=\dfrac1{n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}\ \tend n{+\I}\,0\sp{1.5}.\,$
On a ainsi démontré que les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
adjacentes.
Il s'ensuit que ces deux suites
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
convergent
vers la même limite finie : $\,S=\!\!\lim n{+\I}\!\!u_n=\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}!}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
Si on connaît les séries entières, on reconnaît la valeur de
Avec $\,u_n\leq S\leq v_n\sp{1.5},\,$ on peut en déduire l'approximation : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision : $\,\eps=v_n-u_n=\dfrac1{n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}\!\cdot\,$
L'exponentielle est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
l'exponentielle
$\,\e x\,$ en $\,x=1,\,$ soit : $\,S=\e{}\sp{1.5}.\,$ $\displaystyle{}\ptt z\app\bb C\sp{1.5},\ \,\e{z}=\sum_{n=0}^{+\I}\frac{z^n}{n\sp{1.5}!}$
On peut être un peu plus précis avec :
$\,\Big|S-\dfrac{u_n+v_n}2\Big|\leq\dfrac{v_n-u_n}2\sp{1.5},\,$
d'où : $\,S\simeq u_n+\dfrac1{2\sp{1.5}n\sp{1.5}.n\sp{1.5}!}\,,\,$ à la précision $\,\dfrac\eps2=\dfrac1{2\,n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}\!\cdot\,$
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Exercice b
Soient les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ définies pour $\,n\geq1\,$ par :
$\displaystyle{}u_n=\smh{1}{\smb{1.5}{\sum_{k=1}^n\frac1{k\sqrt k}}}\,\txt{et}\, v_n=u_n+\frac2{\sqrt n}$
Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
En déduire une formule d'approximation de : $\,S=\smh{1.5}{\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}\sqrt n}}\!\cdot\,$
suites réelles monotones
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
suites réelles adjacentes
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
convergence des suites réelles adjacentes
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
indication
Simplifier l'expression de $\,v_n-v_{n-1}\,$ lorsque $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ afin de prouver la décroissance de $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5}.\,$
réponse
Les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont bien adjacentes.
$\,(u_n)_{n\geq1}\,$ converge vers : $\,S=\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}\sqrt n}\sp{1.5},\,$ avec : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision $\,\eps=\dfrac2{\sqrt n}\cdot\,$
correction
Avec : $\,\ptt n\geq2,\ u_n-u_{n-1}=\dfrac1{n\sp{1.5}\sqrt n}\geq0\sp{1.5},\,$ la suite $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
croissante.
Pour étudier les variations de la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5},\,$ on simplifie $\,v_n-v_{n-1}\,$ pour tout $\,n\geq2:\,$
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{v_n-v_{n-1}&=u_n-u_{n-1}+\Big(\frac2{\sqrt n}-\frac2{\sqrt{n-1}}\Big)\\[-.5ex]
&=\frac1{n\sp{1.5}\sqrt n}+\frac2{\sqrt n}-\frac2{\sqrt{n-1}}\\ &=\frac{2\sp{1.5}n+1}{n\sp{1.5}\sqrt n}-\frac2{\sqrt{n-1}}\\
&=\frac{(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}\sqrt{n-1}-2\sp{1.5}n\sp{1.5}\sqrt n}{n\sp{1.5}\sqrt n\sp{1.5}\sqrt{n-1}}}$
Par croissance sur $\,\bb R_+\,$ de la fonction
Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :
carré
et de sa réciproque, la
- continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
- continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée, on a les équivalences :
$\eqalign{v_n-v_{n-1}\leq0&\Ssi(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}\sqrt{n-1}\leq2\sp{1.5}n\sp{1.5}\sqrt n\\
&\Ssi(2\sp{1.5}n+1)^2\sp{1.5}(n-1)\leq4\sp{1.5}n^3\\ &\Ssi\big(4\sp{1.5}n^2+4\sp{1.5}n+1\big)\sp{1.5}(n-1)-4\sp{1.5}n^3\leq0\\
&\Ssi -3\sp{1.5}n-1\leq0}$
Avec : $\,\ptt n\geq2\sp{1.5},\ v_{n-1}\geq v_n\sp{1.5},\,$ on a ainsi établi que la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
décroissante.
Enfin, par
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
inversion
de la limite de la
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :
racine :
$\,\sqrt n\ \tend n{+\I}+\I\sp{1.5},\,$ on a : $\,v_n-u_n=\dfrac2{\sqrt n}\ \tend n{+\I}\,0\sp{1.5}.\,$
On a ainsi démontré que les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont
$\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
adjacentes.
Il s'ensuit que ces deux suites
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
convergent
vers la même limite finie : $\,S=\!\!\lim n{+\I}\!\!u_n=\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}\sqrt n}\!\cdot\,$
Avec $\,u_n\leq S\leq v_n\sp{1.5},\,$
on peut en déduire l'approximation : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision : $\,\eps=v_n-u_n=\dfrac2{\sqrt n}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
On peut être un peu plus précis avec :
$\,\Big|S-\dfrac{u_n+v_n}2\Big|\leq\dfrac{v_n-u_n}2\sp{1.5},\,$
d'où : $\,S\simeq u_n+\dfrac1{\sqrt n}\,$ à la précision $\,\dfrac\eps2=\dfrac1{\sqrt n}\!\cdot\,$
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Exercice c
Soient, pour un entier $\,p\geq2\,$ fixé, les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ définies pour tout $\,n\geq1\,$ par :
$\displaystyle{}u_n=\sum_{k=1}^n\frac1{ k^{\sp{1.5}p}}\,\txt{et}\,v_n=u_n+\frac1{(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}$
Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
En déduire une formule d'approximation de : $\,S=\smh{1.5}{\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n^p}}\!\cdot\,$
suites réelles monotones
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
suites réelles adjacentes
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
convergence des suites réelles adjacentes
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
indication
1
Simplifier l'expression de $\,v_n-v_{n-1}\,$ pour prouver la décroissance de $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser la factorisation de $\,a^p-b^p\,$ avec $\,(a,b)=(n,n-1)\,$ pour établir que : $\,v_n-v_{n-1}\leq0\sp{1.5}.\,$
réponse
Les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont bien adjacentes.
$\,(u_n)_{n\geq1}\,$ converge vers : $\,S=\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n^p}\sp{1.5},\,$ avec : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision $\,\eps=\dfrac1{(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}\!\cdot\,$
correction
Avec : $\,\ptt n\geq2,\ u_n-u_{n-1}=\dfrac1{n^{\sp{1.5}p}}\geq0,\,$ la suite $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
croissante.
Pour étudier les variations de la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\sp{1.5},\,$ on simplifie $\,v_n-v_{n-1}\,$ pour tout $\,n\geq2:\,$
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{v_n-v_{n-1}&=u_n-u_{n-1}+\frac1{p-1}\bigg(\frac1{n^{p-1}}-\frac1{(n-1)^{p-1}}\bigg)\\
&=\frac1{n^{\sp{1.5}p}}+\frac{(n-1)^{p-1}-n^{p-1}}{(p-1)\,n^{p-1}\sp{1.5}(n-1)^{p-1}}\\ &=\frac{(p-1)\sp{1.5}(n-1)^{p-1}+n\sp{1.5}(n-1)^{p-1}-n^{p}}{(p-1)\,n^{p}\sp{1.5}(n-1)^{p-1}}\\
&=\frac{(p+n-1)\sp{1.5}(n-1)^{p-1}-n^{p}}{(p-1)\,n^{p}\sp{1.5}(n-1)^{p-1}}\\
&=\frac{p\sp{1.5}(n-1)^{p-1}-\big(n^p-(n-1)^p\big)}{(p-1)\,n^{p}\sp{1.5}(n-1)^{p-1}}}$
On a alors selon la formule de
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :
Bernoulli :
$\,n^p-(n-1)^p=\dsum_{k=0}^{p-1}n^k(n-1)^{p-1-k},\,$ dont on déduit :
$\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
$\displaystyle{}p\,(n-1)^{p-1}=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^{p-1}}(n-1)^k(n-1)^{p-1-k}\leq n^p-(n-1)^p$
Avec : $\,\ptt n\geq2\sp{1.5},\ v_{n-1}\geq v_n\sp{1.5},\,$ on a ainsi établi que la suite $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
décroissante.
Étant donnée la
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\alpha\app\bb R\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}\stb1\,$ vérifie :
limite :
$\,n^{p-1}\,\tend n{+\I}+\I\sp{1.5},\,$ on a par
$\displaystyle{}\big((1+x)^\alpha-1\big)\smb{1.5}{\eq x0}\,\alpha\sp{1.5}x\,,\txt{ainsi que :}$
- $\,\smb{.5}{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\ \,$ et $\,{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=+\I\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha > 0\,;\,$
- $\,\smb{1.5}{\lim x{0^+}}\,x^\alpha=+\I\ \,$ et $\,\smb1{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha < 0\,.\,$
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
inversion :
$\,v_n-u_n=\dfrac1{(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}\ \tend n{+\I}0\sp{1.5}.\,$
On a ainsi démontré que les suites $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq1}\,$ sont
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
Deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ sont adjacentes ssi :
adjacentes.
Il s'ensuit que ces deux suites
- $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ est croissante et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ est décroissante ;
- la différence $\,(v_n-u_n)\,$ tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\to+\I\sp{1.5}.\,$
Soient deux suites réelles $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ adjacentes. Alors elles convergent vers une même limite $\,\ell\app\bb R,\,$ telle que :
convergent
vers la même limite finie : $\,S=\!\!\lim n{+\I}\!\!u_n=\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n^p}\!\cdot\,$
Avec $\,u_n\leq S\leq v_n\sp{1.5},\,$ on peut en déduire l'approximation : $\,S\simeq u_n\,$ à la précision : $\,\eps=v_n-u_n=\dfrac1{(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \ u_n\leq\ell\leq v_n$
Plus précisément :
$\,\Big|S-\dfrac{u_n+v_n}2\Big|\leq\dfrac{v_n-u_n}2\sp{1.5},\,$
d'où : $\,S\simeq u_n+\dfrac1{2\sp{1.5}(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}\,$ à la précision $\,\dfrac\eps2=\dfrac1{2\sp{1.5}(p-1)\sp{1.5}n^{p-1}}\!\cdot\,$