exercices de mathématiques - prépa et université

$\,\suit un\,$ et $\,\suit vn\,$ étant à termes positifs, on a par

Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.

inégalité triangulaire : En

L'ordre sur $\bb R$  est  compatible avec le produit par un réel  positif :

• $\,(\sp{1.5}a\leq b\ \txt{et}\ c\geq 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c\leq b\sp{1.5}c \,;\,$
• $\, (\sp{1.5}a < b\ \txt{et}\ c > 0\sp{1.5})\Imp a\sp{1.5}c < b\sp{1.5}c\,.\,$

multipliant cette inégalité par $\,|u_n-v_n|\sp{1.5},\,$ on obtient alors par

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$

identité remarquable :

On en déduit, par

Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$

majoration :

Pour toute suite réelle $\,\suit wn\sp{1.5},\,$ la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée étant continue en $\,0\sp{1.5},\,$ on a par propriété

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$

Alors,  pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ et pour tout $\,\ell\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}:\,$

$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}x_n=a\,\txt{et}\lim xa f(x)=\ell\ \big)\Imp\lim n{+\I}f(x_n)=\ell$

séquentielle :

Cette propriété, appliquée à $\,w_n=u_n-v_n\,,\,$ nous donne finalement l'implication demandée :

Pour étudier sa réciproque, on considère maintenant la suite à termes positifs $\,\suit un\,$ définie par :

Avec la suite $\,\suit vn\,$ définie par : $\,\ptt n\app\bb N,\ v_n=n\sp{1.5},\,$ on a alors pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}\,$:

On obtient alors par

Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$  alors :

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$

sauf  pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\sp{1.5},\,$ $\,0/0\sp{1.5}.\,$

opérations usuelles les limites suivantes :

Ce contre-exemple nous prouve que la réciproque de l'implication proposée est fausse :

Par

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$

identité remarquable, on peut écrire $\,\big(u_n^2+u_n\sp{1.5}v_n+v_n^2\big)\,$ comme une somme de deux carrés :

Ces deux derniers carrés étant positifs, on en déduit les majorations suivantes :

Par

Soient $\,(u_n)\sp{1.5},\,$ $\,(v_n)\sp{1.5},\,$ $\,(w_n)\,$ des suites réelles et $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$

Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\leq w_n\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}\!u_n =\!\!\lim n{+\I}\!w_n =\ell\ \big) \Imp \lim n{+\I}\!v_n =\ell$

encadrement,  il s'ensuit que la condition : $\,\lim n{+\I}\!\big(\sp{1.5}u_n^2+u_n\sp{1.5}v_n+v_n^2\,\big)=0\sp{1.5},\,$ implique que :

Pour toute suite réelle $\,\suit wn\sp{1.5},\,$ la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée étant continue en $\,0\sp{1.5},\,$ on a par propriété

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$

Alors,  pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ et pour tout $\,\ell\app\smh0{\surl{\sp{1.5}\bb R}}:\,$

$\displaystyle{}\big(\,\lim n{+\I}x_n=a\,\txt{et}\lim xa f(x)=\ell\ \big)\Imp\lim n{+\I}f(x_n)=\ell$

séquentielle :

Cette propriété, appliquée à :  $\,w_n=v_n\,,\,$ puis à :  $\,w_n=u_n+\dfrac{v_n}2\,,\,$ nous donne finalement :

Avec des suites $\,\suit un\,$ et $\,\suit vn\,$ complexes, les encadrements ne peuvent être écrits qu'en module.

La décomposition de $\,\big(u_n^2+u_n\sp{1.5}v_n+v_n^2\big)\,$ ne conduit alors qu'à

Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$

Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi :

$\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$

l'inégalité triangulaire : On ne peut alors pas majorer $\,\dfrac34\,|v_n|^2\,$ ni $\,\Big|u_n+\dfrac{v_n}2\Big|^{2}\,$ par $\,\big|u_n^2+u_n\sp{1.5}v_n+v_n^2\big|\,,\,$ comme on l'a fait avec des suites réelles.

Considérons les suites constantes complexes $\,\sth{1}\suit un\,$ et $\,\suit vn\,$ ainsi définies :

Le nombre $\,j\,$ étant une

Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$

Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a  alors :

$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$

racine cubique de l'unité, on a la relation : $\,1+j+j^2=0\sp{1.5},\,$ si bien que :

• d'une part :  $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ u_n^2+u_n\sp{1.5}v_n+v_n^2=1+j+j^2=0\sp{1.5},\,$
• d'autre part : $\,\lim n{+\I}u_n=1\neq 0\ \,$ et $\,\lim n{+\I}v_n=j\neq0\sp{1.5}.\,$

Ces deux suites complexes constituent donc un contre-exemple de l'implication proposée.

On sait que $\,\lim n{+\I}|u_n|^{1/n}=\ell\sp{1.5};\,$ par définition de la

Une suite numérique $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\ \ptt n\app \bb N,\ \big(n\geq N\Imp |u_n-\ell| \leq \eps\big)$

La limite $\,\ell\,$ est  unique ; on écrit : $\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$  ou  $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$

convergence,  pour tout $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ il existe donc un $\,N\app\bb N\,$ tel que :

• Lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ on pose : $\,\eps=\smb{1}{\dfrac{1-\ell}2} > 0\sp{1.5},\,$  et on obtient par
  Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

  $\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$

  Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
  inégalité triangulaire :
  $\eqalign{n\geq N&\Imp |u_n|^{1/n}\,\leq\ \ell +\big||u_n|^{1/n}-\ell\sp{1.5}\big|\\ \txt{d'où :}n\geq N&\Imp |u_n|^{1/n}\,\leq\ \smh{1}{\ell +\eps=\frac{1+\ell}2}}$
  Par
  Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :

  • continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
  • continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$

  De plus, elle sont paire ou impaire sur $\,\bb R\,$ ou $\,\bb R^{\ast}\!\,$ selon la parité de $\,k\sp{1.5}.\,$
  croissance de la fonction $\,x\mapsto x^n\,$ sur $\,\bb R^+\sp{1.5},\,$ on en déduit :
  $\displaystyle{}n\geq N\Imp 0\leq |u_n|\leq\smh{0.5}{\Big(\frac{1+\ell}2\Big)^{\!n}}$
  Avec $\,q=\smh{0.5}{\dfrac{1+\ell}2} < 1\sp{1.5},\,$ la suite $\,(|u_n|)_{n\app\bb N}\,$ est donc majorée pour $\,n\geq N\,$ par la suite $\,(q^n)_{n\app\bb N}\sp{1.5}.\,$
  Cette suite géométrique étant de
  Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente  ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$

  • $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
  • $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$

  Lorsque $\,q\app\bb R\,$ avec $\,q > 1\sp{1.5},\,$ alors  au contraire : $\lim n{+\I}q^n=+\I\sp{1.5}.$
  limite nulle, on a alors par
  Soient $(u_n)$ une suite numérique, $(v_n)$ une suite réelle et $\,\ell\app \bb K\sp{1.5}.\,$

  Si  on a,  à partir d'un certain rang $N:$ $\,\big|\sp{1.5}u_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq v_n\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}\lim n{+\I} v_n=0\Imp \lim n{+\I} u_n=\ell$
  majoration : $\,\!\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$

• Lorsque $\,\ell > 1\sp{1.5},\,$ on a $\,u_n > 0\,$ à partir d'un certain rang $\,n_0\,$ et on pose : $\,v_n=1/u_n\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5}.\,$
  On a alors : $\,\lim n{+\I}|v_n|^{1/n}=1/\ell < 1\sp{1.5},\,$ et donc d'après le cas précédent : $\,\lim n{+\I}|v_n|=0^+.\,$
  Il s'ensuit que : $\,\sth{.5}\lim n{+\I}|u_n|=+\I\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve que la suite $\,\suit un\,$ est divergente.

• Lorsque $\,\ell=1\sp{1.5},\,$ on pose :  $\,u_n=(1+\alpha_n)^n,\,$ pour une suite $\,\suit\alpha n\,$ telle que $\,\alpha_n >-1\ \,$ et $\,\!\!\lim n{+\I}\alpha_n=0\sp{1.5}.\,$
  On a ainsi : $\,\lim n{+\I}|u_n|^{1/n}=1\sp{1.5},\,$ ainsi que
  La fonction logarithme vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
  l'équivalent :  $\,\ln u_n=\,$$\,\!n\sp{1.5}\ln(1+\alpha_n)\eq n{+\I}n\,\alpha_n\,.\,$
  En utilisant la
  Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

  • continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
  • continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
  continuité et les
  La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
  limites de l'exponentielle, on en déduit selon les cas, la limite de la suite $\,\suit un:\,$
  • pour $\,\alpha_n={\ln \lambda}/n\sp{1.5},\,$ avec $\,\lambda > 0\,\,$ et $\,n > -\ln\lambda\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,\lim n{+\I}\ln u_n=\ln\lambda\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\lim n{+\I}u_n=\lambda\,;\,$
  • pour $\,\alpha_n=-1/{\sqrt n}\,,\,\,$ on a alors : $\,\lim n{+\I}\ln u_n=-\I\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\lim n{+\I}u_n=0\,;\,$
  • pour $\,\alpha_n=1/{\sqrt n}\,,\,\,$ on a alors : $\,\lim n{+\I}\ln u_n=+\I\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\lim n{+\I}u_n=+\I\,.\,$
  On ne peut donc rien conclure quant à la limite de la suite $\,\suit un\,$ lorsque $\,\ell=1.\,$

En supposant que : $\,\!\lim n{+\I}u_n=\ell,\,$   on doit montrer que : $\,\!\lim n{+\I}v_n=\ell\,,\,$ soit par

Une suite numérique $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\ \ptt n\app \bb N,\ \big(n\geq N\Imp |u_n-\ell| \leq \eps\big)$

La limite $\,\ell\,$ est  unique ; on écrit : $\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$  ou  $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$

définition :

Pour $\,\eps > 0\,$ fixé, il faudra donc majorer $\,|v_n-\ell|\,$ par $\,\eps\,$ à partir d'un certain rang.

On obtient déjà une première majoration de $\,\big|v_n-\ell\sp{1.5}\big|\,$ par

Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a  alors  les inégalités triangulaires :

$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$

Chacune de ces inégalités est une égalité  ssi :

$\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$

inégalité triangulaire :

• Par définition de $\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,,\,$ il existe un rang $\,N_1\,$ tel que :  $\,n\geq N_1\Imp |u_n-\ell| \leq \dfrac\eps2\!\cdot\,$
  En notant $\,S_{N_1}\,$ la somme des $\,\big|u_k-\ell\sp{1.5}\big|\,$ de $\,k=1\,$ à $\,N_1\,$, on a alors :
  $\displaystyle{}\smb{2.5}{\smh{1.5}{\big|v_n-\ell\sp{1.5}\big|\leq\frac1n\sum_{k=1}^n\big|u_k-\ell\sp{1.5}\big|\leq\,\dfrac{S_{N_1}}n+\frac1n\sum_{k=N_1+1}^n\!\frac\eps2}}$
• $\,S_{N_1}\,$ étant fixée, on a $\,\lim n{+\I}\smh{1}{\dfrac{S_{N_1}}n}=0\sp{1.5},\,$ d'où un rang $\,N_2\,$ tel que :  $\,n\geq N_2\Imp \smh{1.5}{\dfrac{S_{N_1}}n} \leq \dfrac\eps2\!\cdot\,$

Finalement, il existe un rang $\,N=\max(N_1,N_2)\app\bb N^{\ast}\,$ tel que :

Selon la

Une suite numérique $(u_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,\ell\app\bb K\,$ ssi :

$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex N\geq n_0\sp{1.5},\ \ptt n\app \bb N,\ \big(n\geq N\Imp |u_n-\ell| \leq \eps\big)$

La limite $\,\ell\,$ est  unique ; on écrit : $\,\lim n{+\I}u_n=\ell\,$  ou  $\,u_n\tend n{+\I} \ell\sp{1.5}.\,$

définition de la limite, on a donc bien démontré l'implication :

Soit une suite $\,(u_n)_{n\geq 1}\,$ divergente dont la suite des sommes $\,s_n=u_1+\cdots+u_n\,$ est bornée : $\,|s_n|\leq M\sp{1.5}.\,$

Une telle suite contredit la réciproque de l'implication proposée car $(u_n)_{n\geq 1}$ est divergente tandis que par

Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$  alors :

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
• $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$  si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$

sauf  pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\sp{1.5},\,$ $\,0/0\sp{1.5}.\,$

quotient :

C'est le cas par exemple avec la suite définie par :  $\,u_n =(-1)^{n+1}\!,\,$ puisqu'on a alors :

Avec $\,\lim p{+\I}u_{2\sp{1.5}p-1}\neq\!\!\lim p{+\I}u_{2\sp{1.5}p}\sp{1.5},\,$ la suite $\,(u_n)_{n\geq 1}\,$ est

Soit $(u_{n_p})$ une suite extraite d'une suite numérique $(u_n)\sp{1.5};$  pour $\,\ell\app\bb C\,$ ou $\,\ell=\pm\I\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\!\!\lim p{+\I}u_{n_p}=\ell$

divergente, et elle vérifie : $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ |s_n|\leq1\sp{1.5}.\,$

Ce contre-exemple, nous prouve donc que la réciproque de l'implication proposée est fausse :