Sujet D.1.7 Étude locale de fonctions
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Exercice a
Utiliser un développement limité pour déterminer la limite, lorsque $\,x\,$ tend vers $\,0\sp{1.5},\,$ de l'expression :
$\displaystyle{}f(x)=\frac1{x^4}\Big(\!\ln\frac{1+x}{1-x}-2\sp{1.5}\tan x\Big)$
formule de Taylor-Young
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
définition de la négligeabilité
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
développement limité et parité des fonctions
Soit une fonction réelle $f$ admettant un développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}f(x)\,\smb{1.5}{\dl x0 \,P(x)} + \o xn$
- si $\,f\,$ est paire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés pairs ;
- si $\,f\,$ est impaire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés impairs.
indication
Écrire un développement limité de cette expression à l'ordre $\,4\,$ en $0\sp{1.5}.$
réponse
On obtient : $\,\lim x0\ \dfrac1{x^4}\Big(\sp{-1.5}\ln\dfrac{1+x}{1-x}-2\sp{1.5}\tan x\Big)=0\sp{1.5}.\,$
correction
Pour $\,x\,$ tendant vers $\,0\sp{1.5},\,$ cette limite se présente sous la
Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$
forme indéterminée
$\,0/0\sp{1.5}.\,$
Compte tenu du facteur ${1/{x^4}},$ on espère y remédier en développant $f(x)$ à l'ordre $\,4\,$ en $\,x=0\sp{1.5}.\,$
Avec le
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
- $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$ si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$
La fonction $\,x\mapsto\ln(x+1)\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
développement
limité de $\,\ln(1+x)\,$ en $\,x=0\sp{1.5},\,$ on obtient d'abord :
$\displaystyle{}\ln(1+x)\ \dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\o xn}$
$\eqalign{\ln(1 + x)&\dl x0 \ x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\o x4\\[-.5ex]
\ln(1- x)&\dl x0 \ -x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\o x4\\
\txt{d'où :}\ln\frac{1+x}{1-x}&\ =\ \,\ln(1 + x)-\ln(1 - x)\\[-2ex]
&\dl x0\ 2\sp{1.5}x+\frac{2\sp{1.5}x^3}3+\o x4}$
On
La fonction tangente a pour développement limité en $\,0\,$ d'ordre $\,4:\,$
développe
ensuite la tangente, toujours à l'ordre $\,4\,$ en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\tan x\dl x0 x+\smh{1.5}{\frac{x^3}3}+\o x4$
$\eqalign{&2\sp{1.5}\tan x\,\dl x0 \ 2\,x+\frac{2\,x^3}3+\o x4\\
\txt{d'où :}&\ln\frac{1+x}{1-x\stb{1}}-2\tan x\,\dl x0 \ \o x4\\
\txt{puis :}&\frac1{x^4}\Big(\!\ln\frac{1+x}{1-x}-2\sp{1.5}\tan x\Big)\,\dl x0\ o(1)}$
On obtient donc finalement, par définition de la relation de
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
négligeabilité :
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
$\displaystyle{}\lim x0\ f(x)=\,\lim x0\ \frac1{x^4}\Big(\!\ln\frac{1+x}{1-x}-2\sp{1.5}\tan x\Big)=0\sp{1.5}.$
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Exercice b
\\(\GREC \OPEL\\)Pour $\,(\a,\b)\in\bb R^2,\,$ on considère l'expression :
$\,f(x)=\dfrac{1+\a\sp{1.5}x^2}{1+\b\sp{1.5}x^2}\!\cdot\,$
Déterminer $\,(\a,\b)\,$ pour que $f(x)$ soit la meilleure approximation possible de $\,\cos x\,$ au voisinage de $0\sp{1.5}.$
formule de Taylor-Young
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
définition de la négligeabilité
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
développement limité et parité des fonctions
Soit une fonction réelle $f$ admettant un développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}f(x)\,\smb{1.5}{\dl x0 \,P(x)} + \o xn$
- si $\,f\,$ est paire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés pairs ;
- si $\,f\,$ est impaire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés impairs.
indication
1
Effectuer un développement limité de $f(x)$ au voisinage de $0$ à un ordre suffisant, puis identifier ce développement au développement correspondant de $\,\cos x\sp{1.5}.\,$
indication
2
Tenir compte de la parité des fonctions et du nombre d'inconnues pour choisir à quel ordre effectuer ces développements limités.
réponse
La meilleure approximation de $\,\cos x\,$ par $\,f(x)=\dfrac{1+\a\sp{1.5}x^2}{1+\b\sp{1.5}x^2}\,$ est obtenue pour $\,(\a,\b)=\Big(\!-\dfrac5{12}\sp{1.5},\dfrac1{12}\Big)\sp{-1.5}:\,$
$\displaystyle{}f(x)=\frac{1-\dfrac5{12}\,x^2}{1+\dfrac1{12}\,x^2}=\frac{12-5\,x^2}{12+x^2}$
correction
Une approximation au voisinage de $0$ est à entendre au sens des développements limités en $\,x=0\sp{1.5}.\,$
Il s'agit donc de faire coïncider à l'ordre le plus élevé possible le développement de $f(x)$ en $0$ avec celui de $\cos x.$
La fonction $\,f:x\mapsto \dfrac{1+\a\sp{1.5}x^2}{1+\b\sp{1.5}x^2}\,$ étant
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que : $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
paire,
ses développements limités en $0$ n'auront que des termes
- $f$ est paire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
- $f$ est impaire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$
Soit une fonction réelle $f$ admettant un développement limité en $\,0:\,$
pairs.
On a $\,f(0)=1=\cos 0\,$ et deux indéterminées dans l'expression de $f(x)\sp{1.5}.$Il faudra donc comparer au moins les termes d'ordre $2$ et $4$ des développements de $f(x)$ et de $\,\cos x\sp{1.5},\,$ pour pouvoir identifier $\a$ et $\b\sp{1.5}.$
On développe donc $f(x)$ à l'ordre $\,4\,$ en commençant par substituer $\,\b\sp{1.5}x^2\,$ à $\,y\,$ dans la formule
$\displaystyle{}f(x)\,\smb{1.5}{\dl x0 \,P(x)} + \o xn$
- si $\,f\,$ est paire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés pairs ;
- si $\,f\,$ est impaire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés impairs.
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
d'inversion
écrite à l'ordre $\,2:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
$\eqalign{\frac1{1-y}\,&\dl y0\ 1+y+y^2+o\big(y^2\big)\\[-.5ex]
\frac1{1+\b\,x^2}&\dl x0\ 1-\b\,x^2+\b^2\,x^4+\o x4}$
On obtient alors le développement limité de $f(x)$ à l'ordre $\,4\,$ par
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
produit
de développements :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
$\eqalign{\frac{1+\a\,x^2}{1+\b\,x^2}&\dl x0\ (1+\a\,x^2)\big(1-\b\,x^2+\b^2\,x^4+\o x4\big)\\[-.5ex]
&\ =\ 1+(\a-\b)\,x^2+\big(\b^2-\a\,\b\big)\,x^4+\o x4}$
On considère d'autre part le
La fonction cosinus a pour développement limité en $\,0:\,$
développement
limité du cosinus :
$\displaystyle{}\cos x\ \dl x0\ 1-\smh{1.75}{\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}}+\o x{2p+1}$
$\displaystyle{}\cos x\,\dl x0\ 1 -\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+\o x4$
La comparaison des deux développements conduit à un système d'équations qui se résout par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{\Bigg\{\eqalign{\a-\b\sp{15}&=\smh0{-\frac12}\\[-.5ex]\, \b\,(\b-\a)&=\smb{1}{\frac1{24}}}
\ &\,\ss{\sc E_2\ot\sc E_2\sp{1.5}+\sp{1.5}\b\,\sc E_1}\,
\Bigg\{\eqalign{\ \a-\b&=\smh0{-\frac12}\\[-.5ex] \frac\b2&=\smb{1}{\frac1{24}}}\\[1ex]
&\ \ss{\sc E_1\ot\sc E_1+2\sp{1.5}\sc E_2\\[-.5ex] \sc E_2\ot2\sp{1.5}\sc E_2}\,\sp{1.5}
\Bigg\{\eqalign{\ \a&=\smh0{-\frac5{12}}\\ \ \b&=\smb{1}{\frac1{12}}}}$
L'unicité de cette solution montre qu'on ne peut pas obtenir de meilleure approximation que :
$\displaystyle{}f(x)=\frac{1-\dfrac5{12}\,x^2}{1+\dfrac1{12}\,x^2}=\frac{12-5\,x^2}{12+x^2}$
Compte tenu de la parité des fonctions en cause, cette approximation est en fait au moins d'ordre $5:$
$\displaystyle{}\cos x\ \dl x0\ \frac{12-5\,x^2}{12+x^2}+\o x5$
En poussant nos développements jusqu'à l'ordre $\,6\sp{1.5},\,$ on pourrait vérifier que cette approximation n'est pas d'ordre supérieur à $\,5\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Soient $I$ un intervalle ouvert contenant $0$ et $\,f:I\to\bb R\,$ continue en $\,0\sp{1.5},\,$ tels que :
$\displaystyle{}f(0)=0\ \txt{et} \,\ptt x\in I,\ \sin\big(f(x)\big)=\ln(1+x)$
Déterminer alors un développement limité de $f(x)$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,4\sp{1.5}.\,$
formule de Taylor-Young
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
définition de la négligeabilité
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
développement limité et parité des fonctions
Soit une fonction réelle $f$ admettant un développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}f(x)\,\smb{1.5}{\dl x0 \,P(x)} + \o xn$
- si $\,f\,$ est paire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés pairs ;
- si $\,f\,$ est impaire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés impairs.
indication
1
Écrire a priori un développement de $f(x)$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,4:\,$
$\displaystyle{}f(x)\ \dl x0\ a\,x + b\,x^2 + c\,x^3+ d\,x^4+\o x4$
et en déduire le développement de $\,\sin\big(f(x)\big)\,$ qui en résulte.
indication
2
La formule de Taylor-Young justifie l'existence de ce développement de $f(x)\sp{1.5}.$
réponse
On obtient comme développement : $\,f(x)\,\dl x0\ x-\dfrac {x^2}2+\dfrac{x^3}2-\dfrac{x^4}2+\o x4.\,$
correction
Avec par
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
continuité
en $\,0:\,$ $\,\lim x0 \ f(x)=f(0)=0\sp{1.5},\,$ par définition d'une
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
limite
finie, il existe $\,0 < \delta < 1\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\in I, \Big(|x| < \delta \ \Imp \ \big|f(x)\big|<\frac{\pi}2\Big)$
Dans ces conditions, par
La fonction arc sinus est la réciproque du sinus, restreint à $\,[\sp{1.5}-\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}]\sp{-1.5}:\,$
définition
de l'arc sinus, on a pour tout $\,x\app \sp{1.5}J=I\cap\sp{1.5}\big]\sp{-1.5}-\delta,\sp{1.5}\delta\sp{1.5}\big[:\,$
$\displaystyle{}\op{Arcsin} :\, [\sp{1.5}-1,1\sp{1.5}]\,\to\big[-\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}\big]$
- On a alors : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}-\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\,]\sp{1.5},\ \op{Arcsin}(\sin x)=x\sp{1.5},\,$
- et réciproquement : $\,\ptt y\app\,[\sp{1.5}-1,1\sp{1.5}]\sp{1.5},\ \sin(\op{Arcsin}y)=y\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \sin\big(f(x)\big)=\ln(1+x)\Ssi f(x)=\Op{Arcsin}\!\big(\!\ln(1+x)\big)}$
La fonction $f$ est donc de classe $\sc C^{\I}$ sur $J$ en tant que composée de fonctions $\sc C^{\I}\sp{-1.5}.$
Il résulte alors de la formule de
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
Taylor-Young
que $f(x)$ admet un développement limité d'ordre $\,4\,$ en $\,x=0:\,$
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
$\displaystyle{}f(x)\,\dl x0\ a\,x + b\,x^2 + c\,x^3+ d\,x^4+\o x4$
On considère la formule du
La fonction sinus a pour développement limité en $\,0:\,$
développement
limité de $\,\sin y\,$ en $\,y=0\,$ à l'ordre $\,4:\,$
$\displaystyle{}\sin x\ \dl x0 \ x-\smh{1.75}{\frac{x^3}6+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}}+\o x{2p+2}$
$\displaystyle{}\sin y\,\dl y0\ y-\frac{y^3}6+\o y4$
Étant donné que : $\,\lim x0\ f(x)=0\sp{1.5},\,$ on peut substituer $f(x)$ à $\,y\,$ dans ce développement :
$\displaystyle{}\sin\big(f(x)\big)\,\dl x0 \ f(x)-\frac{f(x)^3}6 + o\big(f(x)^4\big)$
On a par
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit
d'équivalents : $\,f(x)^k\eq x0\,a^kx^k\sp{1.5},\,$ ce qui permet de développer à l'ordre $\,4\,$ les deux derniers termes, avec : - $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
- $\,f(x)^3\dl x0 \ a^3x^3+3\,a^2b\,x^4 +\o x 4\,$ par
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :produit de développements limités d'ordre $\,1\sp{1.5}.\,$En effet, le$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :développement de $\,(a+b\,x)^3\sp{1.5},\,$ tronqué à l'ordre 1, nous donne :$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$$\eqalign{f(x)^3&\dl x0 \ x^3\big(a+b\,x+o(x)\big)^3\\[-.75ex]&\ =x^3\big((a+b\,x)^3 +o(x)\big)\\[-.25ex] &\ =\ x^3\big(a^3+3\,a^2b\,x +o(x)\big)}$
- $\,o\big(f(x)^4\big)\dl x0\ f(x)^4\,.\sp{1.5}o(1)=\o x4\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ $\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$définition de la négligeabilité.$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
$\eqalign{\sin\big(f(x)\big)\dl x0 \ &a\,x+b\,x^2+\Big(c-\frac{a^3}6\Big)x^3\\[-1.5ex]&+ \Big(d-\frac{a^2b}2\Big)x^4+\o x4}$
Par
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
unicité
du développement limité, on
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identifie
ce développement à celui de $\,\ln(1+x):\,$
$\eqalign{\ln(1+x)\,\dl x0\ x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\o x4\\[1ex]
\txt{si bien que :}\Syst{&a=1\sp{1.5},\ \ b=\smh0{-\frac12}\\[-1.5ex] &c=\frac13+\frac{a^3}6=\frac12\\[-1.5ex]&d=-\smb0{\frac14+\frac{a^2b}2=-\frac12}}}$
On obtient finalement le développement recherché : $\displaystyle{}f(x)\dl x0\ x-\dfrac {x^2}2+\dfrac{x^3}2-\dfrac{x^4}2+\o x4$
On aurait pu aussi :
- chercher un développement de $\,\Op{Arcsin}y\,$ en $\,y=0\,$ par primitivation de $\,\smh0{\smb{.5}{\dfrac1{\sqrt{\smash[b]{1-y^2}}}}}\sp{1.5},\,$
- puis le composer avec celui de $\,\ln(1+x)\,$ en $\,x=0\sp{1.5}.\,$