Maths - prépa et université : franchir la première marche

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Chapitre 1	Retour au choix d'un sujet Limites et comparaison

Sujet D.1.6 Développements asymptotiques

Choisir un exercice, puis le résoudre :

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice a

\$\def\at{\op{Arctan}}\$Calculer, au voisinage de $\,+\infty\,$ et de $\,-\infty\sp{1.5},\,$ des développements asymptotiques à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x\,$ de :

$\displaystyle{}f(x)=x^2\at\frac1{x+1}$

Que peut-on en déduire quant à la représentation graphique de la fonction $f$ ?

cours 0/3 ▼

indications 0/2 ▼

réponse ▼

correction ▼

développement asymptotique

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

droite asymptote au graphe d'une fonction

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

graphes asymptotes de deux fonctions

Soient $f$ et $\,g\,$ des fonctions réelles définies au voisinage de $\,\alpha=\pm\I\sp{1.5}.\,$

Si $\,\sth{.5}\lim x{\alpha}\big(f(x)-g(x)\big)=0\sp{1.5},\,$ les graphes de $f$ et $g$ sont asymptotes.

indication 1

Développer d'abord $\,u(x)=\dfrac1{x+1}\,$ en puissances de $\,\dfrac1x\,$ à un ordre suffisant.

indication 2

Composer le développement de $\,u(x)=\dfrac1{x+1}\,$ en $\,\pm\I\,$ par celui de $\,\at z\,$ en $\,z=0\,.\,$

réponse

On obtient : $\,f(x)\dl x{\pm\I} x-1+\dfrac2{3\sp{1.5}x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)\!\cdot\,$

Le graphe de $f$ admet pour asymptote en $\,+\infty\,$ et $\,-\infty\,$ la droite d'équation $\,y=x-1\sp{1.5}.\,$

Celle-ci est située au dessus du graphe de $f$ en $\,-\infty\sp{1.5},\,$ et au dessous en $\,+\infty\sp{1.5}.\,$

correction

Du fait du facteur $x^2,$ on développera $\,\at\dfrac1{x+1}\,$ en $\,\pm\I\,$ à la précision $\,\dfrac1{x^3}\!\cdot\,$

On va développer $\,u(x)=\dfrac1{x+1}=\dfrac{1/x}{1+1/x}\,$ en $\,\pm\I\,$ à la précision $\,\dfrac1{x^3}\,$ par la

La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$

formule d'inversion :

$\displaystyle{}\dfrac1{1-y}\ \dl y0\ 1+y+y^2+\o y2$

Étant donné que : $\,-\dfrac1x\,$ tend vers $0$ lorsque $\,x\to\pm\I\sp{1.5},\,$ on peut le substituer à $\,y\,$ dans ce développement :

$\eqalign{u(x)=\frac{1/x}{1+1/x}&\dl x{\pm\I} \ \frac1x\Big(1-\frac1x+\frac1{x^2}+o\Big(\frac1{x^2}\Big)\!\Big)\\ \ \ &\ \ \,=\ \ \ \frac1x-\frac1{x^2}+\frac1{x^3}+o\Big(\frac1{x^3}\Big)}$

On considère maintenant le

La fonction arc tangente a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\op{Arctan}x\,\dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^3}3+\cdots+(-1)^{p}\sp{1.5}\frac{x^{2p+1}}{2p+1}+\o x{2p+2}}$

développement limité de l'arc tangente en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\at z\ \dl z0\ z-\frac{z^3}3+\o z3$

Puisque : $\,u(x)\ \eq x{\pm\I}\ \dfrac1x\,$ tend vers $\,0\,$ en $\,\pm\I\sp{1.5},\,$ on peut substituer $\,u(x)\,$ à $\,z\,$ dans ce développement :

$\displaystyle{}\at u(x)\dl x{\pm\I} u(x)-\frac{u(x)^3}3+o\Big(u(x)^3\Big)$

Avec, par

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :

$\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
$\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

produit d'équivalents : $\,u(x)^3\eq x{\pm\I}\,\dfrac1{x^3}\sp{1.5},\,$ on peut développer les deux derniers termes à la précision $\,\dfrac1{x^3}:\,$

$\,u(x)^3\dl x{\pm\I}\ \dfrac1{x^3}+o\Big(\dfrac1{x^3}\Big)\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$

caractérisation des équivalents ;
$\,o\big(u(x)^3\sp{1.5}\big)\dl x{\pm\I}\ \dfrac1{x^3}\cdot\sp{1.5}o(1)=o\Big(\dfrac1{x^3}\Big)\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$

définition de la négligeabilité.

On obtient ainsi comme développement de $\,\at\dfrac1{x+1}:\,$

$\eqalign{\at u(x) &\dl x{\pm\I}\ \Big(\frac1x-\frac1{x^2}+\frac1{x^3}\Big)-\frac1{3\sp{1.5}x^3}+ o\Big(\frac1{x^3}\Big)\\ &\ \ \ =\ \frac1x-\frac1{x^2}+\frac2{3\sp{1.5}x^3}+o\Big(\frac1{x^3}\Big)}$

On peut enfin en déduire un

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

développement asymptotique de $\,f(x)\,$ à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x:\,$

$\displaystyle{}f(x)=x^2\at\dfrac1{x+1}\ \dl x{\pm\I}\ x-1+\dfrac2{3\sp{1.5}x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)$

On en déduit que la courbe représentative de $f$ admet en $\,+\infty\,$ et $\,-\infty\,$ une même

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

asymptote d'équation : $\,y=x-1\sp{1.5}.\,$

Celle-ci est située au dessus de la courbe

Soient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :

$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$

$\sc P(x)$ est vraie au voisinage de $\,a\,$ ssi $\sc P(x)$ est vraie sur un $\,V(a)\,.\,$

au voisinage de $\,-\infty\sp{1.5},\,$ et au dessous au voisinage de $\,+\infty\sp{1.5},\,$ car :

$\displaystyle{}f(x)-(x-1)\ \eq x{\pm\I}\ \dfrac2{3\sp{1.5}x}$

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice b

Calculer, au voisinage de $\,+\infty\,$ et de $\,-\infty\sp{1.5},\,$ des développements asymptotiques à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x\,$ de :

$\displaystyle{}f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$

Que peut-on en déduire quant à la représentation graphique de la fonction $f$ ?

cours 0/3 ▼

indications 0/2 ▼

réponse ▼

correction ▼

développement asymptotique

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

droite asymptote au graphe d'une fonction

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

graphes asymptotes de deux fonctions

Soient $f$ et $\,g\,$ des fonctions réelles définies au voisinage de $\,\alpha=\pm\I\sp{1.5}.\,$

Si $\,\sth{.5}\lim x{\alpha}\big(f(x)-g(x)\big)=0\sp{1.5},\,$ les graphes de $f$ et $g$ sont asymptotes.

indication 1

Commencer par factoriser par $\,x^2\,$ l'expression située sous le radical.

indication 2

Utiliser ensuite le développement limité de $\,\sqrt{1+y}\,$ en $\,y=0\sp{1.5}.\,$

réponse

On obtient les développements asymptotiques suivants :

$\,f(x)\dl x{-\I}-x-\dfrac12-\dfrac3{8\sp{1.5}x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)\,;\,$
$\,f(x)\dl x{+\I} \ph{-}x+\dfrac12+\dfrac3{8\sp{1.5}x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)\!\cdot\,$

Les droites d'équations $\,y=-x-1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\,$ et $\,y=x+1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\,$ sont asymptotes au graphe de $f.$

Ces asymptotes sont situées en dessous du graphe de $f.$

correction

On commence par factoriser par $x^2$ sous le radical :

$\displaystyle{}f(x)=\sqrt{x^2\Big(1+\frac1x+\frac1{x^2}\Big)}=|x|\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}$

On pose $\,u(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\sp{1.5},\,$ et du fait du facteur $\,|x|\sp{1.5},\,$ on va développer $\,\sqrt{1+u(x)}\,$ à la précision $\,\dfrac1{x^2}\!\cdot\,$

Pour cela, on considère la formule relative au

La fonction $\,x\mapsto(1+x)^\alpha\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}(1+x)^\alpha\dl x0 \ 1+\alpha\sp{1.5}x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{\alpha\dots(\alpha-n+1)}{n\sp{1.5}!}}\,x^n+\o xn$

développement limité d'une puissance :

$\displaystyle{}\sqrt{1+y}\ \dl y0\ 1+\frac{y}2-\frac{y^2}8+o\big(y^2\big)$

Avec$\,u(x)\ \eq x{\pm\I}\ \dfrac1x\,$ qui tend vers $\,0\,$ en $\,\pm\I\sp{1.5},\,$ on peut substituer $\,u(x)\,$ à $\,y\,$ dans ce développement :

$\displaystyle{} \sqrt{1+u(x)}\ \dl x{\pm\I}\ 1+\frac{u(x)}2-\frac{u(x)^2}8+\o{u(x)^2}{}$

Par

Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :

$\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
$\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$

produit d'équivalents, on a : $\,u(x)^2\eq x{\pm\I}\,\dfrac1{x^2}\sp{1.5},\,$ et on peut développer les deux derniers termes à la précision $\,\dfrac1{x^2}:\,$

$\,u(x)^2\dl x{\pm\I}\ \dfrac1{x^2}+o\Big(\dfrac1{x^2}\Big)\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$

caractérisation des équivalents ;
$\,o\big(u(x)^2\sp{1.5}\big)\,\dl x{\pm\I}\ \dfrac1{x^2}\cdot\sp{1.5}o(1)=o\Big(\dfrac1{x^2}\Big)\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$
On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$

définition de la négligeabilité.

On obtient alors, en désignant par $\,\pm\,$ le signe de $\,x\sp{1.5},\,$ des

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

développements asymptotiques de $\,f(x)\,$ à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x:\,$

$\eqalign{f(x)&\dl x{\pm\I} |x|\sp{1.5}\Big(1+\frac12\Big(\frac1x+\frac1{x^2}\Big)-\frac1{8\sp{1.5}x^2}+o\Big(\frac1{x^2}\Big)\Big)\\ &\ \ =\ \ \pm\Big(x+\frac12\Big)+\frac3{8\sp{1.5}|x|}+o\Big(\frac1{x}\Big)}$

La courbe représentative de $f$ admet donc pour

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

asymptotes les droites d'équations :

$\displaystyle{}y=-\sp{1.5}x-\dfrac12\txt{en} \!-\infty \ \txt{et}\ \ y=x+\dfrac12\txt{en} \!+\infty$

L'une et l'autre sont situées au dessous de la courbe car $\,\dfrac3{8\sp{1.5}|x|}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)\,$ est positif

Soient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :

$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$

$\sc P(x)$ est vraie au voisinage de $\,a\,$ ssi $\sc P(x)$ est vraie sur un $\,V(a)\,.\,$

au voisinage de $\,\pm\infty.\,$

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice c

Calculer, au voisinage de $\,+\infty\sp{1.5},\,$ un développement asymptotique à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x\,$ de :

$\displaystyle{}f(x)=x\sp{1.5}\Big(\!\ln\sp{-1.5}\big(1+\sqrt x\big)-\frac 12\,\ln(1+x)\sp{-1.5}\Big)$

En déduire la situation de la courbe représentant la fonction $f,$ vis à vis d'une courbe simple.

cours 0/3 ▼

indications 0/2 ▼

réponse ▼

correction ▼

développement asymptotique

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

droite asymptote au graphe d'une fonction

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\alpha=+\I$ ou $-\I\sp{1.5}.$

Si il existe $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ tel que $\,\sth1\lim x{\alpha}\big(f(x)-(a\sp{1.5}x+b)\big)=0\sp{1.5},\,$

alors le graphe de $f$ admet une asymptote d'équation $\,y=a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}.\,$

graphes asymptotes de deux fonctions

Soient $f$ et $\,g\,$ des fonctions réelles définies au voisinage de $\,\alpha=\pm\I\sp{1.5}.\,$

Si $\,\sth{.5}\lim x{\alpha}\big(f(x)-g(x)\big)=0\sp{1.5},\,$ les graphes de $f$ et $g$ sont asymptotes.

indication 1

Faire apparaître dans $f(x)$ des termes en $\,\ln\big(1+u(x)\big),\,$ avec $\,\lim x{+\I}u(x)=0\sp{1.5}.\,$

indication 2

Identifier une courbe asymptote à celle de $f$ grâce aux termes non négligeables du développement.

réponse

On obtient : $\,f(x)\dl x{+\I}\sqrt x-1+\dfrac1{3\sp{1.5}\sqrt x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big)\!\cdot\,$

Le graphe de $f$ est asymptote à la demi-parabole d'équation $\,y=\sqrt x -1\sp{1.5}.\,$

Le graphe de $f$ est situé au dessus de cette demi-parabole au voisinage de $\,+\I\sp{1.5}.\,$

correction

Par propriété du

Le logarithme est un morphisme de $\,(\bb R_+^{\ast}\sp{1.5},\times)\,$ vers $\,(\bb R\sp{1.5},+)\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\ptt x,\,y >0\sp{1.5},\ \ln(x\sp{1.5}y)=\ln x+\ln y\txt{et}\ln(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}y)=\ln x-\ln y$

On a de plus : $\,\ln 1=0\,$ et $\,\ptt x >0\sp{1.5},\,\ptt \alpha\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x\,.\,$

logarithme, on fait apparaître dans $f(x)$ des termes en $\,\ln\big(1+u(x)\big)\sp{1.5},\,$ avec $\,\lim x{+\I}u(x)=0:\,$

$\eqalign{&\!\ln\big(1+\sqrt x\big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\ln\Big(\!\sqrt x\Big(1+\frac1{\sqrt x}\Big)\!\Big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac{\ln x}2+\ln\Big(1+\frac1{\sqrt x}\Big)\\ &\!\frac12\,\ln\big(1+ x\big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac12\,\ln\Big(\sp{-1.5}x\Big(1+\frac1{x}\Big)\!\Big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\frac{\ln x}2+\frac12\,\ln\Big(1+ \frac1x\Big)}$

On obtient ainsi une expression de $\,f(x)\,$ se prêtant au développement en $\,+\I:\,$

$\displaystyle{}f(x)=x\bigg(\!\ln\Big(1+\dfrac1{\sqrt x}\Big)-\dfrac12\,\ln\Big(1+ \dfrac1x\Big)\!\bigg)$

On considère alors la formule relative au

La fonction $\,x\mapsto\ln(x+1)\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}\ln(1+x)\ \dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\o xn}$

développement limité de $\,\ln(1+y)\,$ en $\,y=0:\,$

$\displaystyle{}\ln(1+y)\,\dl y0\ y-\frac{y^2}2+\frac{y^3}3-\frac{y^4}4+\o y4$

On substitue $\,1/\sp{-1.5}\sqrt x\,$ à $\,y\,$ dans cette formule à l'ordre $4\sp{1.5},$ puis on fait de même avec $\,1/x\,$ à l'ordre $2:$

$\eqalign{\ln\Big(\sp{-1.5}1+\frac1{\sqrt x}\sp{-1.5}\Big)\!&\dl x{+\I}\frac1{\sqrt x}-\frac1{2\sp{1.5}x}\sp{-1.5}+\frac1{3\sp{1.5}x\sqrt x}-\frac1{4\sp{1.5}x^2}\sp{-1.5}+o\Big(\frac1{x^2}\sp{-1.5}\Big)\\ \frac12\,\ln\big(1+ x\big)\!&\dl x{+\I}\,\frac1{2\,x}\sp{-1.5}-\frac1{4\,x^2}\sp{-1.5}+o\Big(\frac1{x^2}\sp{-1.5}\Big)}$

On soustrait alors ces deux développements que l'on multiplie par $x\sp{1.5},$ d'où un

Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :

Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$

où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$

développement asymptotique de $\,f(x)\,$ à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x:\,$

$\displaystyle{}f(x)\dl x{+\I}\sqrt x-1+\frac1{3\sp{1.5}\sqrt x}+o\Big(\frac1{x}\Big)$

Le graphe de la fonction $f$ est donc

Soient $f$ et $\,g\,$ des fonctions réelles définies au voisinage de $\,\alpha=\pm\I\sp{1.5}.\,$

Si $\,\sth{.5}\lim x{\alpha}\big(f(x)-g(x)\big)=0\sp{1.5},\,$ les graphes de $f$ et $g$ sont asymptotes.

asymptote au graphe de la fonction $\,g:x\mapsto \sqrt x -1\sp{1.5}.\,$

Compte tenu du signe de $\,\dfrac1{3\sp{1.5}\sqrt x}+o\Big(\dfrac1{x}\Big),\,$

Soient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :

$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
$\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$

$\sc P(x)$ est vraie au voisinage de $\,a\,$ ssi $\sc P(x)$ est vraie sur un $\,V(a)\,.\,$

au voisinage de $\,+\I\sp{1.5},\,$ le graphe de $f$ est situé au dessus de celui de $\,g\sp{1.5}.\,$

On peut identifier ce graphe de $\,g\,$ en remarquant que :

$\displaystyle{}y=\sqrt x -1\Ssi\big(x=(y+1)^2\txt{et}y\geq-1\big)$

Ce graphe est donc une demi-parabole, de sommet $\,A(0,-1)\,$ et d'axe horizontal.