Sujet D.1.5 Développements limités
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Exercice a
Calculer un développement limité en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,5\,$ de : $\,f(x)=\ln(1+x^2)\op{sh}x\,.\,$
développements limités
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
développement limité d'un produit
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
inversion d'un développement limité
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
primitivation d'un développement limité
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
indication
Développer chaque facteur, puis factoriser les développements obtenus avant d'effectuer leur produit.
réponse
On obtient le développement : $\,f(x)\dl x0\ x^3-\dfrac{x^5}3+\o x5\sp{1.5}.\,$
correction
$\,x^2\,$ étant de limite nulle en $\,x=0\sp{1.5},\,$ on le substitue à $\,x\,$ dans le
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
développement
limité d'ordre $\,2\,$ de relatif au
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
La fonction $\,x\mapsto\ln(x+1)\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
logarithme,
d'où :
$\displaystyle{}\ln(1+x)\ \dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\o xn}$
$\displaystyle{}\ln(1+x^2)\dl x0\ x^2-\frac{x^4}2+\o x4=x^2\Big(1-\frac{x^2}2+\o x2\Big)$
On écrit aussi un développement limité d'ordre $\,3\,$ en $\,x=0\,$ du
La fonction sinus hyperbolique a pour développement limité en $\,0:\,$
sinus hyperbolique :
$\displaystyle{}\op{sh} x\ \dl x0\ x+\smh{1.75}{\frac{x^3}6+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}}+\o x{2p+2}$
$\displaystyle{}\op{sh}x\ \dl x0\ x+\frac{x^3}6+\o x3=x\Big(1+\frac{x^2}6+\o x2\Big)$
Leur produit factorisé par $\,x^3\,$ nous fournit alors un développement d'ordre $\,5\,$ de $\,f(x)\,$ par le
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
produit
de deux développements d'ordre $\,2:\,$
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
$\eqalign{f(x)&\dl x0 \ x^3\Big(1-\frac{x^2}2+\o x2\Big)\Big(1+\frac{x^2}6+\o x2\Big)\\
&\ =\ x^3\Big(1-\frac{x^2}2+\frac{x^2}6+\o x2\Big)=x^3-\frac{x^5}3+\o x5}$
Il est toujours souhaitable de factoriser ainsi des développements limités avant de les multiplier.
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Exercice b
Calculer un développement limité en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,2\,$ de : $\,f(x)=\dfrac{x}{1-\e{-x}}\!\cdot\,$
développements limités
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
développement limité d'un produit
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
inversion d'un développement limité
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
primitivation d'un développement limité
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
indication
1
Développer le dénominateur à un ordre suffisant puis simplifier le quotient.
indication
2
Utiliser ensuite la formule du développement limité en $0$ de la fonction : $\,y\mapsto\dfrac1{1-y}\!\cdot\,$
réponse
On obtient le développement : $\,f(x)\dl x0\ 1+\dfrac{x}2+\dfrac{x^2}{12}+\o x2\sp{1.5}.\,$
correction
Si on applique le
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
développement
limité de
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
La fonction exponentielle a pour développement limité en $\,0:\,$
l'exponentielle
à l'ordre $\,2\,$ en $\,x=0\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\e x\dl x0\ 1+x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{x^n}{n\sp{1.5}!}}+\o xn$
$\eqalign{1-\e{-x}&\dl{x}{0} \ 1-\Big(1+(-x)+\frac{(-x)^2}2+\o x2\Big)\\[-.5ex]\txt{soit :}1-\e{-x} &\dl{x}{0} \ x-\dfrac{x^2}2+\o x2}$
Cependant, le quotient de $\,x\,$ par $\,(1-\e{-x})\,$ ne donne après simplification qu'un développement limité d'ordre $\,1\sp{1.5}.\,$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
Sachant
que $\,\big(1-\op{e}^{-x}\big)\eq x0 x\sp{1.5},\,$ on anticipe cette difficulté en
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
La fonction exponentielle a pour développement limité en $\,0:\,$
développant
$\,(1-\e{-x})\,$ à l'ordre $\,3:\,$
$\displaystyle{}\e x\dl x0\ 1+x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{x^n}{n\sp{1.5}!}}+\o xn$
$\displaystyle{}1-\op{e}^{-x}\dl x0\, 1-\smh{1.5}{\Big(1+(-x)+\frac{(-x)^2}2+\frac{(-x)^3}6+\o x3\Big)}$
On obtient ainsi après simplification :
$\displaystyle{}f(x)\dl x0 \frac{x}{x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\o x3}=\frac{1} {1-\dfrac{x}2 +\dfrac{x^2}6+\o x2}$
On pose alors : $\,u(x)\dl x0\, \dfrac{x}2 -\dfrac{x^2}6+\o x2\,$ et on va
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
inverser
le
développement de $\,1-u(x)\,$ par la formule :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
$\displaystyle{}\smh{1}{\frac1{1-y}}\ \dl y0\ 1+y+y^2+\o y2$
Étant donné que : $\,\smb{1.5}{u(x)\ \eq x0\ \dfrac x2}\sp{1.5},\,$ on peut substituer $\,u(x)\,$ à $\,y\,$ dans ce développement :
$\displaystyle{}f(x)=\frac1{1-u(x)}\,\dl x0 \ 1+u(x)+\big(u(x)\big)^2+o\big(u(x)^2\sp{1.5}\big)$
On a par
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit
d'équivalents : $\,u(x)^2\eq x0\,\dfrac{x^2}4\,;\,$ cela permet de développer à l'ordre $\,2\,$ les deux derniers termes : - $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
- $\,u(x)^2\dl x0\smh{1}{\dfrac {x^2}4}+\o x2\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :caractérisation des équivalents ;$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
- $\,o\big(u(x)^2\sp{1.5}\big)\dl x0\ u(x)^2\,.\sp{1.5}o(1)=\o x2\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ $\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$définition de la négligeabilité.$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
$\eqalign{f(x)&\dl x0\,1+\Big(\dfrac{x}2 -\dfrac{x^2}6\Big)+\frac{x^2}4+\o x2\\[-.5ex]&\ =\,1+\dfrac{x}2+\frac{x^2}{12}+\o x2}$
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Exercice c
Calculer un développement limité en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,4\,$ de : $\,f(x)=\ln(\cos x)\,.\,$
Peut-on en déduire un développement d'ordre plus élevé ?
développements limités
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
développement limité d'un produit
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
inversion d'un développement limité
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
primitivation d'un développement limité
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
indication
1
Écrire $\,f(x)\,$ sous la forme $\,\ln\!\big(1+u(x)\big)\sp{1.5}\,$ puis développer $\,u(x).\,$
indication
2
Considérer la parité de la fonction $\,f\,$ pour en déduire un développement limité d'ordre $\,5\,.\,$
réponse
On trouve d'abord : $\,f(x)\ \dl x0-\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)\,.\,$
On a plus précisément : $\,f(x)\ \dl x0-\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{12}+o(x^5)\sp{1.5}.\,$
correction
Afin d'utiliser le développement limité relatif au
La fonction $\,x\mapsto\ln(x+1)\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
logarithme,
on peut écrire en posant $\,u(x)=\cos x-1:\,$
$\displaystyle{}\ln(1+x)\ \dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\o xn}$
$\displaystyle{}f(x)=\ln\!\big(1+(\cos x-1)\big)=\ln\!\big(1+u(x)\big)$
On écrit alors le développement de $\,\ln(1+y)\,$ à l'ordre $\,2:\,$
$\displaystyle{}\ln(1+y)\ \dl y0\ y-\frac{y^2}2+o\big(y^2\big)$
Avec la relation
Les fonctions cosinus et sinus vérifient :
d'équivalence :
$\,u(x)=(\cos x-1)\eq x0\!-\dfrac{x^2}2\,,\,$ on peut substituer $\,u(x)\,$ à $\,y\,$ dans ce développement :
$\displaystyle{}(\cos x-1)\,\eq x0-\smh{1.5}{\dfrac{x^2}2}\ \txt{et}\,\sin x\,\eq x0\,x$
$\displaystyle{}\ln\!\big(1+u(x)\big)\dl x0 u(x)-\frac{u(x)^2}2+o\big(u(x)^2\big)$
On a par
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit
d'équivalents : $\,u(x)^2\eq x0\sp{1.5}\dfrac{x^4}4\,;\,$ cela va permettre de développer à l'ordre $\,4\,$ les deux derniers termes, avec : - $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
- $\,u(x)^2\dl x0\smh{1}{\dfrac {x^4}4}+\o x4\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :caractérisation des équivalents ;$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
- $\,o\big(u(x)^2\sp{1.5}\big)\dl x0\ u(x)^2\,.\sp{1.5}o(1)=\o x4\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ $\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$définition de la négligeabilité.$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
La fonction cosinus a pour développement limité en $\,0:\,$
développement
de $\,u(x)=\cos x-1\sp{1.5},\,$ on peut en déduire le développement limité de $\,f(x)\,$ à l'ordre $\,4\,$ en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\cos x\ \dl x0\ 1-\smh{1.75}{\frac{x^2}2+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}}+\o x{2p+1}$
$\eqalign{f(x)&\dl x0\Big(-\dfrac{x^2}2 +\dfrac{x^4}{24}\Big)-\frac{x^4}8+o(x^4)\\[-.5ex]&\ \sp{1.5}=\,-\dfrac{x^2}2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}$
La fonction $\,f\,$ est de classe $\sc C^\infty$ au voisinage de $\,0\sp{1.5};\,$ on peut donc lui appliquer la
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
formule
de Taylor-Young.
$\,f\,$ étant
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que : $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
paire
comme le
- $f$ est paire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
- $f$ est impaire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
cosinus,
il s'ensuit que son développement en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,5\,$ est nécessairement
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Soit une fonction réelle $f$ admettant un développement limité en $\,0:\,$
pair,
d'où : $\displaystyle{}f(x)\,\smb{1.5}{\dl x0 \,P(x)} + \o xn$
- si $\,f\,$ est paire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés pairs ;
- si $\,f\,$ est impaire, $\,P(x)\,$ n'a que des termes de degrés impairs.
$\displaystyle{}f(x)\dl x0-\dfrac{x^2}2-\frac{x^4}{12}+o(x^5)$
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Exercice d
Calculer un développement limité en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,3\,$ de : $\,f(x)=\op{Arctan}(x+1)\,.\,$
développements limités
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
développement limité d'un produit
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
inversion d'un développement limité
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
primitivation d'un développement limité
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
indication
1
Le développement connu de $\,\op{Arctan}u\,$ en $\,u=0\,$ ne s'applique pas en $\,u=1\sp{1.5}.\,$
indication
2
Calculer un développement limité de $\,f'(x)\,$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,2\sp{1.5},\,$ puis le primitiver.
réponse
On obtient : $\,f(x)\,\dl x0\ \dfrac{\pi}4+\dfrac x2-\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+\o x3\sp{1.5}.\,$
correction
On peut décomposer la fonction $f$ en écrivant : $\,f(x)=\op{Arctan}\big(u(x)\big)\sp{1.5},\,$ avec $\,u(x)=x+1\sp{1.5}.\,$ Cependant, le
On va donc plutôt dériver $f\sp{1.5},$ puis développer $\,f'(x)\,$ en $\,x=0\,$ à l'ordre $\,2\sp{1.5},\,$ pour la primitiver ensuite.
En effet, la
La fonction arc tangente a pour développement limité en $\,0:\,$
développement
de l'arc tangente n'est connu qu'en $\,0\sp{1.5};\,$ il ne s'applique donc pas en $\,u(0)=1\,.\,$$\displaystyle{}\op{Arctan}x\,\dl x0 \ \smh{1.75}{x-\frac{x^3}3+\cdots+(-1)^{p}\sp{1.5}\frac{x^{2p+1}}{2p+1}+\o x{2p+2}}$
La fonction arc tangente est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :
dérivée
de la fonction arc tangente est
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \op{Arctan}'(x)=\smh{1}{\frac1{1+x^2}}$
Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$
pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$
rationnelle,
et en dérivant une fonction
- Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$
- Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$
Soient $f\sp{-1.5}:I\!\to\sp{-1.5}\bb K$ dérivable en $x$ et $g\sp{-1.5}:J\!\to\sp{-1.5}\bb R$ dérivable en $f(x)\sp{1.5}.$
Si $\,\sth{.5}f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors $\,g\circ f\,$ est dérivable en $x\sp{1.5},$ avec :
composée,
on obtient :
$\displaystyle{}(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\sp{1.5}f'(x)$
$\displaystyle{}f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}=\frac1{1+(1+x)^2}=\frac{1/2}{1+x+\dfrac{x^2}2}$
On pose alors : $\,v(x)=-\,x-\dfrac{x^2}2\,$ et on va
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
inverser
le
développement de $\,1-v(x)\,$ par la formule :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
$\displaystyle{}\smh{1}{\frac1{1-y}}\ \dl y0\ 1+y+y^2+\o y2$
Étant donné que : $\,v(x)\ \eq x0\sp{-1.5}-x\,,\,$ on peut substituer $\,v(x)\,$ à $\,y\,$ dans le développement de $\,f'(x):\,$
$\displaystyle{}f'(x)=\frac{1/2}{1-v(x)}\,\dl x0\ \frac12+\frac{v(x)}2+\frac{v(x)^2}2+o\big(v(x)^2\big)$
On a par
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit
d'équivalents : $\,v(x)^2\eq x0\,x^2\,;\,$ cela va permettre de développer à l'ordre $\,2\,$ les deux derniers termes, avec : - $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
- $\,v(x)^2\dl x0 \,x^2+\o x2\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :caractérisation des équivalents ;$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
- $\,o\big(v(x)^2\big)\dl x0\ v(x)^2\,.\sp{1.5}o(1)=\o x2\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ $\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$définition de la négligeabilité.$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
$\eqalign{f'(x)&\dl x0\ \frac12+\frac12\Big(-x -\frac{x^2}2\Big)+\frac{x^2}2+o(x^2)\\
&\ =\ \,\frac12-\frac x2+\frac{x^2}4+o(x^2)}$
Par
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
primitivation
d'un développement limité, sachant que $\,f(0)=\op{Arctan}1=\dfrac{\pi}4\sp{1.5},\,$ on a finalement :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
$\displaystyle{}f(x)\,\dl x0\ \frac{\pi}4+\frac x2-\frac{x^2}4+\frac{x^3}{12} +o(x^3)$
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Exercice e
Calculer un développement limité en $\,x=\dfrac{\pi}4\,$ à l'ordre $\,3\,$ de : $\,f(x)=\tan x\sp{1.5}.\,$
développements limités
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
développement limité d'un produit
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :
$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$
Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$
$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
inversion d'un développement limité
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
primitivation d'un développement limité
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue sur un intervalle $\,I\,$ contenant $\,0\,$ telle que :
$\displaystyle{}f(x){\dl x0}\, p_0+\cdots+p_nx^n+\o xn$
Alors toute primitive $\,F\,$ de $\,f\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
$\displaystyle{}F(x)\dl x0 F(0)+\smh{1.75}{\sum_{k=0}^n}\frac{p_k}{k+1}x^{k+1}+\o x{n+1}$
indication
1
Exprimer $\,\tan\Big(\dfrac{\pi}4+h\Big)\,$ en fonction de $\,\tan h\sp{1.5},\,$ puis développer $\,\tan h\,$ en $\,h=0\,$ à l'ordre $\,3\sp{1.5}.\,$
indication
2
On peut aussi utiliser directement la formule de Taylor-Young.
réponse
On obtient : $\,\tan\Big(\dfrac{\pi}4+h\Big)\sp{1.5}\dl h0\ 1+2\sp{1.5}h+2\sp{1.5}h^2+\dfrac{8\sp{1.5}h^3}3+\o h3\sp{1.5}.\,$
correction
En posant $\,x=\dfrac{\pi}4+h\,,\,$ il s'agit d'établir un
Soit $f$ fonction réelle définie au voisinage de $\,a\app\bb R\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5}.\,$
Un développement limité de $f$ en $\,a\,$ d'ordre $\,n\,$ est de la forme :
développement
de $\,g(h)=\tan(\pi/4+h)\,$ en $\,h=0\,$ à l'ordre $\,3\,.\,$
Par formule
$\displaystyle{}f(x)\ \dl xa \,P(x-a) + o\big((x-a)^n\big)$
où $P$ est polynôme de $\,\bb R_n[X]\sp{1.5};\,$ un tel polynôme $P$ est alors unique.
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
d'addition
et sachant que $\,\tan(\pi/4)=1\sp{1.5},\,$ on a :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}g(h)=\tan\Big(\dfrac{\pi}4+h\Big)=\frac{1+\tan h}{1-\tan h}=-\sp{1.5}1+\frac2{1-\tan h}$
On connait le
La fonction tangente a pour développement limité en $\,0\,$ d'ordre $\,4:\,$
développement
de la tangente en $\,0\,$ à l'ordre $\,3:\,$
$\displaystyle{}\tan x\dl x0 x+\smh{1.5}{\frac{x^3}3}+\o x4$
$\displaystyle{}\tan h\ \dl h0\ h+\dfrac{h^3}3+\o h3$
On va
La fonction $\,x\mapsto(1-x)^{-1}\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$
inverser
le
développement de $\,(1-\tan h)\,$ par la formule :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\frac1{1-x}}\ \dl x0\ 1+x+\cdots+x^n+\o xn$
$\displaystyle{}\smh{1}{\frac1{1-y}}\dl y0\, 1+y+y^2+y^3+\o y3$
Étant donné que : $\,\tan h\ \eq h0\ h\,,\,$ on peut substituer $\,\tan h\,$ à $\,y\,$ dans ce développement :
$\displaystyle{}\!\frac1{1-\tan h}\,\dl h0 1+\tan h+\tan^2\! h+\tan^3\! h+o\big(\sp{-1.5}\tan^3\! h\big)$
On a par
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
produit
d'équivalents : $\,\tan^3\! h\eq h0\,h^3\,;\,$ cela permet de développer à l'ordre $\,3\,$ les trois derniers termes : - $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
- $\,\tan^2\! h\dl h0\, h^2\big(1+o(h)\big)^2=h^2+\o h3\sp{1.5},\,$ par
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles telles que :produit de développements ;$\eqalign{f(x)\ \dl x0 \ p_0+\cdots+p_n\,x^n+\o xn\\[-1ex]g(x)\ \dl x0\ q_0+\cdots+q_n\,x^n+\o xn}$Alors $fg$ a pour développement limité le produit tronqué à l'ordre $n:$$\displaystyle{}(f\sp{1.5}g)(x)\,\dl x0\smh{1.75}{\Big(\sum_{k=0}^{n}}\ p_k\,q_{n-k}\Big)\sp{1.5}x^n+\o xn$
- $\,\tan^3\! h \dl h0\, h^3+\o h3\sp{1.5},\,$ par
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :caractérisation des équivalents ;$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
- $\,o\big(\sp{-1.5}\tan^3\! h\big)\dl h0 \sp{1.5}\tan^3\! h\,.\sp{1.5}o(1)=\o h3\sp{1.5},\,$ par
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ $\,f\,$ est négligeable devant $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$définition de la négligeabilité.$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\omega(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\omega(x)=0$On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}\o{g(x)\sp{-1.5}}{}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=0$
$\eqalign{\tan\Big(\dfrac{\pi}4+h\Big)&\dl h0 \,1+2 \Big(h+\dfrac{h^3}3\Big) +2\sp{1.5}h^2+2\sp{1.5}h^3+o(h^3)\\[-1ex]
&=1+2\sp{1.5}h+2\sp{1.5}h^2+\frac{8\sp{1.5}h^3}3+o(h^3)}$
On obtient ce développement limité plus rapidement par la formule de
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
Taylor-Young :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
$\eqalign{f'(x)&\,= \ 1+\tan^2\!x\sp{1.5},\txt{d'où :}f'(\pi/4)=2\\
f''(x)&\,=\ 2\sp{1.5}\tan x\sp{1.5}(1+\tan^2\!x)\sp{1.5},\txt{d'où :}f''(\pi/4)=4\\
f'''(x)&\,=\ 2\sp{1.5}(1+\tan^2\!x)^2+4\sp{1.5}\tan^2\!x\,(1+\tan^2\!x)\\
&\,=\ 2\sp{1.5}(1+\tan^2\!x)(1+3\sp{1.5}\tan^2\!x)\sp{1.5},\txt{d'où :}f'''(\pi/4)=16\\
\txt{si bien que :}\tan\Big(\frac{\pi}4+h\Big)\ &\!\sp{-1.5}\dl h0\ \sum_{k=0}^3\frac{f^{(k)}(\pi/4)}{k\sp{1.5}!}\sp{1.5}h^k+\o h3\\[-2ex]
&\,\sp{1.5}=\ 1+2\sp{1.5}h+2\sp{1.5}h^2+\smh{1}{\frac{8\sp{1.5}h^3}3}+\o h3}$
Toutefois, cette méthode, nécessitant des calculs de dérivées successives, n'est praticable que dans des cas très limités.