exercices de mathématiques - prépa et université

Avec $\,-1\,$ pour racine, le dénominateur de la fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $\,\smb{1.5}{f:x\mapsto\dfrac{x^3+1}{x^2-x-2}}\,$ se

Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est  un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$

$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi  $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$

factorise : $\,f\,$ est donc définie sur $\,\bb R\!\setminus\!\{-1,2\}\sp{1.5},\,$ et lorsque $\sp{1.5}x\sp{1.5}\to\sp{1.5}-1\sp{1.5},$ cette limite se présente sous la forme

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

indéterminée : $\,\dfrac00\sp{-1.5}\cdot\,$

Le numérateur se factorise donc pareillement, d'où par

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$

identité remarquable, une simplification pour $\,x\non\app\{ -1,2\}:\,$

On a alors des limites

Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$  ou  si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$

égales lorsque $\,x\to-1\sp{1.5},\,$ d'où par

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

continuité du dernier quotient :

Avec $\,x^2+2\sp{1.5}x=x\sp{1.5}(x+2)\sp{1.5},\,$ la fonction  $\,f:x\mapsto\sqrt{x^2+2\sp{1.5}x}-x-1\,$  est définie lorsque $\,x\geq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,x\to+\I\sp{1.5},\,$ cette limite se présente sous la forme

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

indéterminée : $\,\I-\I\sp{1.5}.\,$

Pour y remédier, on recherche l'expression conjuguée de $f(x)$ par

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$

l'identité :

On en déduit alors une simplification de $f(x)$ pour tout $\,x\geq0:\,$

Par limite d'une fonction

Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$

polynomiale en $\,+\I\sp{1.5},\,$

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :

$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$

composée par la limite de la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :

$\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$

racine en $\,+\I\sp{1.5},\,$ on a : Par somme puis quotient de

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

limites, on en déduit enfin :

On considère la fonction $\,f:x\mapsto\dfrac{g(x)}{h(x)}\,$ pour :  $\,g(x)=2\sp{1.5}\tan x-\sin2\sp{1.5}x\,$  et  $\,h(x)=\sin x\big(\cos2\sp{1.5}x-\cos x\big)\sp{1.5}.\,$

Par

La tangente d'un réel $\,\smb1{x\!\non\equiv\!\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]}\,$ est  définie par :

$\displaystyle{}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

définition de la tangente puis

Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :

• $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
• $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
• $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$  si  $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$

duplication de $\,\sin2\sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ on simplifie $g(x)$ puis $f(x)$ lorsque $f(x)$ est défini :

Lorsque $\,x\to0\sp{1.5},\,$ la limite de $f(x)$ se présente sous la forme

Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$

• $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$  si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
• $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$  si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$

sauf pour les formes indéterminées : $\I\!-\!\I\sp{1.5},\,$ $0\!\times\!\I\sp{1.5},$ $\,\I\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\I\,$ et $\,0/0\sp{1.5}.\,$

indéterminée : $\,\dfrac 0 0\,;\,$ deux méthodes permettent d'y remédier :

• On peut factoriser une différence de cosinus par les
  Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :

  • $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
  • $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
  • $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$

  On en déduit les formules en $\,(a-b)\,$ par parité et imparité.
  formules d'addition ; on obtient pour $\,(a,b)=(3\sp{1.5}x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2):\,$
  $\eqalign{ \cos2\sp{1.5}x-\cos x&=\cos(a+b)-\cos(a-b)\\[-.5ex]&=-2\sin\frac{3\sp{1.5}x}2\,\sin\frac x2}$
  On en déduit une autre expression de $f(x)\sp{1.5},$ et par
  Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

  Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

  • $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
  • $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
  produit et quotients d'équivalents du
  Les fonctions cosinus et sinus vérifient :

  $\displaystyle{}(\cos x-1)\,\eq x0-\smh{1.5}{\dfrac{x^2}2}\ \txt{et}\,\sin x\,\eq x0\,x$
  sinus en $\,0\sp{1.5},\,$ on obtient sa
  Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

  Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$  ou  si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :

  $\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$
  limite :
  $\eqalign{&f(x)=-\frac{\sin^2\sp{-1.5}x}{\cos x\ \sin\dfrac{3\sp{1.5}x}2\,\sin\dfrac x2}\\[-.5ex] \txt{d'où :}&f(x)\eq x0-\frac{x^2}{3\sp{1.5}x^2\sp{-1.5}/4}=-\frac43}$
• Sinon, on peut aussi exprimer $f(x)$ en fonction de $\,u=\cos x,\,$ par
  Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :

  • $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
  • $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
  • $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$  si  $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
  duplication de $\,\cos(2\sp{1.5}x):\,$
  $\eqalign{f(x)&=\frac{2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}x}{\cos x\big(\cos2\sp{1.5}x-\cos x\big)}\\[-.5ex] &=\frac{2\big(1-\cos^2\sp{-1.5}x\big)}{\sth{.5}\cos x\big(2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}x-\cos x-1\big)}\\[-.5ex]&=\frac{2\big(1-u^2\big)}{u\big(2u^2-u-1\big)}=\phi(u)}$
  Avec $\,1\,$ pour racine en haut et en bas, l'expression
  Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

  pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

  • Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

  • Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$
  rationnelle $\,\phi(u)\,$ se simplifie alors par
  Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est  un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$

  $\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi  $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
  factorisation :
  $\displaystyle{}\phi(u)= \frac{2\sp{1.5}(1+u)(1-u)}{u\sp{1.5}(2\sp{1.5}u+1)(u-1)}=-\dfrac{2\sp{1.5}(1+u)}{u\sp{1.5}(2\sp{1.5}u+1)}$
  Sachant que $\,u=\smb1{\cos x\tend x0 1}\sp{1.5},\,$ on obtient la limite de $f(x)$ par
  Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

  Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$  ou  si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :

  $\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$
  égalité avec une fonction
  Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :

  $\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$
  composée :
  $\displaystyle{}f(x)=\phi(\cos x)=\phi(u)=-\dfrac{2\sp{1.5}(1+u)}{u\sp{1.5}(2\sp{1.5}u+1)}\tend u 1 -\frac43$

Quelle que soit la méthode suivie, on obtient donc :  $\,\lim x 0\ \,\dfrac{2\sp{1.5}\tan x-\sin2\sp{1.5}x}{\sin x\sp{1.5}(\cos2\sp{1.5}x-\cos x)}=-\dfrac43\!\cdot\,$