Sujet D.1.1 Définition des limites
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Exercice a
Soient $f$ et $\,g\,$ deux fonctions de $\,\bb R\,$ vers $\,\bb R\sp{1.5},\,$ admettant $\,+\I\,$ pour limite en $\,-\I\sp{1.5}.\,$
Déterminer la limite en $\,-\I\,$ de la fonction $\,\min(f,g):x\mapsto\min\big(f(x),g(x)\big).\,$
limite finie en un point d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
limite finie à l'infini d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie en un point d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R,\ \iex\delta >0,\ \ptt x\app I,\ \big(|x-a| \leq \delta \Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\,\lim x a f(x)=+\I\,$ ou $\,f(x)\tend x a +\I.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} A\,$ au lieu de $\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie à l'infini d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
indication
Pour $A\app\bb R$ fixé, déterminer $B\app\bb R$ tel que : $\,x \leq B\Imp\min(f,g)(x) \geq A\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,\lim x {-\I} \min(f,g)(x)=\lim x {-\I}\min\big(f(x),g(x)\big)=+\I\sp{1.5}.\,$
correction
Selon la définition des
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
limites infinies
en $\,-\I\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \ptt A\app\bb R\sp{1.5},\ \iex B_1\app\bb R\sp{1.5},\ \ptt x \app\bb R,\ \big(x \leq B_1\Imp f(x) \geq A\big)\\
\ptt A\app\bb R\sp{1.5},\ \iex B_2\app\bb R\sp{1.5},\ \ptt x \app\bb R,\ \big(x \leq B_2\Imp g(x)\geq A\big) }$
En considérant, pour $A\app\bb R$ fixé, le
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
plus petit
des deux réels $B_1$ et $B_2:$ $\,B=\min(B_1,B_2)\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}x \leq B=\min(B_1,B_2) \Imp\big(f(x)\geq A\txt{et} g(x)\geq A\big)$
Le réel $\,\min(f,g)(x)=\min\big(f(x),g(x)\big)\,$ est toujours l'un des deux réels $f(x)$ ou $g(x)\sp{1.5};$ il s'ensuit donc que :
$\displaystyle{}\ptt x \app\bb R\sp{1.5},\ \big(\sp{1.5}x \leq B=\min(B_1,B_2)\Imp\min(f,g)(x) \geq A\sp{1.5}\big)$
On a ainsi établi que : $\,\lim x {-\I} \min(f,g)(x)=+\I\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Soient $f$ et $\,g\,$ deux fonctions de $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ vers $\,\bb R\sp{1.5},\,$ admettant une même limite finie $\ell$ en $\,0\sp{1.5}.\,$
Démontrer que la fonction $\,\max(f,g):x\mapsto\max\big(f(x),g(x)\big)\,$ admet aussi $\ell$ pour limite en $\,0\sp{1.5}.\,$
Qu'en est-il si $f$ et $\,g\,$ admettent deux limites finies distinctes $\ell_1$ et $\ell_2\,?$
limite finie en un point d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
limite finie à l'infini d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie en un point d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R,\ \iex\delta >0,\ \ptt x\app I,\ \big(|x-a| \leq \delta \Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\,\lim x a f(x)=+\I\,$ ou $\,f(x)\tend x a +\I.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} A\,$ au lieu de $\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie à l'infini d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
indication
1
Pour $\,\eps > 0\,$ fixé, déterminer $\,\delta > 0\,$ tel que : $\,x\leq \delta\Imp \big|\max(f,g)(x)-\ell\big| \leq \eps\sp{1.5}.\,$
indication
2
En supposant par exemple que $\,\ell_1 < \ell_2\sp{1.5},\,$ montrer qu'au voisinage de $\,0:\,$ $\,\max(f,g)(x)=g(x)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient bien : $\,\lim x 0 \max(f,g)(x)=\ell\,$ lorsque $\,\ell_1=\ell_2=\ell\sp{1.5},\,$ et plus généralement :
$\displaystyle{}\lim x 0 \max(f,g)(x)=\max(\ell_1,\ell_2)$
correction
Selon la définition des
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
limites finies
en $\,a=0\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \ptt\eps > 0,\ \iex\delta_1 >0,\ \ptt x > 0,\ \big(x \leq \delta_2\Imp |f(x)-\ell_1| \leq \eps\big)\\
\ptt\eps > 0,\ \iex\delta_2 >0,\ \ptt x > 0,\ \big(x \leq \delta_1\Imp |g(x)-\ell_2| \leq \eps\big) }$
Par définition de la
La valeur absolue de $\,x\app\bb R\,$ est : $\,|x|=\max(x,-x)\sp{1.5};\,$ on a alors :
valeur absolue,
on a de plus :
$\,|f(x)-\ell_i| \leq \eps\Ssi \ell_i-\eps\leq f(x)\leq \ell_i+\eps\sp{1.5}.\,$
Pour $\eps > 0$ fixé, on considère le
- $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ |x\sp{1.5}y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|\,|y|\,;\,$
- $\,\ptt(x,y)\app\bb R\times\bb R^{\ast},\ |x/y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|/|y|\,;\,$
- pour $\,a,r,x\app\bb R:\,$ $\,|x-a|\leq r\Ssi a-r\leq x\leq a+r\sp{1.5}.\,$
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
plus petit
des deux réels $\delta_1$ et $\delta_2:$ $\,\delta=\min(\delta_1,\delta_2) > 0\sp{1.5},\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}0 < x \leq \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \Imp\Syst{\,\ell_1-\eps\leq f(x)\leq\ell_1+\eps\\\, \ell_2-\eps\leq g(x)\leq\ell_2+\eps}$
Le
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
plus grand
des réels $f(x)$ ou $g(x):$ $\,\max\big(f(x),g(x)\big),\,$ est toujours l'un d'entre eux ; par conséquent :
-
Lorsque $\,\ell_1=\ell_2=\ell\,,\,$ on a alors : $\,\ell-\eps\leq\max(f,g)(x)\leq\ell+\eps\sp{1.5},\,$ et il s'ensuit que :
$\displaystyle{}\sp{1.5}0 < x \leq \delta=\min(\delta_1,\delta_2)\!\Imp\!\big|\max(f,g)(x)-\ell\sp{1.5}\big|\!\leq\! \eps$On a bien établi ainsi que : $\,\lim x 0 \max(f,g)(x)=\ell\sp{1.5}.\,$
- Lorsque $\,\ell_1\neq\ell_2\sp{1.5},\,$ on peut supposer par exemple que $\, \ell_1 < \ell_2\,.\,$
En fixant $\,\eps=\smh1{\dfrac{\ell_2-\ell_1}2}\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\, \ell_1+\eps=\smh1{\dfrac{\ell_1+\ell_2}2}=\ell_2-\eps\sp{1.5},\,$ si bien que :
$\displaystyle{}0 < x \leq \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \!\Imp\! f(x)\leq \smh0{\frac{\ell_1+\ell_2}2}\leq g(x)$On a ainsiSoient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :au voisinage de $0:$ $\,\max(f,g)(x)=g(x)\sp{1.5},\,$ d'où des
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$
Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$ ou si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :limites égales :$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$$\displaystyle{}\lim x 0 \max(f,g)(x)=\lim x 0 \, g(x)=\ell_2=\max(\ell_1,\ell_2)$On obtient bien sûr la même conclusion en supposant symétriquement : $\,\ell_1 > \ell_2\,.\,$
$\displaystyle{}\eqalign{&\lim x 0\,f(x)=\ell_1\sp{1.5}\\[-.5ex]&\lim x 0\,g(x)=\ell_2\sp{1.5}}\bigg\}\Imp\lim x 0 \max(f,g)(x)=\max(\ell_1,\ell_2\,)$
On pouvait aussi utiliser les
Soient $I$ un intervalle et $\,f,g:I\to\bb R\,$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\bb R}$ en $a\app \surl{\bb R}.$
limites
d'une somme et d'une différence,
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim x a \big(\alpha\sp{1.5}f(x)+\beta\,g(x)\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\,,\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim x a\ \big(f(x)\,g(x)\big)}=\ell_1\,\ell_2\,,\,$
- $\,\smb{1}{\lim x a \big({f(x)}\big/{g(x)}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\,,\,$ si $\,g(x)\neq0\,$ sur $\,\!I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$
Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :
composée
par la
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$
La fonction valeur absolue : $\,x\mapsto|x|\sp{1.5},\,$ est continue sur $\bb R\sp{1.5}.$
De plus, elle est paire, et strictement croissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$
valeur absolue
avec :
$\displaystyle{}\max\big(f(x),g(x)\big) = \frac{f(x)+g(x)-\big|f(x)-g(x)\big|}2$
Le raisonnement est alors plus bref, mais un peu artificiel car on y utilise la continuité de : $\,x\mapsto|x|=\max(x,-x)\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Pour trois réels $\,a,b,c\sp{1.5},\,$ on note $\,\mu(a,b,c)\,$ celui de ces réels qui est compris entre les deux autres.
Étant données trois fonctions $\,f_1,\,f_2,\,f_3\,$ de $\,\bb R\,$ vers $\,\bb R\sp{1.5},\,$ de limites finies $\,\ell_1,\sp{1.5}\ell_2,\sp{1.5}\ell_3\,$ en $\,+\I\sp{1.5},\,$ déterminer la limite en $\,+\I\,$ de la fonction :
$\displaystyle{}\mu(f_1,f_2,f_3):x\mapsto\mu\big(f_1(x),f_2(x),f_3(x)\big)$
limite finie en un point d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
limite finie à l'infini d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie en un point d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R,\ \iex\delta >0,\ \ptt x\app I,\ \big(|x-a| \leq \delta \Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\,\lim x a f(x)=+\I\,$ ou $\,f(x)\tend x a +\I.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} A\,$ au lieu de $\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie à l'infini d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
indication
1
Commencer par traiter le cas où $\,\ell_1=\ell_2=\ell_3\sp{1.5}.\,$
indication
2
Considérer ensuite un cas comme : $\,\ell_1 < \ell_2=\ell_3\sp{1.5},\,$ et finir par le cas : $\,\ell_1 < \ell_2 < \ell_3\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient dans tous les cas : $\,\lim x {+\I}\,\mu(f_1,f_2,f_3)(x)=\mu(\ell_1,\ell_2,\ell_3)\sp{1.5}.\,$
correction
Selon la définition des
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
limites finies
, on a pour $\,i=1,\sp{1.5}2,\sp{1.5}3:\,$
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex A_i\app\bb R,\,\ptt x\app\bb R,\,\big(\sp{1.5}x \geq A_i\!\Imp\!|f_i(x)-\ell_i| \leq \eps\,\big)$
Soit $\,A=\max(A_1,A_2,A_3)\,$ le
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
plus grand
des $A_i\,;$ pour $\eps > 0$ fixé, on a par définition de la
La valeur absolue de $\,x\app\bb R\,$ est : $\,|x|=\max(x,-x)\sp{1.5};\,$ on a alors :
valeur absolue :
- $\,\ptt(x,y)\app\bb R^2,\ |x\sp{1.5}y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|\,|y|\,;\,$
- $\,\ptt(x,y)\app\bb R\times\bb R^{\ast},\ |x/y|\sp{-1.5}=\sp{-1.5}|x|/|y|\,;\,$
- pour $\,a,r,x\app\bb R:\,$ $\,|x-a|\leq r\Ssi a-r\leq x\leq a+r\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}x\geq A\Imp \ptt i\app\,\{1,2,3\},\ \big(\sp{1.5}\ell_i-\eps\leq f_i(x)\leq\ell_i+\eps\sp{1.5}\big)$
- Lorsque $\,\ell_1=\ell_2 = \ell_3=\ell\sp{1.5},\,$ pour $x\geq A$ tous les $f_i(x)$ appartiennent à $\,[\sp{1.5}\ell-\eps,\ell+\eps\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}x \geq A\Imp\big|\mu\big(f_1(x),f_2(x),f_3(x)\big)-\ell\big| \leq \eps$On en déduit que : $\,\lim x {+\I}\,\mu(f_1,f_2,f_3)(x)=\ell=\mu(\ell,\ell,\ell)\sp{1.5}.\,$
- Lorsque $\,\ell_1 < \ell_2\leq\ell_3\sp{1.5},\,$ pour $\,\eps=\dfrac{\ell_2-\ell_1}2\sp{1.5},\,$ on a :
$\,\ell_1+\eps=\dfrac{\ell_1+\ell_2}2=\ell_2-\eps\leq\ell_3-\eps\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\sth4 \stb5 x\geq \max(A_1,A_2)\Imp\Syst{ f_1(x)\leq\smh0{\frac{\ell_1+\ell_2}2}\,\sp{1.5}\leq f_2(x)\\[-.5ex]f_1(x)\leq\smb0{\frac{\ell_1+\ell_2}2}\,\sp{1.5}\leq f_3(x)}$On a ainsiSoient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :au voisinage de $+\I:$ $\,\mu\big(f_1(x),f_2(x),f_3(x)\big)=\min\big(f_2(x),f_3(x)\big),\,$ d'où des
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
- $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$
Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$ Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$ ou si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :limites égales :$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$$\displaystyle{}\lim x {+\I}\,\mu(f_1,f_2,f_3)(x)=\lim x {+\I}\min(f_2,f_3)(x)$- Si $\,\ell_1 < \ell_2=\ell_3\sp{1.5},\,$ on raisonne comme dans le cas $\,\ell_1=\ell_2 = \ell_3\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\lim x {+\I}\min(f_2,f_3)(x)=\ell_2=\ell_3$
- si $\,\ell_1 < \ell_2 < \ell_3\sp{1.5},\,$ on pose cette fois $\,\eps=\dfrac{\ell_3-\ell_2}2\sp{1.5},\,$ si bien qu'au voisinage de $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}\min\big(f_2(x),f_3(x)\big)=f_2(x)$
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Exercice d
Démontrer que la fonction $\,x\mapsto\sqrt{x}\,$ est continue sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ et déterminer sa limite en $\,+\I\sp{1.5}.\,$
limite finie en un point d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
limite finie à l'infini d'une fonction numérique
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie en un point d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R,\ \iex\delta >0,\ \ptt x\app I,\ \big(|x-a| \leq \delta \Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\,\lim x a f(x)=+\I\,$ ou $\,f(x)\tend x a +\I.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} A\,$ au lieu de $\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
limite infinie à l'infini d'une fonction réelle
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
indication
Utiliser la définition d'une limite en $a$ en distinguant les cas $\,a > 0\sp{1.5},\,$ $\,a=0\,$ et $\,a=+\I\sp{1.5}.\,$
réponse
$\,x\mapsto\sqrt x\,$ est bien continue sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ et on a aussi : $\,\lim x {+\I}\sqrt x=+\I\sp{1.5}.\,$
correction
Par définition, cette fonction est
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$
Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$
continue
en $\,a\geq 0\,$
si et seulement si $\,\stb{1.5}\lim x a \sqrt x = \sqrt a\sp{1.5}.\,$
Cela signifie, selon la définition des
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ avec $a\app I$ ou $a$ extrémité de $I.$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,a\,$ ssi :
limites finies,
que pour tout $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ il existe un réel $\,\delta >0\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\,\iex\delta >0,\,\ptt x\app I,\,\big(|x-a| \leq \delta\!\Imp\! |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite $\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\,\lim x a f(x)=\ell\,$ ou $\,f(x)\tend x a \ell\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\geq0,\ \smb0{\big(\sp{1.5}|x-a|\leq\delta\Imp\big|\sqrt x -\sqrt a\big|\leq\eps\sp{1.5}\big)}$
-
Pour $\,a > 0,\,$ et $x\geq0\sp{1.5},$ on obtient l'expression conjuguée de $\,\sqrt x -\sqrt a\,$ par la
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :factorisation :$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$$\displaystyle{}x-a=\big(\sqrt x\big)^2\!-\sp{-1.5}\big(\sqrt a\big)^2\!=\big(\sqrt x -\sqrt a\big)\big(\sqrt x +\sqrt a\big)$En multipliant haut et bas $\,\smh1{\dfrac{\sqrt x -\sqrt a}1}\,$ par $\,\sqrt x +\sqrt a\,$ et enL'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :inversant l'inégalité : $\,\sqrt x +\sqrt a\geq \sqrt a\sp{1.5},\,$ on obtient :
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
$\displaystyle{}\big|\sqrt x -\sqrt a\big|=\dfrac{|x-a|}{\sqrt x +\sqrt a}\leq\dfrac{|x-a|}{\sqrt a}$Il s'ensuit qu'il existe bien pour tout $\,\eps > 0\,$ fixé un $\,\delta=\eps\sp{1.5}\sqrt a > 0\,$ tel que, pour tout $\,x\geq0:\,$$\displaystyle{}|x-a|\leq\delta=\eps\sp{1.5}\sqrt a\Imp \big|\sqrt x -\sqrt a\big|\leq\smb1{\frac{|x-a|}{\sqrt a}}\leq\eps$ - Pour $\,a=0,\,$ on pose pour tout $\,\eps > 0\,$ fixé : $\,\delta=\eps^2,\,$ si bien que, pour tout $\,x\geq0:\,$
$\displaystyle{}|x-0|\leq\delta=\eps^2\Imp \big|\sqrt x -\sqrt 0\big|\leq\eps$
- En effet, par
La relation d'ordre sur $\bb R_+$ est compatible avec le produit :produit d'inégalités strictes, on a l'implication
- $\,\big(\sp{1.5}0\leq a\leq a' \ \text{ et }\ 0\leq b\leq b'\sp{1.5}\big)\Imp 0\leq a\sp{1.5}b\leq a'\sp{1.5}b'\,;\,$
- $\,\big(\sp{1.5}0 < a \leq a'\txt{et}0 < b < b'\sp{1.5}\big)\Imp 0 < a\sp{1.5}b < a'\sp{1.5}b'\sp{1.5}.\,$
Toute implication entre deux propositions équivaut à sa contraposée : $\,\sp{50}\big(\sp{1.5}\sc A\sp{-1.5}\Imp\sp{-1.5} \sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big(\op{non}\sc B \Imp \op{non}\sc A\sp{1.5}\big)\,$contraposée : $\,\sqrt x >\eps\Imp x=\big(\sqrt x\big)^{\sp{-1.5}2}\!>\eps^2.\,$ - On peut aussi justifier cette implication par la croissance de la fonction
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$racine carrée.
- En effet, par
$\displaystyle{}\ptt x\geq0,\ \big(\sp{1.5}x\geq B=A^2 \Imp \sqrt x\geq A\sp{1.5}\big)$
Cela correspond à la définition d'une
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
limite infinie
en $\,+\I\sp{1.5};\,$ on a ainsi prouvé que : $\,\lim x {+\I}\sqrt x=+\I\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$