exercices de mathématiques - prépa et université

La famille $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ est une famille

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

génératrice de $E$ car, pour tout $\,u\app E:\,$ $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ est donc une base de $E$ par raison de

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille génératrice de $E$ a  au moins $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille génératrice de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

dimension.

Pour un entier $\,k\app\,[\![1,n]\!]\,$ fixé, on considère

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$

Les hyperplans de $E$  sont  les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$

l'hyperplan $H_k$ de $E$ engendré par la famille $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ privée du vecteur $\,e_k\sp{1.5}.\,$

Le

Dans un espace préhilbertien réel $E:$

• l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
• si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$

supplémentaire orthogonal $\,H_k^{\perp}\,$ de cet hyperplan est alors une droite telle que : On en conclut, par raison de

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

dimension, que : $\,H_k^{\perp}=\op{Vect}(e_k)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que chaque $e_k$ est orthogonal aux autres $e_i\sp{1.5}.$

Il s'ensuit que la base $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ est une base

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthogonale.

Enfin, pour chaque $\,k\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\,$ l'hypothèse initiale s'écrit : $\,e_k=\ps {e_k}{e_k}\sp{1.5}e_k=\|e_k\|^2e_k,\,$ d'où : $\,\|e_k\|=1\sp{1.5}.\,$

Finalement, la famille $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ est une base

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormale de $E\sp{1.5}.$

On considère d'abord la base

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

canonique de $\,\bb R_2[X]:\,$ $\,(E_0,E_1,E_2)=(1,X,X^2)\sp{1.5}.\,$

On va construire une base

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormale $\,(P_0,P_1,P_2)\,$ de $\,\bb R_2[X]\,$ par l'algorithme d'orthonormalisation de

Soit, dans un espace préhilbertien réel $E,$ une famille libre $(u_1,\dots,u_p)\,.$

Alors il existe dans $E$ une famille orthonormale $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ telle que :

$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\sp{-2.5}[1,p]\sp{-2.5}],\ \op{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\op{Vect}(u_1,\dots,u_k)$

$(e_1,\dots,e_p)$ se déduit de $(u_1,\dots,u_p)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt :

$\displaystyle{}u_k\ot u_k-\smh{1.5}{\tst{\sum}_{i=1}^{k-1}}\ps{e_i}{u_k}\sp{1.5}e_i,\txt{puis :}e_k=\dfrac{u_k}{\|u_k\|}$

Gram-Schmidt.

Il faut pour cela évaluer les normes et produits scalaires en calculant des

Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est  un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :

$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$

intégrales par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation :

• $\,Q_0=E_0=1,\,$ se normalise en $P_0$ avec :
  $\displaystyle{} \|Q_0\|^2=\!\dint_{-1}^1\!\d x=2\\ \ \txt{d'où :}P_0=\dfrac{Q_0}{\|Q_0\|}=\dfrac1{\sqrt2}$
• $\,Q_1=E_1-\ps{P_0}{E_1}\sp{1.5}P_0=X\,;\,$ en effet :
  $\displaystyle{}\ps{P_0}{E_1}=\frac1{\sqrt 2}\dint_{-1}^1x\d x=\frac1{\sqrt 2}\bigg[\dfrac{x^2}{2}\bigg]_{-1}^1\!\!=0$
  On normalise alors $Q_1$ en $P_1$ avec :
  $\eqalign{\|Q_1\|^2=&\dint_{-1}^1x^2\,\d x=\bigg[\dfrac{x^3}{3}\bigg]_{-1}^1\!\!=\frac 23\\ \txt{d'où :}P_1=&\smb{1.5}{\smh{1.5}{\dfrac{Q_1}{\|Q_1\|}=\sqrt{\dfrac 32}\sp{1.5}X}}}$

• $\,Q_2=E_2-\ps{P_0}{E_2}\sp{1.5}P_0-\ps{P_1}{E_2}\sp{1.5}P_1=X^2-\smh0{\dfrac13}\,;\,$ en effet :
  $\eqalign{\ps{P_0}{E_2}&=\frac1{\sqrt 2}\dint_{-1}^1x^2\d x=\frac1{\sqrt 2}\bigg[\frac{x^3}3\bigg]_{-1}^1\!\!=\dfrac{\sqrt2}{3} \\ \ps{P_1}{E_2}&=\sqrt{\dfrac 32}\dint_{-1}^1x^3\d x=\bigg[\dfrac{x^4}{4}\bigg]_{-1}^1\!\!=0}$
  On normalise ensuite $Q_2$ en $P_2$ avec :
  $\eqalign{\|Q_2\|^2=&\dint_{-1}^1\Big(x^2-\frac13\Big)^{\!2}\d x=\\ =&\dint_{-1}^1\Big(x^4-\frac{2\sp{1.5}x^2}3+\frac19\Big)^{\!2}\d x\\[-.5ex] =&\bigg[\frac{x^5}{5}-\frac{2\sp{1.5}x^3}9+\frac{x}9\bigg]_{-1}^1\!\!=\dfrac 8{45}\\ \txt{d'où :}P_2=&\dfrac{Q_2}{\|Q_2\|}=\dfrac12\sqrt{\dfrac52}\sp{1.5}\big(3\,X^2-1\big)}$

On obtient finalement pour base orthonormale de $\bb R_2[X]:$

Les

Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :

• $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
• $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
• $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$

On en déduit les formules en $\,(a-b)\,$ par parité et imparité.

formules d'addition nous donnent, pour $\,k\neq\ell,\,$ la linéarisation : On a donc : $\,c_k\,c_{\ell}=\smh0{\dfrac12\big(c_{k+\ell}+c_{k-\ell}\big)}\sp{1.5},\,$ et on calcule alors le

Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est  un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :

$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$

produit scalaire $\,\ps{c_k}{c_{\ell}}\,$ par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation :

Ceci nous prouve que la famille $(c_0,\dots,c_n)$ est

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthogonale ; on a de plus : Avec $\,e_0=\dfrac{c_0}{\sqrt{2\sp{1.5}\pi}}\,$ et $\,e_k=\dfrac{c_k}{\sqrt{\pi}}\,$ pour $k\neq0,$ on obtient une famille $(e_0,\dots,e_n)$

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormale et donc libre.

Cette famille est alors

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

une base du  

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

sous-espace vectoriel $\op{Vect}(c_0,\dots,c_n)$ $\,=F_n\sp{1.5},\,$ de dimension $\,n+1\sp{1.5}.\,$

Montrons par une

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big((P(n_0)\!\txt{et}\!\!\dots\!\!\txt{et}\!P(n))\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence forte que, pour tout $n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5}:$  $\,\op{Vect}(\gamma_0,\dots,\gamma_n)=F_n\sp{1.5}.\,$

• On a d'abord $\,c_0=\gamma_0:x\mapsto 1,\,$ et donc : $\,\op{Vect}(\gamma_0)=\op{Vect}(c_0)=F_0\sp{1.5}.\,$
• On suppose ensuite que pour tout entier $\,k\,$ entre $0$ et $n:$  $\,\op{Vect}(\gamma_0,\dots,\gamma_k)=F_k\sp{1.5}.\,$
  Il s'agit alors d'en déduire que :  $\,\op{Vect}(\gamma_0,\dots,\gamma_{n+1})=\op{Vect}(c_0,\dots,c_{n+1})=F_{n+1}\sp{1.5}.\,$

D'après l'hypothèse de récurrence, il existe $\,(\lambda_0,\dots,\lambda_n)\app\bb R^{n+1}\,$ tel que : $\,\gamma_n=\lambda_0\sp{1.5}c_0+\cdots+\lambda_n\sp{1.5}c_n\sp{1.5},\,$ d'où : Avec $\,\lambda_n=0\sp{1.5},\,$on aurait $\,\gamma_n\app F_{n-1}\,$ et $\,F_n=\op{Vect}(\gamma_0,\dots,\gamma_n)\subset F_{n-1}\sp{1.5},\,$ ce qui est exclu du fait des

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ avec $\,F\subset G\sp{1.5}.\,$

Si $\,G\,$ est de dimension finie,  alors $\,F\,$ est de dimension finie, avec :

$\displaystyle{}\dim(F)\leq \dim(G)$

dimensions.

• On a alors : $\,\gamma_{n+1}-\smh1{\dfrac{\lambda_n}2}\,c_{n+1}\,\app F_n\sp{1.5},\,$ d'où
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  l'inclusion : $\,F_n\oplus\op{Vect}(\gamma_{n+1})\subset F_n\oplus\op{Vect}(c_{n+1})\sp{1.5},\,$
• ainsi que :  $\,c_{n+1}-\smb{1.5}{\dfrac2{\lambda_n}}\,\gamma_{n+1}\app F_n\sp{1.5},\,$ d'où réciproquement : $\,F_n\oplus\op{Vect}(c_{n+1})\subset F_n\oplus\op{Vect}(\gamma_{n+1})\sp{1.5}.\,$

On termine donc la preuve par récurrence avec cette double inclusion, qui établit

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

l'égalité :

Finalement, la famille $\,\Big(\dfrac{c_0}{\sqrt{2\sp{1.5}\pi}},\dfrac{c_1}{\sqrt{\pi}}\dots,\dfrac{c_n}{\sqrt{\pi}}\Big)\,$ est une base orthonormale du sous-espace $\,\op{Vect}(\gamma_0,\dots,\gamma_n)\sp{1.5}.\,$

Le procédé de

Soit, dans un espace préhilbertien réel $E,$ une famille libre $(u_1,\dots,u_p)\,.$

Alors il existe dans $E$ une famille orthonormale $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ telle que :

$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\sp{-2.5}[1,p]\sp{-2.5}],\ \op{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\op{Vect}(u_1,\dots,u_k)$

$(e_1,\dots,e_p)$ se déduit de $(u_1,\dots,u_p)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt :

$\displaystyle{}u_k\ot u_k-\smh{1.5}{\tst{\sum}_{i=1}^{k-1}}\ps{e_i}{u_k}\sp{1.5}e_i,\txt{puis :}e_k=\dfrac{u_k}{\|u_k\|}$

Gram-Schmidt appliqué à la base

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

canonique de $\bb R_n[X]$ nous fournit une base

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthonormale $(E_0,\dots,E_n)$ de $\bb R_n[X]$ à degrés

Des polynômes $\,P_0,\dots,P_n\,$ de $\,\bb K[X]\,$ tels que $\, \deg(P_k)=k\,$ sont dits échelonnés en degrés.

Dans ces conditions, $\,(P_0,\dots,P_n)\,$ est une base de $\bb K_n[X].$

échelonnés.

En divisant chaque $E_k$ par son coefficient dominant, on obtient une base orthogonale $(P_0,\dots,P_n)$ de $\bb R_n[X],$ formée de polynômes de coefficients dominants $1$ tels que : $\,\ptt k\leq n,\,\deg(P_k)=k\sp{1.5}.\,$

Pour tout entier $k$ fixé entre $2$ et $n,$ la

Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :

$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$

division euclidienne de $P_k$ par $P_{k-1}$ s'écrit :

D'après les degrés et coefficients dominants, il existe $\alpha\app\bb R$ et $(\beta_0,\dots,\beta_{k-2})\app\bb R^{k-1}$ tels que :

Pour tout $\,\ell\leq k-1,\,$ on développe $\ps{P_k}{P_{\ell}}$ par

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

bilinéarité du produit scalaire :

En développant $\,\ps{R_k}{P_{\ell}}=\beta_{k-2}\sp{1.5}\ps{P_{k-2}}{P_{\ell}}+\cdots+\beta_0\sp{1.5}\sp{1.5}\ps{P_0}{P_{\ell}}\sp{1.5},\,$ on obtient :

• pour $\,\ell=k-1:\,$  $\,\ps{R_k}{P_{k-1}}=0\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,\ps{X\sp{1.5}P_{k-1}}{P_{k-1}}+\alpha\sp{1.5}\|P_{k-1}\|^2\!=0\sp{1.5};\,$

• pour $\,\ell\leq k-2\sp{1.5}:\,$  $\,\ps{P_{k-1}}{P_{\ell}}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ et $\,\ps{R_k}{P_{\ell}}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\beta_{\ell}\sp{1.5}\|P_{\ell}\|^2\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\ps{X\sp{1.5}P_{k-1}}{P_{\ell}}+\beta_{\ell}\sp{1.5}\|P_{\ell}\|^2\!=\sp{-1.5}0\sp{1.5}.\,$

On en déduit : $\,\alpha=-\dfrac{\ps{X\sp{1.5}P_{k-1}}{P_{k-1}}}{\|P_{k-1}\|^2}\,$  et  $\,\beta_{\ell}=-\dfrac{\ps{X\sp{1.5}P_{k-1}}{P_{\ell}}}{\|P_{\ell}\|^2}\,$  pour tout $\,\ell\leq k-2\sp{1.5}.\,$

De plus, lorsque $\,\ell\leq k-3\sp{1.5},\,$ on a : $\,\,X\sp{1.5}P_{\ell}\,\app\,\bb R_{k-2}[X]\perp P_{k-1},\,\,$ si bien que $\,\beta_{\ell}=0\sp{1.5},\,$ car :

En conclusion, on a établi que : $\,\,P_k=(X-\alpha)\sp{1.5}P_{k-1}+\beta\sp{1.5}P_{k-2},\,\,$ avec :