exercices de mathématiques - prépa et université

Soit $\,\phi:E\to\bb R,\,$ définie par : $\,\ptt f\app E,\ \phi(f)=f(0)\sp{1.5};\,$ cette application $\phi$ est

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéaire, car pour tous $\,f,g\app E,\ \alpha,\beta\app\bb R:\,$ Avec $\,\phi(h)=1\neq0\,$ pour $\,h:t\mapsto 1\sp{1.5},\,$ $\phi$ est une

Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$  est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$

forme linéaire non nulle, si bien que $H$ est un

Un hyperplan d'un espace vectoriel $E$  est  le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E\sp{1.5}.$

hyperplan en tant que noyau de $\phi\sp{1.5}.$

Étant donné un élement $\,g\,$ de $H^{\perp},$  on considère la fonction continue $\,f:\syst{\ [-1,1]&\to\bb R\,,\\[-.5ex] x\ \ &\mapsto x^2\sp{1.5}g(x)\,.}\,$

On a alors $\,f\app H\sp{1.5}\,$ car $\,f(0)=0,\,$ si bien que par

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

définition de $H^{\perp},$ $f$ est orthogonale à $\,g\sp{1.5},\,$ d'où : La fonction $\,x\mapsto x^2g(x)^2\,$ est

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

continue et positive, et elle a une intégrale nulle ; elle est donc

Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue  avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$

nulle sur $\,[-1,1]\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que : $\,\ptt x\neq 0,\ g(x)=0\,,\,$ d'où par

$\,f:I\to\bb K\,$ est  continue en $\,a\app I\,$ ssi  elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$

Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$

$\sc C(I,\bb K)$  est  l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$

continuité de $g:$ $\,g(0)=\lim x0 g(x)=0\sp{1.5},\,$ soit enfin : $\,g=0\sp{1.5}.\,$

Reciproquement, on a bien $\,0\app H^{\perp}\,;\,$ on a ainsi établi que : $\,H^{\perp}=\{0\}\!\cdot\,$

Si $E$ était de dimension finie $\,n\sp{1.5},\,$ $H$ serait de

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$

Les hyperplans de $E$  sont  les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$

dimension $n-1\sp{1.5}$ et son

Dans un espace préhilbertien réel $E:$

• l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
• si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$

orthogonal $\,H^{\perp}\sp{1.5},\,$ de

Soit $F$ un sous-espace d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n\,.$

Pour tout supplémentaire $G$ de $F,$ on a :  $\,\dim(G)=n-\dim(F)\sp{1.5}.\,$

dimension $\,n-(n-1)=1\,,\,$ serait une droite.

Ce serait en contradiction avec notre résultat ; l'espace $E$ est donc de dimension infinie.

Remarquons d'abord que pour $\,A\subset E\,$ et$\,B\subset E\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\subset B\Imp B^{\perp}\subset A^{\perp}\,.\,$

En effet, en supposant que : $\,A\subset B\sp{1.5},\,$ et en considérant un vecteur $\,v\,$ de $E\sp{1.5},$ on obtient alors : Par définition de

Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

$\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$

l'orthogonal, on a donc : $\,v\app B^{\perp}\Imp v\app A^{\perp},\,$ ce qui signifie

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

l'inclusion : $\,B^{\perp}\subset A^{\perp}.\,$

Ainsi :$\,\Syst{F_1\subset(F_1+F_2)\\F_1\subset(F_1+F_2)}\ \Imp\Syst{(F_1+F_2)^{\perp}\subset F_1^{\perp}\\[-.5ex](F_1+F_2)^{\perp}\subset F_2^{\perp}}\ \,$ d'où : $\,(F_1+F_2)^{\perp}\subset F_1^{\perp}\cap F_2^{\perp}.\,$

Réciproquement, pour tout $u\app F_1^{\perp}\cap F_2^{\perp},$ et pour tous $v_1\app F_1,$ $v_2\app F_2,$ on a par

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

bilinéarité du produit scalaire :

Ceci prouve que : $\,F_1^{\perp}\cap F_2^{\perp}\subset(F_1+F_2)^{\perp},\,$ d'où finalement

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

l'égalité :

On remarque ensuite que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E,$ on a :

On en déduit : $\,F\subset(F^{\perp})^{\perp}\sp{1.5};\,$ $E$ étant euclidien, il est de dimension $n$ finie, et $(F^{\perp})^{\perp}$ est

Dans un espace préhilbertien réel $E:$

• l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
• si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$

supplémentaire de $\,F^{\perp}\sp{1.5},\,$ de

Soit $F$ un sous-espace d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n\,.$

Pour tout supplémentaire $G$ de $F,$ on a :  $\,\dim(G)=n-\dim(F)\sp{1.5}.\,$

dimension : Ceci nous prouve, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E,$

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

l'égalité :  $\,(F^{\perp})^{\perp}=F.\,$

On applique alors ce principe à l'égalité déjà obtenue pour l'orthogonal d'une somme :

On obtient finalement une égalité en passant aux orthogonaux :

Par définition de la

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

norme et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire, on remarque que si $\,\|u_i\|=\|u_j\|=1,\,$ on a alors :

On procède alors par

Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

• $P(n_0)$ soit vraie,
• et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$

récurrence sur $n\geq1$ pour établir la propriété demandée :

• Toute droite euclidienne possède un vecteur unitaire $u_1$ qui en forme une base.
• On suppose ensuite que tout espace euclidien de dimension $\,n-1\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}1\,$ contient une telle base $(u_1,\dots,u_{n-1})\sp{1.5}.$
  On cherche alors à étendre cette propriété à un espace de dimension $n\sp{1.5}.$

Soit alors, dans $E$ euclidien de dimension $\,n\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}2,\,$ un

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$

Les hyperplans de $E$  sont  les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$

hyperplan $H,$ engendré par les $n-1$ premiers vecteurs d'une base.

Selon l'hypothèse de récurrence et la remarque initiale, $H$ possède une base $(u_1,\dots,u_{n-1})$ formée de vecteurs tels que : Il s'agit alors, pour terminer cette récurrence, de trouver un vecteur $u_n\app E$ tel que : Pour ce faire, on considère un vecteur unitaire $e_n$ engendrant le

Dans un espace préhilbertien réel $E:$

• l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
• si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$

supplémentaire orthogonal $H^{\perp}$ de $H\sp{1.5}.$

Ce vecteur complète la base $\,(u_1,\dots,u_{n-1})\,$ de $H$ en une base $\,(u_1,\dots,u_{n-1},e_n)\,$ de $E.$

On commence par rechercher un vecteur $\,u_n=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_{n-1}\sp{1.5}u_{n-1}+\beta\sp{1.5}e_n\,$ tel que pour tout $\, i\app\,[\![1,n-1]\!]:\,$ On a pour tout $\, i\app\,[\![1,n-1]\!]:\,$ $\,\ps{u_i}{u_j}=\dfrac12\txt{si}i\neq j,\,$ $\,\ps{u_i}{u_i}=1\,$ et $\,\ps{u_i}{e_n}=0\sp{1.5}.\,$

On a une solution évidente de ce système d'équations pour $\,\alpha_1=\cdots=\alpha_{n-1}=\dfrac1n\,,\,$ d'où :

On sait aussi que pour $\,s=u_1+\cdots+u_{n-1}\,$ avec $\,\|u_i\|=1\sp{1.5},\,$ on a par

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

inégalité triangulaire : $\,\|s\|\leq n-1\sp{1.5}.\,$

On en déduit l'existence de $\beta$ tel que $\,\|u_n\|=1\,$ par le théorème de

Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ deux vecteurs $u$ et $v\sp{1.5}.$

On a alors le Théorème de Pythagore :

$\displaystyle{}u\perp v\Ssi \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$

Pythagore : La famille $\,(u_1,\dots,u_n)\,$ est déduite de la base $\,(u_1,\dots,u_{n-1},e_n)\,$ de $E$ par deux

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel et $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p.\,$

$\op{Vect}(\sc U)$ et $\op{rg}(\sc U)$ sont inchangés par les opérations élémentaires :

• $\,u_k\ot u_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}u_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\sp{1.5};\,$
• $\,u_i\tot u_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,u_k\ot \lambda\sp{1.5}u_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\,,\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}u_k\ot \lambda_k\sp{1.5}u_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}u_j$

opérations élémentaires : Il s'ensuit que c'est une famille

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel et $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p.\,$

$\op{Vect}(\sc U)$ et $\op{rg}(\sc U)$ sont inchangés par les opérations élémentaires :

• $\,u_k\ot u_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}u_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\sp{1.5};\,$
• $\,u_i\tot u_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,u_k\ot \lambda\sp{1.5}u_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\,,\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}u_k\ot \lambda_k\sp{1.5}u_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}u_j$

génératrice de $n$ vecteurs de $E,$ c'est-à-dire

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille génératrice de $E$ a  au moins $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille génératrice de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

une base de $E\sp{1.5}.$

On a donc bien établi par récurrence l'existence d'une base $\,(u_1,\dots,u_n)\,$ de $E$ telle que :