Sujet C.1.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz
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Exercice a
Pour tout $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ établir la majoration : $\,\ \dsum_{k=1}^n\sqrt k\,\leq\, n\,\sqrt{\dfrac{n+1}2}\cdot\,$
En déduire la nature de la série de terme général $\,w_n=\dfrac1{n^3}\dsum_{k=1}^n\sqrt k\,.\,$
inégalité de Cauchy-Schwarz
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
produit scalaire sur $\bb R^n$
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
produit scalaire sur ${\scr M}_n{\rm(}\bb R\rm)$
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!\!,$ $\,\sc M_n(\bb R)\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(A,B)\mapsto\ps AB=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\sp{-18}\dsum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\sp{-12}a_{i,j}\,b_{i,j}$
produit scalaire intégral sur ${\scr C}([a,b])$
Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
indication
Appliquer, dans l'espace $\,\bb R^n\,$ muni du produit scalaire usuel, l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $\,u\,$ et $\,v\,$ de coordonnées respectives $\,u_k=1\,$ et $\,v_k=\sqrt k\,.\,$
réponse
On a bien, pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}:\,$ $\,\ \smb2{\dsum_{k=1}^n\sqrt k\,\leq\, n\,\sqrt{\dfrac{n+1}2}}\cdot\,$
Il s'ensuit que la série $\,\dsum\limits_{n\geq1}w_n\,$ converge pour $\,w_n=\dfrac1{n^3}\dsum_{k=1}^n\sqrt k\,.\,$
correction
Dans l'espace $\,\bb R^n\,$ muni du
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
produit scalaire
canonique, on considère les vecteurs $\,u\,$ et $\,v\,$ de coordonnées $\,u_k=1\sp{1.5},\,$ et $\,v_k=\sqrt k\sp{1.5},\,$ pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5}.\,$
Selon l'inégalité de
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
Cauchy-Schwarz,
on a :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
$\displaystyle{}\ps uv^2=\Big(\sum_{k=1}^n\sqrt k\Big)^{\!2}\!\leq\!\Big(\sum_{k=1}^n1^2\Big)\Big(\sum_{k=1}^n\big(\sqrt k\big)^2\!\Big)=n\Big(\sum_{k=1}^nk\Big)$
D'après l'expression de
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
la somme
des entiers de $1$ à $\,n\sp{1.5},\,$ on obtient : $\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\displaystyle{} \dsum_{k=1}^n\sqrt k\,\leq\sqrt{n\,\frac{n(n+1)}2}= n\,\sqrt{\dfrac{n+1}2}$
On en déduit un encadrement de $\,w_n\,$ et un
Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
$\,f\,$ est equivalente à $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$
équivalent
de son majorant :$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\delta(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\delta(x)=1$
On écrit : $\,{f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)}\sp{1.5},\,$ et si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=1$
$\displaystyle{}0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}w_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}\dfrac1{n^2}\sp{-1.5}\sqrt{\!\dfrac{n+1}2}=\frac{1}{n^{3/2}}\sqrt{\!\frac12\Big(1+\frac1n\Big)}\,\eq n{+\I}\frac1{\sqrt2\,n^{3/2}\!}$
La série $\dsum\limits_{n\geq1}w_n$ est donc convergente, par
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison
à une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
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Exercice b
Étant données deux matrices $A$ et $B$ réelles et symétriques d'ordre $n\app\bb N^{\ast},$ montrer l'inégalité relatives aux traces des matrices :
$\displaystyle{}\op{tr}(A\sp{1.5}B)^2\leq\op{tr}\!\big(A^2\big)\op{tr}\!\big(B^2\big)$
inégalité de Cauchy-Schwarz
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
produit scalaire sur $\bb R^n$
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
produit scalaire sur ${\scr M}_n{\rm(}\bb R\rm)$
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!\!,$ $\,\sc M_n(\bb R)\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(A,B)\mapsto\ps AB=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\sp{-18}\dsum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\sp{-12}a_{i,j}\,b_{i,j}$
produit scalaire intégral sur ${\scr C}([a,b])$
Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
indication
Vérifier que, pour $\,A\app\sc S_n(\bb R)\,$ et $\,B\app\sc S_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ $\,\op{tr}(A\sp{1.5}B)\,$ correspond à un produit scalaire.
réponse
pour $\,A\app\sc S_n(\bb R)\,$ et $\,B\app\sc S_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ on a bien : $\,\op{tr}(A\sp{1.5}B)^2\leq\op{tr}\!\big(A^2\big)\sp{1.5}\op{tr}\!\big(B^2\big)\sp{1.5}.\,$
correction
Pour $A\app\sc S_n(\bb R)$ et $B\app\sc S_n(\bb R),$ on peut identifier $\op{tr}(A\sp{1.5}B)$ à un produit scalaire :
- soit en remarquant que, avec $\,A^T=A,\,$ on a : $\,\op{tr}(A\sp{1.5}B)=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)\sp{1.5}.\,$
Sachant que $\,(A,B)\mapsto\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\ps AB\,$ définit un
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!\!,$ $\,\sc M_n(\bb R)\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :produit scalaire sur $\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},$ on a alors : $\,\op{tr}(A\sp{1.5}B)=\ps AB\,;\,$$\displaystyle{}(A,B)\mapsto\ps AB=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\sp{-18}\dsum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\sp{-12}a_{i,j}\,b_{i,j}$
- soit en explicitant
La trace de $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est la somme de ses termes diagonaux :la trace $\,\op{tr}(A\sp{1.5}B)\sp{1.5},\,$ grâce aux relations $\,b_{j,i}=b_{i,j},\,$ en posant $\,AB=\big[c_{i,j}\big]:\,$$\displaystyle{}\op{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{i,\sp{1.5}i}$$\eqalign{\op{tr}(A\sp{1.5}B)\ &=\ \smh{1.5}{\sum_{i=1}^nc_{i,i}\ =\ \sum_{i=1}^n\bigg(\sum_{j=1}^na_{i,j}\,b_{j,i}\bigg)}\\[-.5ex] &={\!\!\!\sum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\!\!a_{i,j}\,b_{j,i}=\!\!\!\sum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\!\!a_{i,j}\,b_{i,j}}=\ps AB}$où $\,\ps AB\,$ désigne le$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :produit scalaire canonique de $\,\bb R^{(n^2)}\,$ lorsqu'on identifie $\,\sc M_n(\bb R)\,$ à $\,\bb R^{(n^2)}.\,$$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement : $\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
Cauchy-Schwarz :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
$\displaystyle{}\op{tr}(A\sp{1.5}B)^2=\ps AB^{\!2}\leq\|A\|^2\|B\|^2=\op{tr}\!\big(A^2\big)\op{tr}\!\big(B^2\big)$
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Exercice c
$E$ désignant l'ensemble des fonctions réelles de classe $\sc C^1$ sur $[0,1]\sp{1.5},$ on considère l'ensemble suivant :
$\displaystyle{}\Omega=\Ens{\smh{1.5}{\sp{1.5}\dint_0^1\big(f'(t)\big)^{\!2}}\sp{-1.5}\d t}{f\app E \txt{et}f(0)=0\txt{et}f(1)=1}$
Déterminer un minorant de $\Omega,$ puis établir que $\Omega$ est un intervalle à préciser.
inégalité de Cauchy-Schwarz
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
produit scalaire sur $\bb R^n$
$\,\bb R^n\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(u,v)\mapsto\ps uv=\smh{1.8}{\dsum_{k=1}^n}u_k\sp{1.5}v_k$
En identifiant $\bb R^n$ à $\sc M_{n,1}(\bb R),$ on a matriciellement :
$\,\ps uv=u^T\sp{-1.5}v\sp{1.5}.\,$
produit scalaire sur ${\scr M}_n{\rm(}\bb R\rm)$
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!\!,$ $\,\sc M_n(\bb R)\,$ est un espace euclidien, muni du produit scalaire canonique :
$\displaystyle{}(A,B)\mapsto\ps AB=\op{tr}(A^T\sp{-1.5}B)=\sp{-18}\dsum_{(i,j)\app\,[\sp{-2.5}[1,n]\sp{-2.5}]^2}\sp{-12}a_{i,j}\,b_{i,j}$
produit scalaire intégral sur ${\scr C}([a,b])$
Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
indication
1
Pour $\,f\app\sc C^1([0,1],\bb R),\,$ appliquer dans l'espace $\sc C([0,1],\bb R)$ muni du produit scalaire intégral, l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions $f'$ et $\,g:t\mapsto 1\,.\,$
indication
2
Considérer les fonctions $\,f_{\alpha}:t\mapsto t^{\alpha},\,$ pour $\,\alpha \geq 1,\,$ et calculer les $\,\dint_0^1\!\!\big(f_{\alpha}'(t)\big)^{\!2}\sp{-1.5}\d t.\,$
réponse
On obtient d'abord que l'ensemble $\Omega$ est minoré par $\,1\sp{1.5},\,$ puis finalement que : $\,\Omega=[\sp{1.5}1,+\I[\,.\,$
correction
Pour $f$
$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$
$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
de classe $\sc C^1$
sur $[0,1]\sp{1.5},$ on considère, dans l'espace $\sc C([0,1],\bb R)$ muni du
Pour $a < b\sp{1.5},$ $\,\sc C([a,b],\bb R)\,$ est un espace préhilbertien réel, muni du produit scalaire intégral :
produit scalaire
intégral, les fonctions $\,f':t\mapsto f'(t)\,$ et $\,g:t\mapsto 1\,;\,$ on a alors :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
$\eqalign{ \ps {f'\sp{-1.5}}{g}&=\int_0^1f'(t)\d t=\big[f(t)\big]_0^1=f(1)-f(0)=1\\[-.5ex]
\txt{et :}\|f'\|^2&=\int_0^1\!\!\big(f'(t)\big)^{\!2}\sp{-1.5}\d t\ \txt{et}\ \|g\|^2=\int_0^1\!\d t=1}$
L'inégalité de
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
Cauchy-Schwarz
nous prouve alors que $1$ minore $\Omega,$ c'est-à-dire
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu ssi le couple $(u,v)$ est lié.
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\,\Omega\subset[\sp{1.5}1,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}1=\ps {f'\sp{-1.5}}{g}^{\!2}\leq\|f'\|^2\sp{1.5}\|g\|^2=\int_0^1\!\!\big(f'(t)\big)^{\!2}\sp{-1.5}\d t$
Pour montrer qu'on a réciproquement : $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,\subset \Omega,\,$ on définit les fonctions $\,f_{\alpha}:t\mapsto t^{\alpha}\,$ pour $\,\alpha \geq 1\,.\,$
Ces $f_{\alpha}$ sont bien
Soit $\,\alpha\app\bb R\,$ et la fonction puissance $\,p_\alpha:x\mapsto x^{\alpha}.\,$ Alors $\,p_\alpha\app\sc C^\I(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\,$ et : $\, \ptt x >0,\ p_\alpha'(x)=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,\alpha \geq n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a de plus : $\,p_\alpha\app\sc C^n([\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
de classe $\sc C^1$
sur $[0,1],$ avec $\,f_{\alpha}(0)=0\,$ et $\,f_{\alpha}(1)=1\sp{1.5},\,$ et on a par
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivation :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
$\displaystyle{}\|f_{\alpha}'\|^2=\int_0^1\!\!\big(\alpha\;t^{\alpha-1}\big)^{\!2}\d t=\alpha^2\bigg[\frac{t^{2\sp{1.5}\alpha-1}}{2\sp{1.5}\alpha-1}\bigg]_0^1=\frac{\alpha^2}{2\sp{1.5}\alpha-1}$
La fonction
Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$
pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$
rationnelle :
$\,\phi:\alpha\mapsto\|f_{\alpha}'\|^2=\smb0{\dfrac{\alpha^2}{2\sp{1.5}\alpha-1}}\,$ est
- Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$
- Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$
Une fonction rationnelle $\,f\,$
est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$
continue
sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[,\,$ avec :
$\displaystyle{}\phi(1)=1\ \txt{et} \phi(\alpha)=\frac{\alpha^2}{2\sp{1.5}\alpha-1}\eq{\alpha}{+\I}\frac{\alpha}2\tend{\alpha}{+\I}+\I$
Par définition d'une
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$ On dit que $f$ admet $\,+\I\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
limite infinie,
l'ensemble $\,\Omega\,$ des valeurs de $\phi$ n'est donc pas majoré.
L'ensemble $\,\Omega\,$ est est donc
$\displaystyle{}\ptt A\app \bb R\sp{1.5},\ \iex B\app \bb R\sp{1.5},\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq B\Imp f(x)\geq A\big)$
On écrit alors : $\!\lim x {+\I} f(x)=+\I$ ou $\,f(x)\tend x {+\I} +\I\sp{1.5}.\,$
On définit aussi la limite $\,-\I\,$ avec $\,f(x)\!\leq\! A\,$ au lieu de $\,f(x)\!\geq\! A\sp{1.5}.\,$
Idem pour les limites $\,\pm\I\,$ en $\,-\I\sp{1.5},\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} B\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}B\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5}\,$ continue, l'image de l'intervalle $I$ est un intervalle.
un intervalle
contenant $1,$ et de borne supérieure $\,+\I\sp{1.5}.\,$
Ceci établit l'inclusion réciproque : $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,\subset \Omega,\,$ d'où finalement
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\,\Omega=[\sp{1.5}1,+\I[\,.\,$
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$