exercices de mathématiques - prépa et université

En développant $\,\|u+v\|^2\,$ et $\,\|u-v\|^2,\,$ on obtient, par définition de la

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

norme et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire :

On va utiliser l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace préhilbertien réel.

On considère dans $\,E\,$ un point $\,A\,$ et les points $\,B=A+u,\,$ $\,C=B+v=A+(u+v)\,$ et $\,D=A+v=B+(v-u)\sp{1.5}.\,$

Avec $\,\Vec{AB}=\Vec{DC}=u\sp{1.5},\,$ on obtient un

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ quatre points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C,\sp{1.5}D\,.$

$(A,B,C,D)$  est  un parallélogramme  ssi : $\,\Vec{\sp{-1.5}AB}=\Vec{DC}\sp{-1.5}.\,$

Cette condition équivaut aussi à : $\, m(A,C)=m(B,D)\sp{1.5}.\,$

parallélogramme $(A,B,C,D)$ où :

• $\,AC=\|u+v\|\,$ et $\,BD=\|v-u\|\,$ sont les longueurs des deux diagonales ;
• $\,AB=DC=\|u\|,\ BC=AD=\|v\|\,$ les longueurs des quatre côtés du parallélogramme.

L'identité du parallélogramme s'écrit alors :

$\,AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\,$

En développant $\,\|u+v\pm w\|^2\,$ puis $\,\|u-v\pm w\|^2,\,$ on obtient, par définition de la

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

norme et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire :

On obtient finalement la relation :

On va utiliser l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace préhilbertien réel.

On considère dans $\,E\,$ un point $\,A\,$ et les points $\,B=A+u,\,$ $\,C=B+v=A+(u+v)\,$ et $\,D=A+v=B+(v-u)\sp{1.5}.\,$

Étant donné que $\,\Vec{AB}=\Vec{DC}=u\sp{1.5},\,$ on obtient ainsi un

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ quatre points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C,\sp{1.5}D\,.$

$(A,B,C,D)$  est  un parallélogramme  ssi : $\,\Vec{\sp{-1.5}AB}=\Vec{DC}\sp{-1.5}.\,$

Cette condition équivaut aussi à : $\, m(A,C)=m(B,D)\sp{1.5}.\,$

parallélogramme $(A,B,C,D)\sp{1.5}.$

Avec $\,A'=A+w,\,$ $\,B\sp{1.5}'=B+w,\,$ $\,C\sp{1.5}'=C+w\,$ et $\,D\sp{1.5}'=D+w\sp{1.5},\,$ on définit un parallélépipède $(A,B,C,D,A',B\sp{1.5}',C\sp{1.5}',D\sp{1.5}')$ où :

• $AC\sp{1.5}', BD\sp{1.5}',CA'$ et $DB\sp{1.5}'$ sont les longueurs des quatre diagonales principales ;
• les autres distances correspondent aux longueurs des douze arêtes du parallélépipède.

L'identité obtenue s'écrit alors :

Le parallélépipède $\,(A,B,C,D,A',B\sp{1.5}',C\sp{1.5}',D\sp{1.5}')\,$

Si la famille $\,(u_1,\dots,u_p)\,$ est

Soit une famille $(u_i)_{i\app I}$ de vecteurs d'un espace préhilbertien réel.

• $(u_i)_{i\app I}$ est orthogonale  ssi :  $\,\ptt i,j\app I,\ \big(i\neq j\Imp u_i\perp u_j\big)\sp{1.5};\,$
• $(u_i)_{i\app I}$ est orthonormale  ssi elle est est orthogonale, avec :  $\,\ptt i\app I,\ \|u_i\|=1\sp{1.5}.\,$

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.

orthogonale, on sait que :  $\,i\neq j\Imp \ps{u_i}{u_j}=0\sp{1.5}.\,$

Par définition de la

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

norme et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire, on a donc :

• Lorsque $\,p=2,\,$ la réciproque de cette implication résulte du
  Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ deux vecteurs $u$ et $v\sp{1.5}.$

  On a alors le Théorème de Pythagore :

  $\displaystyle{}u\perp v\Ssi \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$
  théorème de Pythagore.

• Lorsque $\,p=3,\,$ la relation  $\,\|u_1+u_2+u_3\|^2=\|u_1\|^2+\|u_2\|^2+\|u_3\|^2\,$  équivaut à :
  $\displaystyle{}\ps{u_1}{u_2}+\ps{u_2}{u_3}+\ps{u_3}{u_1}=0$
  Pour un vecteur $\,u_1\,$ de norme $\,1\sp{1.5},\,$ avec $\,u_2=\alpha\sp{1.5}u_1\,$ et $\,u_3=\beta\sp{1.5}u_1,\,$ cette condition devient :
  $\displaystyle{}(\alpha+\alpha\sp{1.5}\beta+\beta)\,\|u_1\|^2=\alpha+\alpha\sp{1.5}\beta+\beta=0$
  Elle est par exemple vérifiée pour $\,\alpha=\beta=-2,\,$ avec cependant : $\,\ps{u_1}{u_2}=-2\neq0\,.\,$
  Ce contre-exemple nous prouve que la réciproque de l'implication établie est fausse.
  On pourrait aussi considérer un couple $\,(u_1,u_2)\,$ orthonormé et poser ensuite $\,u_3=u_1-u_2\,.\,$

  Cependant, ce contre-exemple ne peut s'envisager que si $\,E\,$ est de dimension au moins $\,2\,.\,$
• Lorsque $\,p > 3,\,$ on peut construire $\,u_1,\,u_2,\,u_3\,$ comme lorsque $\,p\sp{-1.5}=\sp{-1.5}3\sp{1.5}.\,$
  En les complétant par $\,u_4=\cdots=u_p=0\sp{1.5},\,$ on obtient encore un contre-exemple de cette réciproque.

Finalement, l'égalité :  $\,\|u_1+\dots+u_p\|^2=\|u_1\|^2+\cdots+\|u_p\|^2\,$  ne caractérise les familles orthogonales que dans le cas où $\,p=2\,.\,$

Pour $\,u_1,\dots,u_n\,$ tous de norme $\,1\,$ et au nombre d'au moins $\,2\sp{1.5},\,$ on a, par définition de la

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ la norme euclidienne est l'application :

$\displaystyle{}\syst{&E\to\bb R_+\\[-.5ex] &u\mapsto\|u\|=\smh0{\sqrt{\smh{0.15}{\ps u u}}}}$

Elle vérifie les propriétés de toute norme sur un $\bb R\tiret$espace vectoriel :

• $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\!:\,$ c'est l'inégalité triangulaire ;
• $\,\ptt u\app E,\ \ptt\lambda\app\bb R,\ \|\lambda\sp{1.5}u\|=|\lambda|\,\|u\|\,;\,$
• $\,\ptt u\app E,\ \big(\sp{1.5}\|u\|=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

norme et bilinéarité du

Un espace préhilbertien réel  est  un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.

Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :

• bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
  $\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
• symétrique :  $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
• positive :  $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
• définie :  $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$

Un espace euclidien  est  un espace préhilbertien réel de dimension finie.

produit scalaire :

On en déduit donc l'inégalité :  $\,\dsum_{1\leq i < j\leq n}\!\!\!\ps{u_i}{u_j}\geq-\dfrac n2\cdot\,$

Pour trois vecteurs unitaires $\,\sp{1.5}u_1\sp{1.5},\sp{1.5}u_2\,$ et $\,u_3\sp{1.5},\,$ on a ainsi la minoration : Avec des

Soient, dans un espace préhilbertien réel, deux vecteurs $u\neq0$ et $v\neq0\sp{1.5}.$

La mesure de l'angle non orienté de est l'unique réel $\,\smh0{\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}}\sp{1.5}\app\,[0,\pi]\,$ tel que :

$\displaystyle{}\cos\sp{1.5}\widehat{u,\sp{-1.5}v\sth0}=\ps {u_1}{v_1}\sp{1.5},\txt{pour} u_1=u/\|u\|\txt{et}v_1=v/\|v\|$

• $u$ et $v$ sont colinéaires  ssi :  $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}\app\big\{0,\pi\big\}\sp{1.5};\,$
• $u$ et $v$ sont orthogonaux  ssi :  $\,\smh0{\widehat{u,v\sth0}}={\pi}\sp{-1.5}/2\sp{1.5}.\,$

angles non orientés de mesures strictement supérieures à $\,{2\sp{1.5}\pi}\sp{-1.5}/3,\,$ on aurait, par stricte

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

décroissance du cosinus sur $\,[0,\pi]\,:\,$

On en déduirait donc, par

La relation d'ordre sur $\bb R$  est  compatible avec la somme :

• $\,\big(\sp{1.5}a\leq a' \ \text{ et }\ b\leq b'\sp{1.5}\big)\Imp a+b\leq a'+b'\,;\,$
• $\,\big(\sp{1.5}a\leq a' \ \text{ et }\ b < b'\sp{1.5}\big)\Imp a+b < a'+b'\sp{1.5}.\,$

somme d'inégalités strictes, que :

Cela contredit la minoration établie ; il n'existe donc pas dans $\,E\,$ trois vecteurs unitaires $\,\sp{1.5}u_1\sp{1.5},\,u_2\sp{1.5},\,u_3\sp{1.5},\,$ tels que :