Sujet C.1.1 Produits scalaires
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Exercice a
Soient $\,n\app\bb N\,$ et $\,x_0,\dots,x_n\,$ des réels deux à deux distincts ; on pose pour tout $\,(P,Q)\app(\bb R_n[X])^2:\,$
$\displaystyle{}\ps PQ=\sum_{k=0}^nP(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)$
Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur $\,E=\bb R_n[X]\sp{1.5}.\,$
produit scalaire
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
- bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
indication
Vérifier une à une les propriétés définissant un produit scalaire, en contrôlant le caractère défini de l'application : $\,(P,Q)\mapsto\dsum_{k=0}^nP(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)\sp{1.5}.\,$
réponse
L'application : $\,(P,Q)\mapsto\dsum_{k=0}^nP(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)\,$
définit bien un produit scalaire sur $\,E=\bb R_n[X]\sp{1.5}.\,$
correction
L'application $\,(P,Q)\mapsto\ps PQ=\dsum_{k=0}^nP(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)\,$ est bien un
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
produit scalaire,
car elle est : - bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
- symétrique, par
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est un anneau $(A,+,\times)$ ssi :commutativité du produit des réels d'où : $\,\ps PQ=\ps QP\,;\,$
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
- bilinéaire par
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est un anneau $(A,+,\times)$ ssi :distributivité du produit des réels :
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
$\eqalign{&\smh1{\sum_{k=0}^n}\big(\alpha\sp{1.5}P_1(x_k)+\beta\sp{1.5}P_2(x_k)\big)\sp{1.5}Q(x_k)\\=&\alpha\smh{1.5}{\sum_{k=0}^nP_1(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)+\beta\,\sum_{k=0}^nP_2(x_k)\sp{1.5}Q(x_k)}}$c'est-à-dire : $\,\ps{\alpha\sp{1.5}P_1+\beta\sp{1.5}P_2}{Q}=\alpha\ps{P_1}Q+\beta\ps{ P_2}Q\sp{1.5};\,$ - positive, car une somme de carrés de réels est positive : $\displaystyle{}\ptt P\app\bb R_n[X]\sp{1.5},\ \ps PP=\smh1{\smb2{\dsum_{k=0}^nP(x_k)^2}}\!\geq0$
- définie, car si une somme de carrés de réels est nulle, ils sont
Si une somme de réels positifs est nulle, alors ils sont tous nuls.tous nuls :$\displaystyle{}\smh{1.5}{\sum_{k=0}^n}P(x_k)^2\!=0\Imp\!\ptt k\app\,[\![0,n]\!]\sp{1.5},\ P(x_k)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0$Un polynôme non nul de $\bb R_n[X]$ ne peut pas avoirSoit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet au plus $\,p\,$ racines. Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$plus de $\,n\,$ racines ; on a donc bien : $\,\ps PP=0\Imp P=0\,.\,$
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Exercice b
Soit $\,q\,$ un polynôme non nul de $\,\bb R[X]\,;\,$ pour toutes fonctions réelles $f$ et $\,g\sp{1.5},\,$ continues sur un segment$\,[a,b]\sp{1.5}\,$ on pose :
$\displaystyle{}\ps fg=\int_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x$
Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire l'espace vectoriel $\,E=\sc C([a,b],\bb R)\,$ des fonctions continues sur $\,[a,b]\sp{1.5}.\,$
produit scalaire
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
- bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
indication
Vérifier une à une les propriétés définissant un produit scalaire, en contrôlant le caractère défini de l'application : $\,(f,g)\mapsto\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x\sp{1.5}.\,$
réponse
L'application : $\,(f,g)\mapsto\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x\,$
définit bien un produit scalaire sur $\,E=\sc C([a,b],\bb R)\sp{1.5}.\,$
correction
L'application $\,(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_a^bf(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x\,$ est bien un
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
produit scalaire,
car elle est : - bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
- symétrique, par
Soient un ensemble $\,\Omega\sp{1.5},\,$ un corps $\,\bb K\,$ et les opérations sur $\,\sc F(\Omega,\bb K):\,$commutativité du produit des fonctions, d'où : $\,\ps fg=\ps gf\,;\,$$\eqalign{\ptt x\app\Omega,\ (f+g)(x)= f(x)+g(x)\\[-.5ex]\ptt x\app\Omega,\ (f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\stb1}$Alors $\,\big(\sc F(\Omega,\bb K),+,\times\big)\,$ forme un anneau commutatif.
- bilinéaire, par
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est un anneau $(A,+,\times)$ ssi :distributivité du produit des réels et
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{-1.5}:\,$linéarité de l'intégrale :$\displaystyle{}\int_ a^b(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)(x)\d x\,=\,\alpha\!\int_a^b\!\!f(x)\d x+\beta\!\int_a^b\!\!g(x)\d x$$\eqalign{\smh{1.5}{\smb2{\int_a^b}}\!\!\big((\alpha\sp{1.5}f_1(x)+\beta\sp{1.5}f_2(x)&\!\sp{-1.5}\big)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x\\ =\alpha\smh1{\int_a^b}\!\!f_1(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x+\beta&\!\!\smh1{\int_a^b}\!\!f_2(x)\sp{1.5}g(x)\sp{1.5}q(x)^2\d x}$c'est-à-dire que : $\,\ps{\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2}{g}=\alpha\ps{f_1}g+\beta\ps{ f_2}g\sp{1.5};\,$ - positive par
Pour $\,f\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :positivité de l'intégrale d'un carré :$\displaystyle{}f\geq 0 \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\geq0$$\displaystyle{}\ptt f\app\sc C([a,b],\bb R)\sp{1.5},\ \ps ff=\smh1{\smb1{\int_a^b}}\!\!\big(f(x)\sp{1.5}q(x)\big)^{\!2}\d x\geq0$
- définie, car si la fonction $\,(f\sp{1.5}q)^2\sp{1.5},\,$ qui est
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :continue et positive, a une intégrale nulle, alors elle est
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :nulle sur $\,[a,b]:\,$$\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$$\displaystyle{}\!\!\smh{1.5}{\smb{1.5}{\int_a^b}}\!\!\big(f(x)\sp{1.5}q(x)\big)^{\!2}\!\d x\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\!\Imp\!\! \big(\!\ptt x\app[a,b],\,f(x)\sp{1.5}q(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\big)$$\,q\neq0\,$ n'ayant qu'un nombreSoit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet au plus $\,p\,$ racines. Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$fini de racines $\,x_1,\dots,x_m\,$ dans $\,[a,b]\sp{1.5},\,$ $f$ s'annule en tout $\,x\non\app\{x_1,\dots,x_m\}\!\cdot\,$ Par$\,f:I\to\bb K\,$ est continue en $\,a\app I\,$ ssi elle a une limite finie en $\,a\sp{1.5}.\,$ Cette limite est alors égale à $\,f(a):\,$ $\,\smb{.75}{\lim x a}f(x)=f(a)\sp{1.5}.\,$ $\sc C(I,\bb K)$ est l'ensemble des $\,f:I\to\bb K\,$ continues en tout $x\app I\sp{1.5}.$continuité de $f$ on a alors : $\,f(x_k)=\!\!\smb{1.5}{\lim x{x_k}\!f(x)}=0\,$ pour chacune de ces racines $x_k\sp{1.5},$ d'où finalement :$\displaystyle{}\ps ff=0\Imp f=0$
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Exercice c
Soit $\,E\,$ l'ensemble des fonctions réelles continues sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1]\,$ et de carré intégrable.
Démontrer que l'ensemble $\,E\,$ muni de l'application :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\int_0^1\!f(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
forme un espace préhilbertien réel.
produit scalaire
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
- bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
indication
1
Commencer par montrer que, pour $\,f,g\app E\sp{1.5},\,$ le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ et la somme $\,f+g\,$ appartiennent à $\,E\sp{1.5}.\,$
indication
2
Vérifier que $\,E\,$ forme bien un $\bb R\tiret$espace vectoriel, avant de contrôler que l'application $\,(f,g)\mapsto\dint_0^1f(x)\sp{1.5}g(x)\d x\,$ est un produit scalaire.
réponse
l'ensemble $\,E\,$ est un $\bb{R}\tiret$espace vectoriel, préhilbertien réel lorsqu'on le munit de l'application :
$\displaystyle{}(f,g)\mapsto\ps fg=\int_0^1\!f(x)\sp{1.5}g(x)\d x$
correction
Soient deux éléments $f$ et $\,g\,$ de $\,E\sp{1.5};\,$ on a, pour tout $\,x\app\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5},\,$ on a par
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
identité
remarquable :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{\big(\big|f(x)\big|-\big|g(x)\big|\big)^2&=f(x)^2+g(x)^2-2\sp{1.5}\big|f(x)\sp{1.5}g(x)\big|\geq0\\
\txt{d'où :}\ \big|f(x)\sp{1.5}g(x)\big|&\leq\frac12\big(f(x)^2+g(x)^2\big)}$
Par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
à une somme de fonctions intégrables, le produit $\,f\sp{1.5}g\,$ est
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Soit $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $\,I=\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ ou $\,I=[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,;\,$ alors :
$\,f\,$ est intégrable sur $\,I\,$ ssi $\,\dint_a^b\!\big|\sp{-1.5}f(x)\sp{-1.5}\big|\d x\,$ est convergente.
On note $\,L^1(I,\bb K)\,$ l'ensemble des $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ intégrable sur $\,I.\,$
intégrable
sur $\,]\sp{1.5}0,1]\,$ et le réel $\,\ps fg\,$ est donc bien défini.
Il s'ensuit, toujours par comparaison de fonctions intégrables, que pour $\,f,g\app E\,$ et $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la somme $\,f+g\,$ et le produit $\,\alpha\sp{1.5}f\,$ sont de carré intégrable, car :
$\displaystyle{}(f+g)^2=f^2+2\sp{1.5}f\sp{1.5}g+g^2\txt{et} (\alpha\sp{1.5}f)^2=\alpha^2f^2$
$E$ est donc un $\bb{R}\tiret$espace vectoriel, en tant que
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
de l'espace vectoriel $\,\sc{C}(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,1],\bb{R})\sp{1.5}.\,$
L'application $\,(f,g)\mapsto\ps fg=\dint_0^1f(x)\sp{1.5}g(x)\d x\,$ est bien un
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Un espace préhilbertien réel est un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire.
Il s'agit d'une application $\,(u,v)\mapsto\ps uv,\,$ de $E\!\times\! E$ vers $\bb R,$ qui soit à la fois :
produit scalaire,
car elle est :
- bilinéaire : pour tous $u,u',v, v'\app E$ et tous $\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\syst{\ps{\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}u'}v&=\alpha\sp{1.5}\ps uv+\beta\sp{1.5}\ps{u'}v\\[-.75ex] \ps u{\alpha\sp{1.5}v+\beta\sp{1.5}v'}&=\alpha\sp{1.5}\ps u v+\beta\sp{1.5}\ps u{v'}}$
- symétrique : $\,\ptt u,v\app E,\ \ps u v=\ps v u\sp{1.5};\,$
- positive : $\,\ptt u\app E,\ \ps uu\!\geq0\sp{1.5};\,$
- définie : $\,\ptt u\app E,\ \big(\ps uu=0\Imp u=0\sp{1.5}\big).\,$
- symétrique, par
Soient un ensemble $\,\Omega\sp{1.5},\,$ un corps $\,\bb K\,$ et les opérations sur $\,\sc F(\Omega,\bb K):\,$commutativité du produit des fonctions, d'où : $\,\ps fg=\ps gf\,;\,$$\eqalign{\ptt x\app\Omega,\ (f+g)(x)= f(x)+g(x)\\[-.5ex]\ptt x\app\Omega,\ (f\times g)(x)=f(x)\times g(x)\stb1}$Alors $\,\big(\sc F(\Omega,\bb K),+,\times\big)\,$ forme un anneau commutatif.
- bilinéaire, par
Un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes est un anneau $(A,+,\times)$ ssi :distributivité du produit des réels et
- $(A,+)$ est un groupe commutatif ;
- le produit est associatif : $\,\ptt(x,y,z)\app A^3,\ (x\,y)\sp{1.5}z=x\sp{1.5}(y\,z)\,;\,$
- $A$ contient un élément neutre $\,1_A\,$ pour le produit : $\,\ptt x\app A,\ x\, 1_A=x=1_A\, x\,;\,$
- le produit est distributif par rapport à la somme :
$\displaystyle{}\ptt(x,y,z)\app A^3,\ \syst{\,x\sp{1.5}(y+z)=x\sp{1.5} y+x\sp{1.5} z\\[-.5ex](y+z)\sp{1.5} x=y\sp{1.5}x+z\sp{1.5} x}$
Pour $\,\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{-1.5}:\,$linéarité de l'intégrale :$\displaystyle{}\int_ a^b(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)(x)\d x\,=\,\alpha\!\int_a^b\!\!f(x)\d x+\beta\!\int_a^b\!\!g(x)\d x$$\eqalign{&\smh{1.5}{\smb{2}{\int_a^b}}\!\!\big((\alpha\sp{1.5}f_1(x)+\beta\sp{1.5}f_2(x)\big)\sp{1.5}g(x)\d x\\ =&\alpha\smh1{\int_a^b\!\!f_1(x)\sp{1.5}g(x)\d x+\beta\alpha\int_a^b}\!\!f_2(x)\sp{1.5}g(x)\d x}$c'est-à-dire que : $\,\ps{\alpha\sp{1.5}f_1+\beta\sp{1.5}f_2}{g}=\alpha\ps{f_1}g+\beta\ps{ f_2}g\sp{1.5};\,$ - positive, par
Pour $\,f\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :positivité de l'intégrale de la fonction $f^2:$$\displaystyle{}f\geq 0 \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\geq0$$\displaystyle{}\ptt f\app E\sp{1.5},\ \ps ff=\smh1{\smb1{\dint_0^1}}\!\!\big(f(x)\big)^{\!2}\d x\geq0$
- définie car la fonction $f^2,$ étant continue, positive et d'intégrale nulle, est donc
Pour $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue et intégrable sur $I$ de bornes $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$nulle :$\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\!\!\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$$\displaystyle{}\smh1{\dint_0^1}\!\!\big(f(x)\big)^{\!2}\d x=0\!\Imp\! \big(\ptt x\app\,]\sp{1.5}0,1],\ f(x)=0\big)$c'est-à-dire que : $\,\ps ff=0\Imp f=0\,.\,$