exercices de mathématiques - prépa et université

Dans

Pour $n\app \bb{N}^{\ast},$ on obtient un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(\bb{K}^n,+,\sp{1.5}\cdot\,)\,$ en posant pour $\,x,y\app\bb K^n\,$ et $\,\lambda\app\bb K:\,$

$\eqalign{(x_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}x_n)+(y_1,\dots,y_n)&=(x_1+y_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}x_n+y_n)\\[-.5ex] \lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}(x_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}x_n)&=(\lambda\sp{1.5}.x_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}.x_n)}$

l'espace vectoriel $\,\bb R^3,\,$ tout élément de $E$ se décompose comme suit : Il s'ensuit que $E$ est le sous-espace vectoriel de $\bb R^3$

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

engendré par $(U,V,W)\sp{1.5}.$

Étant donné que $U+V+W=0\sp{1.5},$ la famille $(U,V,W)$ est

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

liée, avec plus précisément : En d'autres termes, $(U,V)$ est une famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$  ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$

Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$

génératrice de $E\sp{1.5}.$

$(U,V)$ est aussi une famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

libre, et donc une

Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$

$\,\sc B\,$ est une base de $E$  ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$

base de $E$ car :

Finalement, $E$ est un $\bb R\tiret$espace de dimension $2,$ c'est-à-dire un plan vectoriel de $\bb R^3.$

Dans

$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ forme un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel pour les opérations :

$\eqalign{(A,B)&\mapsto A+B=[\sp{1.5}a_{i,j}+b_{i,j}\sp{1.5}]\\[-.5ex](\lambda,A)&\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}A=[\sp{1.5}\lambda\,a_{i,j}\sp{1.5}]}$

On identifie les matrices-colonnes de $\sc M_{n,1}(\bb K)$ aux vecteurs de $\bb K^n.$

$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est  ainsi un espace vectoriel isomorphe à $(\bb K^n)^p$ et à  $\bb K^{n\sp{1.5}p}.$

l'espace vectoriel $\,\sc M_2(\bb R)\sp{1.5},\,$ tout élément de $E$ se décompose comme suit : Il s'ensuit que $E$ est dans l'espace $\,\sc M_2(\bb R)\sp{1.5},\,$ le sous-espace

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

engendré par $(U,V,W)\sp{1.5}.$

Étant donné que $W=U-V,$ la famille $(U,V,W)$ est

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

liée, avec plus précisément : En d'autres termes, $(U,V)$ est une famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$  ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$

Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$

génératrice de $E\sp{1.5}.$

$(U,V)$ est aussi une famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

libre, et donc une

Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$

$\,\sc B\,$ est une base de $E$  ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$

base de $E$ car :

Finalement, $E$ est un $\bb R\tiret$espace de dimension $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire un plan vectoriel de $\sc M_2(\bb R)\sp{1.5}.$

Dans

Soient un ensemble $\,\Omega\,$ et un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,.\,$

Pour $\,f,g\app\sc F(\Omega,E)\,$ et $\,\lambda\app \bb K\sp{1.5},\,$ on a les opérations induites sur $\,\sc F(\Omega,E):\,$

$\eqalign{& \ptt x\app\Omega,\Syst{\,(f+g)(x)&= f(x)+g(x)\\[-.5ex](\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5} f)(x)&=\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}f(x)}}$

Dans ces conditions, $\,\big(\sc F(\Omega,E)\sp{1.5},\sp{1.5}+\sp{1.5},\,\cdot\,\big)\,$ est  un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.

l'espace vectoriel $\,\sc F(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ on considère les fonctions $\,e_k:x\mapsto\dfrac{x^k}{x^2+1}\,$ pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}n\sp{1.5}.\,$

Pour tout $\,P=p_0+p_1X+\cdots+p_nX^n\app\bb R_n[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,f_P=p_0\sp{1.5}e_0+p_1\sp{1.5}e_1+\cdots+p_n\sp{1.5}e_n\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $E$ est le sous-espace vectoriel de $\sc F(\bb R,\bb R)$

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

engendré par $(e_0,\dots,e_n)\sp{1.5}.$

Tout polynôme étant

Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :

$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$

Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes :

$\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$

caractérisé par sa fonction polynomiale : Ainsi, la famille $(e_0,\dots,e_n)$ est

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

libre ; c'est donc une

Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$

$\,\sc B\,$ est une base de $E$  ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$

base de $E,$ avec : $\dim E=n+1\sp{1.5}.$

$P\app\bb R_n[X]$ étant à coefficients réels, la relation $\,P(i)=0\,$

Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$

Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est  aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.

équivaut à : $\,P(-i)=0\sp{1.5}.\,$

Les éléments de $F$ sont donc exactement les $f_P$ associées aux polynômes $P$

Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ;  alors :

$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$

multiples de $(X-i)(X+i)\sp{1.5},$ s'écrivant : Avec : $\,\ptt x\app\bb R,\ f_P(x)=Q(x)\sp{1.5},\,$ $F$ est formé des

Pour tout $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :

$\displaystyle{}\tilde A:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$

• Ces fonctions forment un sous-espace vectoriel $\,\sc P\,$ de $\,\sc F(\bb K,\bb K)\sp{1.5};\,$
• $\,A\mapsto\tilde A\,$ est un isomorphisme entre $\,\bb K[X]\,$ et ce sous-espace $\,\sc P\sp{1.5}.\,$

fonctions polynomiales de degré au plus $\,n-2\sp{1.5}.\,$

On obtient ainsi un isomorphisme :  $\,Q\mapsto\widetilde Q= f_{(X^2+1)Q}\sp{1.5},\,$ de $\,\bb R_{n-2}[X]\,$ vers $F\sp{1.5}.$

Il s'ensuit que $F$ est un

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

L'image de $f$  est l'ensemble des $v\app E'$ qui ont un antécédent par $f:$

$\displaystyle{}\op{Im}f=\ens{v\app E'}{\iex u\app E,\ v=f(u)}$

$\,\op{Im}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée $E'\sp{1.5}.$

sous-espace vectoriel de $\,E\sp{1.5},\,$ de

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

dimension : $\,\dim F=(n-2)+1=n-1\sp{1.5}.\,$

D'autre part, si $\,P=p_0+p_1X+\cdots+p_mX^m\,$ avec $\,p_m\neq0\sp{1.5},\,$ on a

Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$

l'équivalent : $\,f_P(x)\smb{1.5}{\eq x{+\I}}\,p_m\sp{1.5}x^{m-2}.\,$

On en déduit que : $\,f_P\app G\Ssi \deg(P)\leq 2\sp{1.5},\,$ car : $\,\sth{2.75}\Syst{\,\smh0{\lim x{+\I}x^{m-2}}&=+\I&\txt{si}m\geq 3\sp{1.5},\\[-.75ex] \lim x{+\I}x^{m-2}&\app\,\{0,1\}&\txt{si}m\leq 2\sp{1.5}.}\,$

$G$ est donc le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par la famille libre $\,(e_0,e_1,e_2)\sp{1.5},\,$ d'où : $\dim G=3\sp{1.5}.$

Les ensembles $F$ et $G$ ont pour intersection l'ensemble des $f_P$ pour lesquel $P$ est multiple de $X^2+1$ et $\,\deg(P)\leq 2\sp{1.5}.\,$

En d'autres termes : $\,P=\lambda\sp{1.5}(X^2+1)\,$ pour $\,\lambda\app\bb R\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :  $\,\ptt x\app\bb R,\ f_P(x)=\lambda\sp{1.5}.\,$

Ainsi $\,F\cap G\,$ est la droite $\,\op{Vect}(e_0)\sp{1.5},\,$ et selon la formule de

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  leur somme $F+G$  est  de dimension finie, et on a la formule :

$\displaystyle{}\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$

Grassmann, $F+G$ a pour dimension :

Sachant que $\,F+G\subset E\sp{1.5},\,$ on en déduit, pour raison de dimension,

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

l'égalité :  $\,F+G=E\sp{1.5}.\,$

Dans la base

L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$  est  de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :

$\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$

canonique $\big(E_{i,j}\big)_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq n}$ de $\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},$ $\sc F_p$ est le sous-espace vectoriel

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

engendré par les $E_{i,j}$ tels que $i+j\leq p\sp{1.5}.$

On obtient ainsi une sous-famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

libre de la base canonique ; elle forme donc une

Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$

$\,\sc B\,$ est une base de $E$  ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$

base de $\sc F_p\sp{1.5}.$

On obtiendra alors la dimension de $\sc F_p$ en dénombrant l'ensemble $K_p$ des couples $(i,j)$ correspondants :

Cet ensemble $\,K_p\,$ apparaît ainsi comme la

Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$

réunion finie de $p-1$ ensembles disjoints : Avec l'équivalence : $\,1\leq s-i\leq n\Ssi s-n\leq i\leq s-1\sp{1.5},\,$ on obtient encore :

On est alors amené à distinguer deux cas :

• Lorsque $\,p\leq n+1\sp{1.5},\,$ on a : $\,s\leq p\leq n+1\Imp\smh{1}{\syst{\,\max(1,\sp{1.5}s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}n)&=1\sp{1.5},\\ \min(n,\sp{1.5}s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1)&=s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1\sp{1.5}.}}\,$
  Les ensembles $\,\ens{(i,s-i)}{1\leq i\leq s-1}\,$ pour $\,2\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} s\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} p\,$ forment alors une
  Une partition d'un ensemble $E$  est  un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$

  • non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
  • deux à  deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
  • et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
  partition de $K_p\sp{1.5}.$
  Chacun de ces ensembles ayant $\,(s-1)\,$ éléments, le
  Toute réunion d'un nombre fini d'ensembles finis  est  finie.

  Si  ces ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ sont deux à deux disjoints, on a  alors :

  $\displaystyle{}\op{card}\Big(\Op{\bigcup}_{k=1}^pE_k\Big)=\sum_{k=1}^p\op{card}(E_k)$
  cardinal de $K_p$ est donc la
  La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels  est :

  $\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
  somme suivante :
  $\eqalign{\dim\sc F_p&=\op{card}(K_p)=\sum_{s=2}^p (s-1)\\&=1+\cdots+(p-1)= \smh0{\frac{(p-1)\sp{1.5}p}2}}$

• Lorsque $\,p \geq n+2\sp{1.5},\,$ on distingue dans $K_p$ les $(i,j)$ selon que $\,i+j\leq n+1\,$ ou $\,i+j \geq n+2\sp{1.5}.\,$
  Cela équivaut à situer les termes de $A$ par rapport à sa diagonale secondaire, d'où :
  $\eqalign{K_p&=K_{n+1}\cup L_p\sp{1.5}, \txt{en posant :}\\L_p&=\ens{(i,j)\app\,[\![1,n]\!]^2}{i+j=s\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}n+2\leq s\leq p}}$
  On a cette fois : $\,n+2\leq s\leq p\Imp\syst{\,\max(1,\sp{1.5}s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}n)&=s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}n\sp{1.5},\\ \min(n,\sp{1.5}s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1)&=n\sp{1.5}.}\,$
  Les ensembles $\,\ens{(i,s-i)}{s\sp{-1.5}-\sp{-1.5}n\leq i\leq n}\,$ pour $\,n+2\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}s\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}p\,$ forment donc une
  Une partition d'un ensemble $E$  est  un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$

  • non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
  • deux à  deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
  • et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
  partition de $L_p\sp{1.5}.$
  Chacun d'eux ayant $\,n-(s-n-1)=2\sp{.75}n-s+1\,$ éléments, le
  Toute réunion d'un nombre fini d'ensembles finis  est  finie.

  Si  ces ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ sont deux à deux disjoints, on a  alors :

  $\displaystyle{}\op{card}\Big(\Op{\bigcup}_{k=1}^pE_k\Big)=\sum_{k=1}^p\op{card}(E_k)$
  cardinal de $L_p$ est, avec $\,t=s-n-1:\,$
  $\eqalign{\op{card}(L_p)&=\sum_{s=n+2}^p (2\sp{.75}n-s+1)=\sum_{t=1}^{p-n-1}(n-t)\\[-.5ex] &=n\sp{1.5}(p-n-1)-\frac{(p-n-1)\sp{1.5}(p-n)}2\\&=\frac{(p-n-1)\sp{1.5}(3\sp{.75}n-p)}2\\[1ex] \txt{d'où :}\dim\sc F_p&=\op{card}(K_{n+1})+\op{card}(L_p)\\&= {\dfrac{n\sp{1.5}(n+1)+(p-n-1)\sp{1.5}(3\sp{.75}n-p)}2}}$