Sujet B.1.3 Familles de vecteurs et bases
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Exercice a
\\(\def\u{\vec u}\def\v{\vec v}\def\w{\vec w} \GREC\\)Soient $\,\u=\matr{0\,\\[-.5ex]1\,\\[-.5ex] \!-1\,},\,$ $\,\v=\matr{\!-1\,\\[-.5ex]0\,\\[-.5ex]1\,}\,$ et $\,\w=\matr{1\,\\[-.5ex] \!-1\,\\[-.5ex]0\,}\,$ dans $\,\bb{R}^3.\,$
La famille $\,(\u,\v,\w)\,$ forme-t-elle une base de $\,\bb{R}^3\,?\,$ Préciser son rang.
famille libre dans un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
base d'un espace vectoriel
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
rang d'une famille de vecteurs
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
indication
Rechercher une relation entre $\,\u,\,\v\,$ et $\,\w.\,$
réponse
La famille $\,(\u,\v,\w)\,$ est de rang $\,2\sp{1.5};\,$ ce n'est donc pas une base de $\,\bb{R}^3.\,$
correction
On remarque que : $\,\u+\v+\w=0\sp{1.5},\,$ et cela nous prouve que la famille $\,(\u,\v,\w)\,$ est
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
liée.
La famille $\,\sc U=(\u,\v,\w)\,$ n'est donc pas une
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
base
de $\bb{R}^3\sp{1.5}.$
Si nous considérons une combinaison linéaire $\,\a\,\u+\b\,\v\,$ de $\u$ et $\v$ pour $\,(\a,\b)\app \bb{R}^2\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\a\,\u+\b\,\v=\matc{-\b\\[-.5ex] \a\\[-.5ex] -\a+\b}=\matc{\,0\,\\[-.5ex] 0\\[-.5ex] 0}\Imp\a=\b=0$
$(\u,\v)$ est ainsi une famille
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
libre,
et elle est par définition
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
génératrice
du sous-espace vectoriel
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
engendré
par $\u$ et $\v\sp{1.5}.$
$(\u,\v)$ est donc une
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
base
du plan $\,P=\op{Vect}(\u,\v)\,$ qui coïncide alors avec le sous-espace engendré par $(\u,\v,\w):$
$\displaystyle{}\op{Vect}(\u,\v,\w)=\op{Vect}(\u,\v,-\u-\v)=\op{Vect}(\u,\v)$
La famille $\sc U=(\u,\v,\w)$ engendre le plan $P,$ ce qui en fait une famille de
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
rang
$\,2\sp{1.5}.\,$
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
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Exercice b
\\(\GREC\\)Soit dans $\bb{R}^4$ la famille $\,\sc U=(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6)\,$ suivante :
$\displaystyle{}\sc U=\left(\!\matr{1\\[-.5ex] \!-1\\[-.5ex]0\\[-.5ex]0},\matr{1\\[-.5ex] 0\\[-.5ex] \!-1\\[-.5ex]0},\matr{1\\[-.5ex]0\\[-.5ex]0\\[-.5ex] \!-1},\matr{0\\[-.5ex]1\\[-.5ex] \!-1\\[-.5ex]0},\matr{0\\[-.5ex]1\\[-.5ex]0\\[-.5ex] \!-1},\matr{0\\[-.5ex]0\\[-.5ex]1\\[-.5ex] \!-1}\!\right)$
Déterminer le rang de cette famille et préciser le sous-espace vectoriel qu'elle engendre.
famille libre dans un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
base d'un espace vectoriel
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
rang d'une famille de vecteurs
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
indication
Déterminer un sous-espace vectoriel de $\bb{R}^4$ contenant tous les $\,u_i\,.\,$
réponse
La famille est de rang $\,3\sp{1.5},\,$ engendrée par exemple par $\,u_1,u_2,u_3\,;\,$ elle engendre l'hyperplan de $\bb{R}^4$ d'équation $\,x+y+z+t=0\,.\,$
correction
On observe que $\,u_4=u_2-u_1\sp{1.5},\,$ $\,u_5=u_3-u_1\,$ et $\,u_6=u_3-u_2\sp{1.5},\,$ d'où :
$\eqalign{\op{Vect}(\sc U)&=\op{Vect}(u_1,\sp{1.5}u_2,\sp{1.5}u_3,u_2-u_1,\sp{1.5}u_3-u_1,\sp{1.5}u_3-u_2)\\[-.5ex]&=\op{Vect}(u_1,\sp{1.5}u_2,\sp{1.5}u_3)}$
Le sous-espace $\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},$ étant
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
engendré
par $(u_1,u_2,u_3)\sp{1.5},$ est donc de dimension
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
au plus $3\sp{1.5}.$
Considérons d'autre part une combinaison linéaire $\,v=\a\sp{1.5}u_1+\b\sp{1.5}u_2+\c\sp{1.5}u_3\,$ pour $\,(\a,\b,\c)\app \bb{R}^3\sp{1.5};\,$ on a alors :
- une famille génératrice de $E$ a au moins $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille génératrice de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
$\displaystyle{}v=\matc{\a+\b+\c\\[-.5ex] -\a\\[-.5ex] -\b\\[-.5ex] -\c}=\matc{\,0\,\\[-.5ex] 0\\[-.5ex] 0\\[-.5ex] 0}\Imp\a=\b=\c=0$
$\,(u_1,u_2,u_3)\,$ est ainsi une famille
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
libre,
et par définition,
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
génératrice
du sous-espace vectoriel
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
engendré
par $\,u_1,u_2,u_3\sp{1.5}.\,$ $\,(u_1,u_2,u_3)\,$ est donc une
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
base
du sous-espace $\,F=\op{Vect}(u_1,u_2,u_3)\sp{1.5},\,$ de dimension $\,3\sp{1.5}.\,$
Avec $\,\op{Vect}(\sc U)=\op{Vect}(u_1,u_2,u_3)=F\sp{1.5},\,$ la famille $\,(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6)\,$ est donc
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
de rang $3\sp{1.5}.$
Il s'ensuit que cette famille de vecteurs engendre un
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$
Les hyperplans de $E$ sont les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$
hyperplan
de $\,\bb R^4.\,$
On pouvait aussi remarquer que les $u_i$ vérifient dans la base canonique de $\,\bb{R}^4\,$ l'équation : $\,x+y+z+t=0\sp{1.5}.\,$ Cette équation caractérise un
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$
hyperplan
$H$ de $\bb{R}^4\,;$ $\,(u_1,u_2,u_3)\,$ étant une famille libre, on a alors : $\,\op{Vect}(\sc U)=H\sp{1.5}.\,$ - L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie : $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
- Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.
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Exercice c
Soit $a\app \bb{C}$ fixé ; montrer que les polynômes $\,(X-a)^k\sp{1.5},\,$ pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} n\sp{1.5},\,$ forment une base de l'espace vectoriel $\bb{C}_n[X]\sp{1.5}.$
Exprimer les coordonnées dans cette base de tout polynôme $P\app\bb{C}_n[X]\sp{1.5}.$
famille libre dans un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
base d'un espace vectoriel
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
rang d'une famille de vecteurs
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
indication
Utiliser la formule de Taylor relative aux polynômes.
réponse
La famille $\,\sc B=\big(X-a)^k\big)_{0\leq k\leq n}\,$ est bien une base de $\,\bb{C}_n[X]\sp{1.5}.\,$
Les coordonnées de $\,P\app\bb C_n[X]\,$ dans la base $\,\sc B\,$ sont les $\,\smh{1.5}{\smb{.5}{\dfrac{P^{(k)}(a)}{k\sp{1.5}!}}}\,$ pour $\,0\leq k\leq n\sp{1.5},\,$ soit si $\,n\geq2:\,$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(P)^T=\Big(P(a),P'(a),\dots,\frac{P^{(n)}(a)}{n!}\Big)$
correction
Selon la
Pour tous $\,P\app\bb K_n[X]\,$ et $\,\alpha\app\bb K\sp{1.5},\,$ on a la formule de Taylor :
formule
de Taylor, tout $\,P\app \bb{C}_n[X]\,$ est combinaison linéaire des $\,(X-a)^k:\,$
$\displaystyle{}P=\dsum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k$
$\displaystyle{}P=\smh2{\smb2{\dsum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k}}$
La famille $\,\big((X-a)^k\big)_{0\leq k\leq n}\,$ est donc une famille
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
génératrice
de $\bb C_n[X]\sp{1.5}.$
Cette famille génératrice comporte exactement $\,n+1\,$ polynômes, ce qui correspond à la
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$ est de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :
dimension
de $\bb{C}_n[X]\sp{1.5}.$
On peut alors
$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
en conclure
que
$\,\sc B=\big((X-a)^k\big)_{0\leq k\leq n}\,$ est une
- une famille génératrice de $E$ a au moins $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille génératrice de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
base
de $\,\bb{C}_n[X]\sp{1.5}.\,$
La formule de Taylor met en évidence les
Soit $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Tout $\,u\app E\,$ admet une unique famille de coordonnées $\,X\app\bb K^n:\,$
coordonnées
$\,\smb{1}{\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}}\,$ de tout polynôme $P$ de $\bb C_n[X]$ dans la base $\,\sc B:\,$
$\displaystyle{}X=(x_1,\dots,x_n)\sp{1.5},\txt{telle que :}u=x_1\sp{1.5}e_1+\cdots+x_n\sp{1.5}e_n$
- $\,u\mapsto X\!=\!(x_1,\dots,x_n)\,$ est un isomorphisme de $E$ vers $\bb K^n\sp{1.5};$
- Les $\,u\mapsto x_i\,$ sont linéaires ; ce sont les formes coordonnées.
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(P)^T=\Big(P(a),P'(a),\dots,\frac{P^{(n)}(a)}{n!}\Big)$
On aurait pu aussi montrer que cette famille est une base de $\bb C_n[X]$ en remarquant qu'elle est
Des polynômes $\,P_0,\dots,P_n\,$ de $\,\bb K[X]\,$ tels que $\, \deg(P_k)=k\,$ sont dits échelonnés en degrés. Dans ces conditions, $\,(P_0,\dots,P_n)\,$ est une base de $\bb K_n[X].$
échelonnée
en degrés. Cependant, le recours à la formule de Taylor nous a fourni directement les coordonnées de $P$ dans cette base.
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Exercice d
Étant donnés trois réels $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ on considère dans l'espace vectoriel $\,E=\sc F(\bb{R},\bb{R})\sp{1.5},\,$ les trois fonctions suivantes :
$\displaystyle{}f\sp{-1.5}:\sp{-1.5}x\mapsto\sin(x+a),\ \,g\sp{-1.5}:\sp{-1.5}x\mapsto\sin(x+b),\ \,h\sp{-1.5}:\sp{-1.5}x\mapsto\sin(x+c)$
Ces trois fonctions forment-elles une famille libre de $\,\sc F(\bb{R},\bb{R})\,?\,$
Discuter du rang de la famille $(f,g,h)$ selon les valeurs des réels $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}c\sp{1.5}.\,$
famille libre dans un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille génératrice de $E$ ssi : $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt u\app E,\ \iex\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p,\ u=\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p$
Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E\sp{1.5}.$
base d'un espace vectoriel
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\app E^n\sp{1.5}.\,$
$\,\sc B\,$ est une base de $E$ ssi $\sc B$ est une famille libre et génératrice de $E\sp{1.5}.$
rang d'une famille de vecteurs
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
indication
1
Développer l'expression de $\,f(x)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Quelle relation entre $a$ et $b$ caractérise la colinéarité de $f$ et $g\ ?$
réponse
Le triplet $(f,\sp{1.5}g,\sp{1.5}h)$ ne forme pas une famille libre de $\,\sc F(\bb{R},\bb{R})\sp{1.5}.\,$
La famille $(f,g,h)$ est de rang $\,1\,$ lorsque $\,a\equiv b\equiv c \,[\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et de rang $\,2\,$ sinon.
correction
Dans l'espace $\,E=\sc F(\bb{R},\bb{R})\sp{1.5},\,$ on note $\,{\sin}\,$ et $\,{\cos}\,$ les deux fonctions
$\,x\mapsto\sin(x)\,$ et $\,x\mapsto\cos(x)\sp{1.5}.\,$
Elles
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
engendrent
un sous-espace vectoriel $\,F=\op{Vect}({\sin},{\cos})\sp{1.5},\,$ de dimension
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
au plus
$\,2\sp{1.5}.\,$
Par une
- une famille génératrice de $E$ a au moins $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille génératrice de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
formule
d'addition, on montre que $f$ appartient au sous-espace $\,F=\op{Vect}({\sin},{\cos}):\,$
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\ptt x\app \bb{R},\ f(x)&=\sin x\sp{1.5}\cos a+\cos x\sp{1.5}\sin a\\
\txt{ d'où :} f&=\cos a\sp{1.5}.{\sin}+\sin a\sp{1.5}. {\cos}\sp{1.5}, \txt{ dans}\!\sc F(\bb{R},\bb{R})}$
Par la même formule, on obtient aussi : $\,g\app \op{Vect}({\sin},{\cos})\,$ et $\,h\app \op{Vect}({\sin},{\cos})\sp{1.5}.\,$
$(f,\sp{1.5}g,\sp{1.5}h)$ est donc une
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
famille liée,
car $\,f,\sp{1.5}g,\sp{1.5}h\app F\,$ avec $\,F=\op{Vect}({\sin},{\cos})\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\dim(F) \leq 2 < 3\sp{1.5}.\,$
Les fonctions $f,\sp{1.5}g$ et $h$ étant non nulles, le
- une famille libre de $E$ a au plus $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille libre de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
rang
de $(f,g,h)$ vérifie alors : $\,1\leq\op{rg} (f,g,h)\leq2\sp{1.5}.\,$
Cherchons à quelle condition deux de ces fonctions sont liées ; pour $f$ et $\,g\,$ par exemple, on a :
- le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
- le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
$\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
- Si $\,\big(\iex\lambda\app\bb R,\ \,g=\lambda\sp{1.5}f\big)\sp{1.5},\,$ on en
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :déduit : $\,a\equiv b\,[\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ car :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f(-a)=0\Imp g(-a)=\sin(b-a)=0$ - Réciproquement, par définition de la
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :congruence, on a : $\,a\equiv b\,[\pi]\Ssi\big(\iex k\app \bb{Z},\ b=a+k\,\pi\big)\sp{1.5}.\,$ Sachant que $\,\cos k\sp{1.5}\pi=(-1)^k\sp{1.5},\,$ on en déduit que : $\,g=\pm f\sp{1.5},\,$ car :$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ g(x)=\sin(x+a+k\,\pi)=(-1)^k\sin(x+a)$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
congruences :
$\,a\equiv b\equiv c \,[\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Finalement, le triplet $(f\sp{1.5},g,\sp{1.5}h)$ est de rang $1$ lorsque $\,a\equiv b\equiv c \,[\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et il est de rang $2$ dans tous les autres cas.
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$