exercices de mathématiques - prépa et université

Soit, pour un polynôme $\,A\app \bb R[X]\sp{1.5},\,$ l'ensemble $E_A$ des éléments de $\bb{R}[X]$

Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$  est un diviseur de $B$  (ou $B$  est un multiple de $A$)  ssi :

$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$

divisibles par $A\sp{1.5}.$

• $E_A$ est par définition une
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  partie de $\bb{R}[X]\,;$
• $E_A$ est non vide car le polynôme nul lui appartient ;
• $E_A$ est stable par combinaison linéaire car pour $\,A\sp{1.5}Q_1,\ A\sp{1.5}Q_2\app E_A\,$ et $\,\a\sp{1.5},\b\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ on a :
  $\displaystyle{}\a\sp{1.5}A\sp{1.5}Q_1+\b\sp{1.5}A\,Q_2=A\sp{1.5}(\a\sp{1.5}Q_1+\b\sp{1.5}Q_2)\app E_A$

$F=E_X$ et $G=E_{X^2+1}$ sont donc bien des

Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$

$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$

sous-espaces vectoriels de

Soient dans $\bb{K}[X]\sp{1.5},$ la somme des polynômes et la loi de composition externe sur $\bb{K}:$

$\displaystyle{}(\lambda,P)\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}P$

Dans ces conditions, $\,(\bb{K}[X],+,\sp{1.5}\cdot\,)\,$ est  un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.

l'espace vectoriel $\,\bb{R}[X]\sp{1.5}.\,$

Soit $P\app \bb{R}[X]\,;$ on a alors par

Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :

$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$

division euclidienne : $\,P=X\sp{1.5}Q+P(0)\sp{1.5},\,$ d'où :

Tout $P\app\bb R[X]$ est ainsi la somme d'un multiple de $X$ et d'un multiple de $\,(X^2+1)\,$ et réciproquement, d'où : $\bb R[X]=$

La somme de deux sous-espaces $\,F\,$ et $\,G\,$ d'un espace vectoriel $E$  est l'ensemble :

$\displaystyle{}F+G=\ens{w\app E}{\iex u\app F,\,\iex v\app G,\ w=u+v\sp{1.5}}$

Une telle somme $\,F+G\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$

$\,F+G\sp{1.5}.\,$

$(X^2+1)P(0)$ appartient plus précisément au sous-espace

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

engendré par $X^2+1\sp{1.5},$ d'où :  $\,\bb{R}[X]=F+\op{Vect}(X^2+1)\sp{1.5}.\,$

D'autre part, $\,F=E_X\,$ est

Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est  un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$

$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi  $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$

caractérisé par $P(0)=0\sp{1.5},$ si bien que : $\,F\cap\op{Vect}(X^2+1)=\{0\}\sp{1.5},\,$ car pour $\lambda\app \bb{R}:$

On a ainsi établi que la somme $\,F+\op{Vect}(X^2+1)\,$ est

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

directe :  $\,\bb R[X]=F\oplus\op{Vect}(X^2+1)\sp{1.5}.\,$

La

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

droite $\,D=\op{Vect}(X^2+1)\subset G\,$ est donc un sous-espace vectoriel de $G,$

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

$F$ et $G$  sont supplémentaires dans $E$  ssi :  $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$

supplémentaire de $F$ dans $\bb R[X]\sp{1.5}.$

$\sc S\,$ est le sous-espace vectoriel des matrices

$\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_{n}(\bb{K})\,$  est symétrique  ssi $\,A^T=A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

$\displaystyle{}\forall\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ a_{i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}$

Ces matrices forment un sous-espace vectoriel $\sc S_n(\bb{K})$ de $\sc M_n(\bb{K})\sp{1.5}.$

symétriques réelles : $\,\sc S=\sc S_n(\bb R)\sp{1.5}.\,$

Montrons que l'ensemble $\sc T$ est un

Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$

$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$

sous-espace de l'espace $\sc T_n^{+}(\bb R)$ des matrices

Une matrice carrée $A$ de $\sc M_{n}(\bb{K})$  est triangulaire supérieure  ssi :

$\displaystyle{}\ptt\, i,j\app\, [\![1,n]\!],\ (\sp{1.5}i > j\,\Imp\,a_{i,j}=0\sp{1.5})$

Leur ensemble $\,\sc T_n^{+}(\bb K)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$

triangulaires supérieures :

• $\sc T$ est
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  inclus dans $\sc T_n^{+}(\bb R),$ car il est formé des matrices de $\sc T_n^{+}(\bb R)$ dont la diagonale est nulle ;
• $\sc T$ est non vide car il contient la matrice nulle ;
• $\sc T$ est stable par combinaisons linéaires, car la nullité de la diagonale se maintient par combinaisons linéaires.

$\sc T$ est donc un sous-espace vectoriel de

$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ forme un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel pour les opérations :

$\eqalign{(A,B)&\mapsto A+B=[\sp{1.5}a_{i,j}+b_{i,j}\sp{1.5}]\\[-.5ex](\lambda,A)&\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}A=[\sp{1.5}\lambda\,a_{i,j}\sp{1.5}]}$

On identifie les matrices-colonnes de $\sc M_{n,1}(\bb K)$ aux vecteurs de $\bb K^n.$

$\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ est  ainsi un espace vectoriel isomorphe à $(\bb K^n)^p$ et à  $\bb K^{n\sp{1.5}p}.$

l'espace $\sc M_n(\bb{R}),$ en tant que sous-espace d'un sous-espace de $\sc M_n(\bb{R})\sp{1.5}.$

Soient $\,A=[a_{i,j}]\app\sc M_n(\bb{R})\sp{1.5};\,$ si il existe $\,S=[s_{i,j}]\app\sc S\,$ et $\,T=[t_{i,j}]\app\sc T\,$ telles que $\,A=S+T,\,$ il s'ensuit que :

• pour $\,i\geq j,\,$ on a alors : $\,a_{i,j}=s_{i,j}=s_{j,i}\,$ et $\,t_{i,j}=0\,;\,$
• pour $\,i < j,\,$ on a d'autre part : $\,a_{i,j}=s_{i,j}+t_{i,j}=s_{j,i}+t_{i,j}=a_{j,i}+t_{i,j}\,.\,$

En posant $\,t_{i,j}=a_{i,j}-a_{j,i}\,$ lorsque $\,i < j\sp{1.5},\,$ les matrices $\,S\,$ et $\,T\,$ sont donc définies de manière unique par :

Réciproquement, ces deux matrices appartiennent respectivement à $\sc S$ et $\sc T$ et ont bien pour somme $A\sp{1.5}.$

On a établi que $\sc M_n(\bb{R})$ est la

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

somme directe de $\sc S$ et $\sc T,$ c'est-à-dire que $\sc S$ et $\sc T$ sont

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

$F$ et $G$  sont supplémentaires dans $E$  ssi :  $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$

supplémentaires dans $\sc M_n(\bb{R})\sp{1.5}:$

Montrons

Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$

l'inclusion de la

La somme de $p$ sous-espaces $\,F_i\,$ d'un espace vectoriel $E$  est :

$\displaystyle{}F_1+\cdots+F_p=\ens{u_1+\cdots+u_p}{u_1\app F_1\sp{1.5},\sp{1.5}\dots\sp{1.5},u_p\app F_p}$

Cette somme $\,F_1+\cdots+F_p\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$

somme de ces trois

Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$

$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$

sous-espaces vectoriels dans la somme $\,F+G\sp{1.5};\,$ on a : En effet, on a

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

par hypothèse : $\,(F\cap G)\oplus H_F=F\sp{1.5};\,$ sachant que $H_G\subset G\sp{1.5},$ on en déduit l'inclusion :

Réciproquement, soit $\,z=x+y\, \app\, F+G,\,$ avec $\,x\app F\,$ et $\,y\app G\sp{1.5};\,$ avec également $\,(F\cap G)\oplus H_G=G\sp{1.5},\,$ on en déduit :

• $\,x=u_1+v\,\app\,(F\cap G)\oplus H_F\sp{1.5},\,$ pour $\,u_1\app F\cap G\,$ et $\,v\app H_F\,;\,$
• $\,y=u_2+w\,\app\,(F\cap G)\oplus H_G\sp{1.5},\,$ pour $\,u_2\app F\cap G\,$ et $\,w\app H_G\,.\,$

$F\cap G$ étant un

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

L'intersection $\,F\cap G\,$ de $\,F\,$ et $\,G\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$

sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ on peut alors écrire :

Par double inclusion, on a ainsi établi

Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :

$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$

En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion :

$\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$

l'égalité :  $\,F+G\,=\,(F\cap G)+H_F+H_G\,.\,$

Soient maintenant $\,u\app F\cap G\sp{1.5},\,$ $\,v\app H_F\,$ et $\,w\app H_G\,$ tels que $\,u+v+w=0\sp{1.5}.\,$

Sachant qu'on a,

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

par hypothèse : $\,(F\cap G)\cap H_G=(F\cap G)\cap H_F=\{0\}\sp{1.5},\,$ on en déduit :

• $\,u+v\,\app\,(F\cap G)\oplus H_F=F\,$ et $\,w\app H_G\subset G\sp{1.5},\,$ et donc $\,u+v=-w\,\app\, F\cap G\sp{1.5},\,$ d'où :
  $\displaystyle{}u+v=-w\,\app\,(F\cap G)\cap H_G=\{0\}$
• $\,u+w\,\app\,(F\cap G)\oplus H_G=G\,$ et $\,v\app H_F\subset F\sp{1.5},\,$ et donc $\,u+w=-v\,\app\, F\cap G\sp{1.5},\,$ d'où :
  $\displaystyle{}u+w=-v\,\app\,(F\cap G)\cap H_F=\{0\}$

Il s'ensuit que :  $\,u=v=w=0\sp{1.5},\,$ si bien que $\,(F\cap G)+H_F+H_G\,$ est une

Soit une somme $\,F=F_1+\cdots+F_p\,$ de sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi tout $\,u\app F\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}u=u_1+\cdots+u_p\sp{1.5},\txt{avec :}u_1\app F_1\sp{1.5},\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}u_p\app F_p$

On écrit alors :  $\,F=F_1\oplus\cdots\oplus F_p\,;\,$ cette condition est réalisé  ssi :

$\displaystyle{}u_1+\cdots+u_p=0\Imp u_1=\dots=u_p=0$

somme directe.

On a finalement démontré que $\,F\cap G,\,$ $\,H_F\,$ et $\,H_G\,$ sont

Soient des sous-espaces $\,F_1,\dots,F_p\,$ d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

$\,F_1,\dots,F_p\,$ sont  dits supplémentaires  ssi : $\,E=F_1\oplus\cdots\oplus F_p\sp{1.5}.\,$

supplémentaires dans $\,F+G:\,$