Sujet B.1.1 Sous-espaces vectoriels
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Exercice a
L'ensemble $E$ des $(x,y)\app\bb R^2$ tels que $\,|y|\geq|x|\,$ forme-t-il un $\bb R\tiret$espace vectoriel pour les opérations usuelles de $\bb R^2\,?$
structure d'espace vectoriel
Soit $\,(E,+)\,$ un groupe commutatif et une loi de composition externe sur un corps $\bb K$ :
$\displaystyle{}E\times\bb K\to E:\ \,(\lambda,x)\,\mapsto \lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x$
L'ensemble $E$ muni de ces deux lois est un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ ssi :
- $\,\ptt \lambda\app\bb K,\ \ptt(x,y)\app E^2,\ \lambda\sp{.75}.\!(x+y)=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}y\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda+\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda\sp{1.5}\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\!(\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x)\,;\,$
- $\,\ptt x\app E,\ 1_{\bb K}\sp{1.5}.\sp{-1.5}x=x\,.\,$
sous-espace vectoriel
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
indication
L'ensemble $\,E\,$ est-il un sous-espace de l'espace vectoriel $\,(\bb R^2,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,?\,$
réponse
L'ensemble $\,E\,$ n'est pas stable pour la somme ; $\,(E,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$ n'est donc pas un $\bb R\tiret$espace vectoriel.
correction
Examinons si $E$ est un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel du $\bb R\tiret$
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Soient dans $\bb{K}[X]\sp{1.5},$ la somme des polynômes et la loi de composition externe sur $\bb{K}:$
espace vectoriel
$\,(\bb R^2,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,):\,$
$\displaystyle{}(\lambda,P)\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}P$
Dans ces conditions, $\,(\bb{K}[X],+,\sp{1.5}\cdot\,)\,$ est un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.
- $E$ est bien, par sa définition, une
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$partie de $\bb{R}^2\,;$$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
- $E$ est bien non vide car le couple $(0,0)$ lui appartient ;
- cependant, $E$ n'est pas
Une loi de composition interne sur un ensemble $E$ est une application $\,(x,y)\mapsto x*y\,$ de $E\!\times\!E$ vers $E\sp{1.5}.$ Une partie $A$ de $E$ est stable pour la loi $\,*\,$ ssi : $\,\ptt (x,y)\app A^2,\ \,x*y\sp{1.5}\app A\sp{1.5}.\,$stable pour la somme car : $\,a=(1,1)\app E\,$ et $\,b=(1,-1)\app E\sp{1.5},\,$ mais $\,a+b=(2,0)\non\app E\sp{1.5}.\,$
Un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne est un groupe $(G,*)$ ssi :
groupe,
si bien que $\,(E,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$ n'est pas un $\bb R\tiret$espace vectoriel.
- la loi $\,*\,$ est associative : $\,\ptt(x,y,z)\app G^3,\ (x*y)*z=x*(y*z)\,;\,$
- $G$ contient un élément neutre $\,e:\,$ $\,\ptt x\app G,\ x*e=x=e*x\,;\,$
- tout $\,x\app G\,$ a un symétrique $\,x'\,$ dans $G:$ $\,\ptt x\app G,\ \iex x'\app G,\ x*x'=e=x'*x\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Soit $E$ l'ensemble des polynômes de $\bb R[X]$ divisibles par un polynôme $A\app\bb R[X]$ fixé.
Cet ensemble $E$ forme-t-il un $\bb R\tiret$espace vectoriel pour les opérations usuelles de $\bb R[X]\,?$
structure d'espace vectoriel
Soit $\,(E,+)\,$ un groupe commutatif et une loi de composition externe sur un corps $\bb K$ :
$\displaystyle{}E\times\bb K\to E:\ \,(\lambda,x)\,\mapsto \lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x$
L'ensemble $E$ muni de ces deux lois est un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ ssi :
- $\,\ptt \lambda\app\bb K,\ \ptt(x,y)\app E^2,\ \lambda\sp{.75}.\!(x+y)=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}y\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda+\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda\sp{1.5}\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\!(\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x)\,;\,$
- $\,\ptt x\app E,\ 1_{\bb K}\sp{1.5}.\sp{-1.5}x=x\,.\,$
sous-espace vectoriel
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
indication
L'ensemble $\,E\,$ est-il un sous-espace de l'espace vectoriel $(\bb R[X],\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,?$
réponse
$\,(E,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$ est bien un $\,\bb{R}$-espace vectoriel en tant que sous-espace vectoriel de $(\bb R[X],\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)$
correction
Examinons si $E$ est un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel du $\bb R\tiret$
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Soient dans $\bb{K}[X]\sp{1.5},$ la somme des polynômes et la loi de composition externe sur $\bb{K}:$
espace vectoriel
$\,(\bb R[X],\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,):\,$
$\displaystyle{}(\lambda,P)\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}P$
Dans ces conditions, $\,(\bb{K}[X],+,\sp{1.5}\cdot\,)\,$ est un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.
- $E$ est bien, par sa définition, une
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$partie de $\bb R[X]\sp{1.5};$$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
- $E$ est non vide, car le polynôme $A\sp{1.5},$
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :divisible par lui-même, appartient bien à $E\sp{1.5};$$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
- $E$ est stable par combinaisons linéaires par définition de la
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :divisibilité des polynômes. En effet, pour $\,P_1,P_2\app E\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb R\sp{1.5},\,$ il existe des polynômes $Q_1$ et $Q_2$ de $\bb R[X]$ tels que $\,P_1=A\sp{1.5}Q_1\,$ et $\,P_2=A\sp{1.5}Q_2\sp{1.5}\,$ d'où :$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$$\displaystyle{}\alpha\sp{1.5}P_1+\beta\sp{1.5}P_2=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}Q_1+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}Q_2=A\big(\alpha\sp{1.5}Q_1+\beta\sp{1.5}Q_2\big)\app E$
On pouvait aussi considérer la suite de polynômes $\,\sc U=(A\sp{1.5}X^k)_{k\app\bb N}\,.\,$
Les polynômes $\,P=A\sp{1.5}Q\,$ de $E$ sont alors exactement les combinaisons linéaires d'un nombre fini d'éléments de cette suite :
$\displaystyle{}P=A\sp{1.5}Q=A\big(q_0+\cdots+q_n\sp{1.5}X^n\big)=q_0\sp{1.5}A+\cdots+q_n\sp{1.5}A\sp{1.5}X^n$
Dans ces conditions, $E$ est le sous-espace vectoriel de $\bb R[X]$
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
engendré
par la suite des $A\sp{1.5}X^k:$ $\,E=\op{Vect}(\sc U)\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
\\(\GREC\\)Soit $E$ l'ensemble des applications $f$ de $\bb{R}$ dans $\bb{R}$ lipschitziennes, c'est-à-dire telles qu'il existe $\lambda_f\app \bb{R}_{+}$ vérifiant :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app \bb{R}^2,\ |f(x)-f(y)|\leq\lambda_f\,|\sp{.75}x-y\sp{.75}|$
Cet ensemble $E$ forme-t-il un $\,\bb{R}$-espace vectoriel pour les opérations usuelles ?
structure d'espace vectoriel
Soit $\,(E,+)\,$ un groupe commutatif et une loi de composition externe sur un corps $\bb K$ :
$\displaystyle{}E\times\bb K\to E:\ \,(\lambda,x)\,\mapsto \lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x$
L'ensemble $E$ muni de ces deux lois est un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ ssi :
- $\,\ptt \lambda\app\bb K,\ \ptt(x,y)\app E^2,\ \lambda\sp{.75}.\!(x+y)=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}y\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda+\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda\sp{1.5}\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\!(\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x)\,;\,$
- $\,\ptt x\app E,\ 1_{\bb K}\sp{1.5}.\sp{-1.5}x=x\,.\,$
sous-espace vectoriel
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
indication
L'ensemble $\,E\,$ est-il un sous-espace vectoriel de l'espace $\,\sc{F}(\bb{R},\bb{R})$ ?
réponse
$\,(E,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$ est bien un $\,\bb{R}$-espace vectoriel en tant que sous-espace vectoriel de $(\sc{F}(\bb{R},\bb{R}),\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)$
correction
Examinons si $E$ est un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel du $\bb R\tiret$
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Soient dans $\bb{K}[X]\sp{1.5},$ la somme des polynômes et la loi de composition externe sur $\bb{K}:$
espace vectoriel
$\,(\sc{F}(\bb{R},\bb{R}),\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,):\,$
$\displaystyle{}(\lambda,P)\mapsto\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}P$
Dans ces conditions, $\,(\bb{K}[X],+,\sp{1.5}\cdot\,)\,$ est un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.
- $E$ est bien, par sa définition, une
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$partie de $\,\sc{F}(\bb{R},\bb{R})\,;\,$$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
- $E$ est non vide, car la fonction nulle vérifie la définition de $E\sp{1.5},$ pour $\,\lambda_0=0\sp{1.5};\,$
- $E$ est stable par combinaisons linéaires en vertu de
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :l'inégalité triangulaire. En effet, soient $\,f,g\app E\sp{1.5},\,$ $\,\a,\beta\app\bb R\,$ et $\,h=\a f+\beta g\sp{1.5};\,$ pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2\sp{1.5},\,$ on a alors :$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.$\eqalign{\Big|h(x)-h(y)\Big|&= \Big|\a\big(f(x)-f(y)\big)+\beta\big(g(x)-g(y)\big)\Big|\\ &\leq|\a|.\!\big|f(x)-f(y)\big|+|\beta|.\!\big|g(x)-g(y)\big|\\ &\leq\big(|\a|\lambda_f+|\beta|\lambda_g\big)\,|x-y|}$Ceci nous prouve que : $\,h=\a f+\beta g\in{}E\sp{1.5},\,$ en posant par exemple : $\,\lambda_{h}=|\a|\lambda_f+|\beta|\lambda_g\,.\,$
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Exercice d
\\(\GREC\\)Une suite réelle $\,u\!=\!(u_n)_{n\in\bb{N}}\,$ est périodique si et seulement si il existe $\,T\app \bb{N}^{\ast}$ tel que : $\ptt n\app\bb{N},\ u_{n+T} = u_n\sp{1.5}.$
L'ensemble $E$ des suites réelles périodiques forme-t-il un $\,\bb{R}$-espace vectoriel pour les opérations usuelles ?
structure d'espace vectoriel
Soit $\,(E,+)\,$ un groupe commutatif et une loi de composition externe sur un corps $\bb K$ :
$\displaystyle{}E\times\bb K\to E:\ \,(\lambda,x)\,\mapsto \lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x$
L'ensemble $E$ muni de ces deux lois est un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ ssi :
- $\,\ptt \lambda\app\bb K,\ \ptt(x,y)\app E^2,\ \lambda\sp{.75}.\!(x+y)=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}y\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda+\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda\sp{1.5}\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\!(\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x)\,;\,$
- $\,\ptt x\app E,\ 1_{\bb K}\sp{1.5}.\sp{-1.5}x=x\,.\,$
sous-espace vectoriel
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
indication
1
L'ensemble $\,E\,$ est-il un sous-espace de l'espace vectoriel $\,\bb{R}^{\bb{N}}=\sc{F}(\bb{N},\bb{R})\,$ muni des opérations usuelles ?
indication
2
Déterminer une période commune à deux suites de $E\sp{.75},$ de périodes respectives $T$ et $S\sp{1.5}.$
réponse
$\,(E,\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$ est bien un $\bb{R}$-espace vectoriel en tant que sous-espace vectoriel de $\,(\sc{F}(\bb{N},\bb{R}),\sp{1.5}+\,,\,\cdot\,)\,$
correction
Examinons si $E$ est un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
vectoriel du $\bb R\tiret$
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Soient un ensemble $\,\Omega\,$ et un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,.\,$
Pour $\,f,g\app\sc F(\Omega,E)\,$ et $\,\lambda\app \bb K\sp{1.5},\,$ on a les opérations induites sur $\,\sc F(\Omega,E):\,$
espace vectoriel
$\,\big(\sc{F}(\bb{N},\bb{R}),+,\cdot\big):\,$
$\eqalign{& \ptt x\app\Omega,\Syst{\,(f+g)(x)&= f(x)+g(x)\\[-.5ex](\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5} f)(x)&=\lambda\sp{1.5}.\sp{-1.5}f(x)}}$
Dans ces conditions, $\,\big(\sc F(\Omega,E)\sp{1.5},\sp{1.5}+\sp{1.5},\,\cdot\,\big)\,$ est un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel.
- $E$ est bien, par définition, une
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$partie de $\,\bb{R}^{\bb{N}}=\sc{F}(\bb{N},\bb{R})\sp{1.5};\,$$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
- $E$ est non vide, car il contient la suite nulle, de
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :période $1\sp{1.5};$$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
- $E$ est stable par combinaisons linéaires ; pour $u,v\app E$, de
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :périodes respectives $T$ et $S,$ on a pour tout $n\app \bb{N}\!:$$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$$\eqalign{u_{n}&=u_{n+T}&=u_{n+2T}&=\cdots&=u_{n+S\sp{1.5}T}\\ v_{n}&=v_{n+S}&=v_{n+2S}&=\cdots&=v_{n+T\sp{1.5}S}=v_{n+S\sp{1.5}T}}$Pour deux réels $\a$ et $\b$, la suite $w=\a\,u+\b\,v$ est alors de période $\,S\sp{1.5}T\app \bb{N}^{\ast}\,$ et appartient à $E$ car pour tout $n\app\bb N:$$\displaystyle{}w_{n+S\sp{1.5}T}=\a\,u_{n+S\sp{1.5}T}+\b\,v_{n+S\sp{1.5}T}=\a\,u_{n}+\b\,v_{n}=w_n$
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Exercice e
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\,F\cup G\,$ soit un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$
structure d'espace vectoriel
Soit $\,(E,+)\,$ un groupe commutatif et une loi de composition externe sur un corps $\bb K$ :
$\displaystyle{}E\times\bb K\to E:\ \,(\lambda,x)\,\mapsto \lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x$
L'ensemble $E$ muni de ces deux lois est un $\bb K\tiret$espace vectoriel $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ ssi :
- $\,\ptt \lambda\app\bb K,\ \ptt(x,y)\app E^2,\ \lambda\sp{.75}.\!(x+y)=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}y\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda+\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\sp{-1.5}x+\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x\,;\,$
- $\,\ptt (\lambda,\mu)\app\bb K^2,\ \ptt x\app E,\ (\lambda\sp{1.5}\mu)\sp{.75}.\sp{-1.5}x=\lambda\sp{.75}.\!(\mu\sp{.75}.\sp{-1.5}x)\,;\,$
- $\,\ptt x\app E,\ 1_{\bb K}\sp{1.5}.\sp{-1.5}x=x\,.\,$
sous-espace vectoriel
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit $\,\sc U=(u_i)_{i\app I}\,$ une famille de vecteurs d'un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\op{Vect}(\sc U)$ contenant tous les $u_i\sp{1.5}.$
$\op{Vect}(\sc U)$ est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $\sc U\sp{.75}.$
indication
1
Commencer par montrer qu'il suffit que l'un de ces sous-espaces soit inclus dans l'autre.
indication
2
Établir par l'absurde la réciproque, en considérant un $\,x\app F\!\setminus\!\sp{-1.5}G\,$ et un $\,y\app G\!\setminus\!\sp{-1.5}F.\,$
réponse
L'ensemble $\,F\cup G\,$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si : $\,F\subset G\,$ ou $\,G\subset F\sp{1.5}.\,$
correction
On commence par établir une condition suffisante, et on doit ensuite montrer qu'elle est nécessaire.
- Si $\,(F\subset G\!\txt{ou}\!G\subset F),\,$ on a par définition de la
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$réunion : $\,(F\cup G\sp{-1.5}=\sp{-1.5}G\!\txt{ou}\!F\cup G\sp{-1.5}=\sp{-1.5}F)\sp{1.5}.\,$ $F\cup G$ est alors égal à l'un de ces deux sous-espaces vectoriels de $E\sp{1.5}.$$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
- Réciproquement, supposons que $F\cup G$ soit un
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$ $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$ On va montrer par l'absurde qu'on a alors l'une des deux$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$inclusions : $\,F\subset G\txt{ou}G\subset F\sp{1.5}.\,$ Si on avait$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$ On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$Étant données deux propositions $\sc A$ et $\sc B\sp{1.5},$ on a alors :au contraire : $\,(\sp{1.5}F\non\subset G\txt{et}G\non\subset F\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ il existerait un $\,x\app F\,$ tel que $\,x\non\app G\,$ et un $\,y\app G\,$ tel que $\,y\non\app F\sp{1.5}.\,$ Par somme dans le sous-espace vectoriel $\,F\cup G\sp{1.5},\,$ on aurait alors : $\,z=x+y\,\app\, F\cup G\sp{1.5},\,$ d'où $\,(\sp{1.5}z\app F\!\txt{ou}\!z\app G\sp{1.5}):\,$
- $\,\op{non}\big(\sp{1.5}\sc A \mathbin{\rm et}\sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm ou}(\op{non}\sc B)\big)\sp{1.5};\,$
- $\,\op{non}\big(\sc A \mathbin{\rm ou}\sc B\big)\,$ ssi $\,\big((\op{non}\sc A) \mathbin{\rm et}(\op{non}\sc B)\big).\,$
- si $\,z\,$ appartenait à $F\sp{1.5},$ on aurait : $\,y=z-x \app F\sp{1.5},\,$ en contradiction avec l'hypothèse $\,y\notin F\sp{1.5};\,$
- si $\,z\,$ appartenait à $G\sp{1.5},$ on aurait : $\,x=z-y\app G\sp{1.5},\,$ en contradiction avec l'hypothèse $\,x\notin G\sp{1.5}.\,$