exercices de mathématiques - prépa et université

Il faut vérifier que la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'ordre sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive :  $\,\ptt x\app E,\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• antisymétrique :  $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}x)\Imp x=y\,;\,$
• transitive :  $\,\ptt \,(x,y,z)\app E^3,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\,.\,$

d'ordre.

Pour $\,u=(x,y),\,$ $\,v=(x',y')\,$ et $\,w=(x'',y'')\,$ dans $\bb R^2,$ on a :

• $\,u\,\sc{R}\, u\,$ car $\,x\leq x\,$ et $\,y\leq y\,;\,$
• $\,(u\,\sc{R}\, v\ \text{ et } \ v\,\sc{R}\, u)\Imp u=v,\,$ car : $\,\syst{(x\leq x'\,\text{ et } \,x'\leq x)&\Imp x=x'\\[-.5ex](y\leq y'\,\text{ et } \,y'\leq y)\ &\Imp y=y'}\,$
• $\,(u\,\sc{R}\, v\ \text{ et } \ v\,\sc{R}\, w)\Imp u\,\sc{R}\, w,\,$ car : $\,\syst{(x\leq x'\,\text{ et } \,x'\leq x'')&\Imp x\leq x''\\[-.5ex] (y\leq y'\,\text{ et } \,y'\leq y'')\ &\Imp y\leq y''}\,$

Étant réflexive, antisymétrique et transitive, la relation $\,\sc R\,$ est bien une relation d'ordre sur $\bb R^2.$

Étant donnés $\,x > x'\,$ et $\,y < y'\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,\op{non}(u\,\sc{R}\, v)\,$ et $\,\op{non}(v\,\sc{R}\, u)\sp{1.5};\,$ $\,\sc R\,$ ne définit pas un ordre

Une relation d'ordre $\sc R$ sur un ensemble $E$ est totale  ssi :

$\displaystyle{}\ptt \,(x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ ou }\ y\op{\sc R}x)$

total sur $\bb R^2.$

L'ensemble $\,K=\ens{w\app\bb R^2}{u\,\sc{R}\, w \ \text{ et }\ w\,\sc{R}\, v}\,$ est l'ensemble des $\,w=(x'',y'')\,$ tels que : $\,x\leq x''\leq x'\,$ et $\,y\leq y''\leq y'\sp{1.5}.\,$

Dans le plan $\bb R^2,$ cela délimite le rectangle plein de sommets $(x,y),$ $(x',y),$ $(x',y')$ et $(x,y')\sp{1.5}.$

Ce rectangle peut être réduit à un segment lorsque $\,x=x'\,$ ou $\,y=y'\sp{1.5},\,$ ou même à un point unique lorsque $\,u=v:\,$

Visualisation de l'ensemble $K$

Pour $\,f,g\app\sc F,\,$ avec $\,f:A\to\bb R\,$ et $\,g:B\to\bb R\sp{1.5},\,$ $\,g\,$ prolonge $f$ si et seulement si $f$ est une

Soient $f:E\to F$ et deux ensembles $A$ et $B$ tels que $\,A\subset E\subset B:\,$

• la restriction de $f$ à $A$ est  l'unique $\,f\restr{A}:A\to F\,$ telle que :
  $\displaystyle{}\ptt x\app A,\ \smb{.8}{f\restr{A}}(x)=f(x)$
• un prolongement de $f$ à $B$ est  une $\,g:B\to F\,$ telle que :
  $\displaystyle{}\ptt x\app E,\ g(x)=f(x)$

restriction de $\,g\,$ à $A:$

Vérifions que la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'ordre sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive :  $\,\ptt x\app E,\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• antisymétrique :  $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}x)\Imp x=y\,;\,$
• transitive :  $\,\ptt \,(x,y,z)\app E^3,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\,.\,$

d'ordre sur $\sc F\sp{1.5}.$

En considérant $\,f:A\to\bb R\sp{1.5},\,$ $\,g:B\to\bb R\,$ et $\,h:C\to\bb R\,$ pour $\,A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C\subset\bb R\sp{1.5},\,$ on a bien :

• $\,f\ \sc R\ f\,$ car : $\,A\subset A\txt{et}\ptt x\app A\sp{1.5},\ f(x)=f(x)\,.\,$
• $\,(\sp{1.5}f\ \sc R\ g\txt{et}g\ \sc R\ f\sp{1.5})\!\Imp\!\syst{&A\subset B\txt{et}B\subset A\\[-.5ex] &\ptt x\app A,\ f(x)=g(x)}\,$
  On a donc : $\,A=B\,$  d'où,  par définition de
  Deux applications $\,f:E\to F\,$ et $\,g:E'\to F'\,$ sont égales  ssi :

  $\displaystyle{}E=E'\,\text{ et }\,F=F'\,\text{ et }\,\ptt x\app E,\ f(x)=g(x)$
  l'égalité des applications : $\,(\sp{1.5}f\ \sc R\ g\txt{et}g\ \sc R\ f\sp{1.5})\Imp f=g\,.\,$

• $\,(\sp{1.5}f\ \sc R\ g\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}g\ \sc R\ h\sp{1.5})\!\Imp\!\syst{&A\subset B\txt{et}B\subset C\\[-.5ex]&\ptt x\app A,\ f(x)\!=\!g(x)\!=\!h(x)}\,$
  On a donc : $\,A\subset C\,$  d'où :  $\,(\sp{1.5}f\ \sc R\ g\txt{et}g\ \sc R\ h\sp{1.5})\Imp f\ \sc R\ h\,.\,$

Étant réflexive, antisymétrique et transitive, la relation $\sc R$ est bien une relation d'ordre sur $\sc F.$

Pour $f$ et $g$ telles que $\,A\not\subset B\,$ et $\,B\not\subset A,\,$ on ne peut avoir ni $\,f\ \sc R\ g\sp{1.5},\,$ ni $\,g\ \sc R\ f:\,$ $\,\sc R\,$ ne définit pas un ordre

Une relation d'ordre $\sc R$ sur un ensemble $E$ est totale  ssi :

$\displaystyle{}\ptt \,(x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ ou }\ y\op{\sc R}x)$

total sur $\sc F.$

Un

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est  un majorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$

Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$  $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$

plus grand élément $\,g_{\I}\,$ de $\sc F$ devrait être devrait être une application  $\,g_\I:\bb R\to\bb R\,$ prolongeant toute fonction $f\sp{1.5}.$

Une telle application associerait alors à chaque $\,x\app\bb R\,$ tous les $\,f(x)\sp{1.5},\,$ en contradiction avec

Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

• Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
• si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$

l'unicité de l'image $\,g_\I(x)\,$ du réel $\,x\sp{1.5}.\,$

L'ensemble $\sc F$ n'a donc pas de plus grand élément pour la relation $\,\sc R\sp{1.5}.\,$

Un

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est  un minorant de $A$  ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$

Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$  $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$

plus petit élément de $\sc F$ devrait être une application définie sur la seule partie incluse dans toutes les autres : l'ensemble vide.

Il existe bien une telle application $\,f_0:\vide\to\bb R\,;\,$ il s'agit de l'application $f_0$ qui a pour

Le graphe de $\,f:E\to F\,$ est  l'ensemble $\,\Gamma\subset E\times F\,$ défini par :

$\displaystyle{}\Gamma= \ens{\sp{1.5}(x,f(x))}{x\app E\,}$

graphe :  $\,\Gamma=\vide\times\bb R=\vide\sp{1.5}.\,$

Toute application $\,g:B\to\bb R\,$ prolonge bien cette application $f_0$ car on a alors :  $\,\ptt x\app\vide,\ f_0(x)=g(x)\sp{1.5}.\,$

On peut se convaincre de la véracité de cette affirmation, très abstraite, en écrivant sa négation : $\,\iex x\app\vide,\ f_0(x)\neq g(x)\sp{1.5}.\,$

Cette dernière assertion est manifestement fausse, car l'ensemble vide n'a pas d'élément.

L'ensemble $\sc F$ admet donc bien cette application $\,f_0:\vide\to\bb R\,$ comme plus petit élément pour la relation $\,\sc R\sp{1.5}.\,$

Deux

Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$  est  un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.

• Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
• On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.

Si $\,n=p\sp{1.5},\,$ ces matrices sont carrées, et leur ensemble se note : $\,\sc M_{n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

matrices carrées $A$ et $B$ sont égales  ssi  elles sont de même taille $n\sp{1.5},$ avec : $\,\ptt(i,j)\app\,[\![1,n]\!]^2,\ a_{i,j}=b_{i,j}\sp{1.5}.\,$

Soient $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_{m}(\bb R),\,$ $\,B=[b_{k,\sp{1.5}\ell}]\app\sc M_{n}(\bb R)\sp{1.5},\,$ $\,C=[c_{q,r}]\app\sc M_{p}(\bb R)\,$ pour $\,m\leq n\leq p\sp{1.5}.\,$

On examine une à une les propriétés caractéristiques d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'ordre sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive :  $\,\ptt x\app E,\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• antisymétrique :  $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}x)\Imp x=y\,;\,$
• transitive :  $\,\ptt \,(x,y,z)\app E^3,\ (x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\,.\,$

d'ordre :

• $\,\sc R\,$ est réflexive, car : $\,A\R A\,;\,$ en effet, avec $\,n=m\sp{1.5},\,$ $\,k_i=i\,$ et $\,\ell_j=j\sp{1.5},\,$ on a : $\,a_{i,\sp{1.5}j}=a_{k_i,\sp{1.5}\ell_j}\,.\,$

• En supposant que $\,A\R B\,$ et $\,B\R C\sp{1.5},\,$ on a des coefficients $\,k_i\sp{1.5},\sp{1.5}\ell_j\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\,$ et $\,q_i\sp{1.5},\sp{1.5}r_j\app\,[\![\sp{1.5}1,p\sp{1.5}]\!]\,$ tels que :
  $\eqalign{&k_1\sp{-1.5} <\sp{-1.5} \dots\sp{-1.5} <\sp{-1.5} k_m\,\txt{et}\,\ell_1\sp{-1.5}<\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}<\sp{-1.5}\ell_m\sp{1.5},\ \txt{avec} a_{i,\sp{1.5}j}=b_{k_i\sp{1.5},\sp{1.5}\ell_j}\\ &q_1\sp{-1.5} <\sp{-1.5} \dots\sp{-1.5} <\sp{-1.5} q_n\ \txt{et}\ r_1\sp{-1.5}<\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}<\sp{-1.5}r_n\sp{1.5},\ \txt{avec} b_{k,\sp{1.5}\ell}=c_{q_k\sp{1.5},\sp{1.5}r_{\ell}}}$
  On en déduit que $\,A\R C\sp{1.5},\,$ ce qui prouve que $\,\sc R\,$ est transitive : $\,(A\R B\txt{et}B\R C)\Imp A\R C\sp{1.5},\,$ car :
  $\eqalign{&q_{k_1}\sp{-1.5}<\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}<\sp{-1.5}q_{k_m}\, \txt{et}\,\ r_{\ell_1}\sp{-1.5}<\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}<\sp{-1.5}r_{\ell_m}\\[-.5ex] \txt{avec :}&q_{k_i}\sp{1.5},\sp{1.5}r_{\ell_j}\app\,[\![\sp{1.5}1,p\sp{1.5}]\!]\txt{et}a_{i,\sp{1.5}j}=b_{k_i\sp{1.5},\sp{1.5}\ell_j}=c_{q_{k_i}\sp{1.5},\sp{1.5}r_{\ell_j}}}$
• En supposant que $\,A\R B\,$ et $\,B\R A\sp{1.5},\,$ on a alors $\,m=n\sp{1.5};\,$ on montre ensuite par
  Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :

  • $P(n_0)$ soit vraie,
  • et  $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$

  Alors, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $\,n\geq n_0\,.\,$
  récurrence la propriété $\,P(m)\,$ suivante :
  $\displaystyle{}1\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k_1\sp{-1.5} <\sp{-1.5} \dots\sp{-1.5} <\sp{-1.5} k_m\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}m\Imp(\ptt i\app\,[\![\sp{1.5}1,m\sp{1.5}]\!],\ k_i=i)$
  • si $\,m=1\sp{1.5},\,$ on a bien $\,P(1)\sp{1.5},\,$ avec : $\,1\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k_1\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}1\Imp k_1=1\sp{1.5};\,$
  • si $P(m)$ est vraie, alors :  $\,1\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k_1\sp{-1.5} <\sp{-1.5} \dots\sp{-1.5} <\sp{-1.5} k_m\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}m\Imp k_m=m\sp{1.5},\,$ et donc $\,P(m+1)\,$ est vérifiée, car :
    $\displaystyle{}m=k_m\sp{-1.5} <\sp{-1.5} k_{m+1}\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}m+1\Imp k_{m+1}=m+1$
  Il s'ensuit que l'application $\,i\mapsto k_i\,$ est
  L'identité d'un ensemble $\,E\,$ est l'application $\,\op{Id}_E:E\to E\,$ telle que :

  $\displaystyle{}\ptt x\app E,\ \op{Id}_E(x)=x\sp{1.5}.$

  Pour toute application $\,f:E\to F\sp{1.5},\,$ on a :

  $\displaystyle{}f\circ\op{Id}_E=f=\op{Id}_F\circ f$
  l'identité de $\,[\![\sp{1.5}1,m\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\,$ et il en va de même pour l'application $\,j\mapsto \ell_j\,;\,$ on a donc :
  $\displaystyle{}\ptt (i,j)\app[\![1,m]\!]^2,\ a_{i,j}=b_{k_i,\sp{1.5}\ell_j}=b_{i,j}\,,\txt{soit :}A=B$
  On a ainsi démontré l'antisymétrie de $\,\sc R:\,$  $\,(A\R B\txt{et}B\R A)\Imp A=B\sp{1.5}.\,$

La relation $\,\R,\,$ étant réflexive, transitive et antisymétrique, est bien une relation d'ordre sur l'ensemble $\sc M.$

Lorsque $\,A\R B\,$ avec $\,A\app\sc M_{n-1}(\bb R)\,$ et $\,B\app\sc M_{n}(\bb R)\sp{1.5},\,$ on considère les ensembles $\,\{k_1,\dots,k_{n-1}\}\,$ et $\,\{\ell_1,\dots,\ell_{n-1}\}\!\cdot\,$

Ils sont caractérisés par leurs

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$

La différence entre $A$ et $B$  est  l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$

$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$

Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$

complémentaires dans $[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]$ et s'écrivent donc : $\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\!\setminus\!\{\widehat{\,\imath\,}\}\,$ et $\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\!\setminus\!\{\widehat{\,\jmath\,}\}\sp{1.5},\,$ pour $\,\widehat{\,\imath\,},\widehat{\,\jmath\,}\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5}.\,$

En d'autres termes, la matrice $A$ est déduite de la matrice $B$  par suppression de sa $\widehat{\,\imath\,}\tiret$ème ligne et de sa $\widehat{\,\jmath\,}\tiret$ème colonne.

Il y a alors autant de matrices $A$ extraites de $B$  que de couples $\,(\widehat{\,\imath\,},\widehat{\,\jmath\,})\app\,[\![\sp{1.5}1,n\sp{1.5}]\!]^2\,;\,$ elles sont donc au

Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est  fini, avec :

$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$

$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$

nombre de $\,n^2\sp{1.5}.\,$