exercices de mathématiques - prépa et université

Il s'agit de contrôler si la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'équivalence sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive : $\,\ptt x\app E\sp{1.5},\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• symétrique : $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\Imp y\op{\sc R}x)\,;\,$
• transitive : $\,\ptt\, (x,y,z)\app E^3,\ \big((x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\big).\,$

d'équivalence :

• $\,\sc{R}\,$ est bien réflexive, car on ne l'applique qu'à des parties $\,A\,$ de $\,\Omega\,$ non vides.
  En effet, par définition de
  Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$

  L'intersection de $A$ et $B$  est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$

  $\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
  l'intersection, on a : $\,A\cap A=A\neq\vide\sp{1.5},\,$ d'où : $\,A\,\sc{R}\,A\,$ pour tout $\,A\!\subset\! \Omega\,$ lorsque $\,A\!\neq\!\vide\sp{1.5}.\,$

• Elle est aussi symétrique, puisque $\,A\cap B=B\cap A\sp{1.5},\,$ d'où l'implication : $\,A\,\sc{R}\,B\Imp B\,\sc{R}\,A\sp{1.5}.\,$

• En revanche, l'ensemble $\,\Omega\,$ contenant au moins deux éléments distincts, elle n'est pas transitive.
  En effet, pour $\,x\app \Omega\,$ et $\,y\app \Omega\,$ tels que $\,x\neq y\sp{1.5},\,$ les parties non vides $\,A\!=\!\{x\}\sp{1.5},\,$ $\,B\!=\!\{x,y\}\,$ et $\,C\!=\!\{y\}\,$ vérifient :
  $\displaystyle{}\eqalign{A\cap B\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\{x\}\neq\vide\,\\B\cap C\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\{y\}\neq\vide\,}\bigg\}\txt{mais :}\!A\cap C\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\{x\}\cap\{y\}=\vide$
  En d'autres termes, on a $\,A\,\sc{R}\,B\,$ et $\,B\,\sc{R}\,C\,$ mais pas $\,A\,\sc{R}\,C,\,$ ce qui contredit la transitivité de la relation $\,\sc{R}\sp{1.5}.\,$

La relation $\,\sc{R}\,$ n'est donc pas une relation d'équivalence sur l'ensemble $\,E=\sc P(\Omega)\!\setminus\!\{\vide\}\!\cdot\,$

Il faut vérifier que la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'équivalence sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive : $\,\ptt x\app E\sp{1.5},\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• symétrique : $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\Imp y\op{\sc R}x)\,;\,$
• transitive : $\,\ptt\, (x,y,z)\app E^3,\ \big((x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\big).\,$

d'équivalence.

Pour $\,u=(x,y)\sp{1.5},\,$ $\,v=(x',y')\sp{1.5},\,$ $\,w=(x'',y'')\,$ dans $\,\bb R^2,\,$ on a :

• $\,u\,\sc{R}\, u\sp{1.5},\,$ car :  $\,y-x=y-x\,;\,$
• $\,u\,\sc{R}\, v\Imp v\,\sc{R}\, u\sp{1.5},\,$ car :   $\,y-x=y'-x'\Imp y'-x'=y-x\,;\,$
• $\,\eqalign{u\,\sc{R}\, v\\v\,\sc{R}\, w}\ \bigg\}\Imp u\,\sc{R}\, w,\,$ car :  $\,\eqalign{y-x&=&y'-x'\\y'-x'&=&y''-x''}\bigg\}\Imp y-x=y''-x''.\,$

Étant réflexive, symétrique et transitive, la relation $\,\sc R\,$ est bien une relation d'équivalence.

La

Soit $\sc R$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

La classe d'équivalence d'un élément $x$ de $E$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\op{cl}_{\sc R}(x)=\ens{y\app E}{x\op{\sc R} y}$

classe d'équivalence de $\,u_0=(x_0,y_0)\app\bb R^2\,$ est l'ensemble des $\,u=(x,y)\app\bb R^2\,$ tels que $\,u\,\sc{R}\, u_0\sp{1.5},\,$ soit :  $\,y-x=y_0-x_0\sp{1.5}.\,$

En d'autres termes, la classe $\,\op{cl}_{\sc R}(u_0)\,$ de $\,u_0\,$ est caractérisée par l'équation : $\,y-x=b\sp{1.5},\,$ pour $\,b=y_0-x_0\sp{1.5}.\,$

En

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrie du plan vectoriel $\,\bb R^2\sp{1.5},\,$ il s'agit de la

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine dirigée par le vecteur $\,v=(1,1)\,$ et passant par le point $\,u_0:\,$

La

L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation d'équivalence sur un ensemble $E$  est  une partition de cet ensemble $E.$

partition du plan $\,\bb R^2\,$ induite par $\,\sc R\,$ est ainsi l'ensemble des droites affines de $\,\bb R^2\,$ dirigées par le vecteur $\,v=(1,1)\sp{1.5}.\,$

Il faut vérifier que la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'équivalence sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive : $\,\ptt x\app E\sp{1.5},\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• symétrique : $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\Imp y\op{\sc R}x)\,;\,$
• transitive : $\,\ptt\, (x,y,z)\app E^3,\ \big((x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\big).\,$

d'équivalence :

• La relation $\,\sc{R}\,$ est bien réflexive, car pour tout $\,x\app\bb R,\,$ on a : $\,x-x=0=k\,T\,$ pour $\,k=0\sp{1.5}.\,$

• Elle est aussi symétrique, puisque on a : $\,x\,\sc{R}\,y\Imp y\,\sc{R}\,x\sp{1.5}.\,$
  En effet, avec : $\,x-y=k\sp{1.5}T\,$ et $\,k\app \bb{Z},\,$ on a aussi : $\,y-x=-k\sp{1.5}T=\ell\sp{1.5}T\,$ pour $\,\ell=-k\app \bb{Z}\sp{1.5}.\,$

• elle est enfin transitive, car si on a : $\,x\,\sc{R}\,y\,$ et $\,y\,\sc{R}\,z\sp{1.5},\,$ on a aussi : $\,x\,\sc{R}\,z\sp{1.5}.\,$
  On le vérifie en écrivant : $\,x-y=h\sp{1.5}T\,$ et $\,y-z=k\,T\,$ pour $\,h,\sp{1.5}k\app \bb{Z},\,$ dont on déduit, avec $\,\ell=(h+k)\app \bb{Z}:\,$
  $\displaystyle{}x-z=(x-y)+(y-z)=(h+k)T=\ell\sp{1.5}T$

Il s'agit donc bien d'une relation d'équivalence sur $\,\bb{R},\,$ appelée congruence modulo $\,T\,$, et notée généralement $\,x\equiv y\,[\sp{.75}T\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$

Pour $\,x\app \bb{R}\,$ fixé, la

Soit $\sc R$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

La classe d'équivalence d'un élément $x$ de $E$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\op{cl}_{\sc R}(x)=\ens{y\app E}{x\op{\sc R} y}$

classe d'équivalence $\,\op{cl}_{\sc R}(x)\,$ de $\,x\,$ est l'ensemble des $\,y\app\bb R\,$ tels que $\,y\,\sc{R}\,x\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

Il faut vérifier que la relation $\,\sc{R}\,$ possède toutes les propriétés d'une relation

Soit $\sc R$ une relation binaire sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

$\sc R$ est une relation d'équivalence sur $E$  ssi  elle est :

• réflexive : $\,\ptt x\app E\sp{1.5},\ x\op{\sc R}x\,;\,$
• symétrique : $\,\ptt\, (x,y)\app E^2,\ (x\op{\sc R}y\Imp y\op{\sc R}x)\,;\,$
• transitive : $\,\ptt\, (x,y,z)\app E^3,\ \big((x\op{\sc R}y\ \text{ et }\ y\op{\sc R}z)\Imp x\op{\sc R}z\big).\,$

d'équivalence :

• La relation $\,\sc{R}\,$ est bien réflexive, car pour tout $f\app\sc F,$ on a $\,f\,\sc{R}\, f\sp{1.5}.\,$
  En effet, en posant par exemple $\,\eps=1\sp{1.5},\,$ on obtient bien : $\,\ptt x\app\,]\!-\sp{-1.5}1,1\sp{1.5}[,\ f(x)=f(x)\sp{1.5}.\,$

• Elle est aussi symétrique car pour $f,g\app\sc F$ telles que $\,f\,\sc{R}\, g\sp{1.5},\,$ on a pour un $\,\eps > 0:\,$ $\,\ptt x\app\,]\!-\sp{-1.5}\eps,\eps\sp{1.5}[,\ f(x)=g(x)\sp{1.5}.\,$
  On a donc $\,g\,\sc{R}\sp{1.5}f\,$ car, avec le même $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ on a encore : $\,g(x)=f(x)\,$ pour tout $\,x\app\,]\!-\sp{-1.5}\eps,\eps\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

• Elle est enfin transitive, car pour $\,f,g,h\app\sc F\,$ telles que $\,f\,\sc{R}\, g\,$ et $\,g\,\sc{R}\, h\sp{1.5},\,$ on a pour un $\,\eps_1 > 0\,$ et un $\,\eps_2 > 0:\,$
  $\displaystyle{}\Syst{\ptt x\app\sp{1.5}\sp{1.5}]\!-\sp{-1.5}\eps_1\sp{.75},\sp{1.5}\eps_1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=g(x)\\ \ptt x\app\,]\!-\sp{-1.5}\eps_2\sp{.75},\sp{1.5}\eps_2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ g(x)=h(x)}$
  En considérant : $\,\eps=\min(\eps_1,\eps_2) > 0\sp{1.5},\,$ on a alors :  $\,\ptt x\app\,]\!-\sp{-1.5}\eps,\sp{1.5}\eps\sp{1.5}[,\ f(x)=g(x)=h(x)\sp{1.5}.\,$

Il s'agit donc bien d'une relation d'équivalence sur l'ensemble $\sc F.$

La

Soit $\sc R$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E\sp{1.5}.$

La classe d'équivalence d'un élément $x$ de $E$  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\op{cl}_{\sc R}(x)=\ens{y\app E}{x\op{\sc R} y}$

classe d'équivalence $\,\op{cl}_{\sc R}\!\big(\sp{1.5}\surl{0}\sp{1.5}\big)\,$ de la fonction nulle $\,\surl{0}: x\mapsto0\sp{1.5},\,$ est l'ensemble des $f\app\sc F$ telles que : $\,f\,{\scr R}\ {\surl{0}}\,.\,$

Il s'agit des fonctions nulles sur un $\,]\!-\sp{-1.5}\eps\sp{.75},\sp{1.5}\eps\sp{1.5}[\,$ pour $\,\eps > 0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire des fonctions de $\sc F$ nulles au

Soient $\sc P$ une propriété définie sur un intervalle $I$ et $\,a\app\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ avec :

• $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,a-\delta,\sp{1.5}a+\delta\,[\,$ pour $\,\delta > 0\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a\app\bb R\,;\,$
• $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\,A,+\I\,[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=+\I\,;\,$
• $\,V(a)=I\sp{1.5}\,\cap\,\sp{1.5}]\!-\I,A\sp{1.5}[\,$ pour $\,A\app\bb R\sp{1.5},\,$ lorsque $\,a=-\I\,.\,$

$\sc P(x)$  est vraie au voisinage de $\,a\,$ ssi  $\sc P(x)$ est vraie sur un $\,V(a)\,.\,$

voisinage de $\,0\sp{1.5}.\,$

La classe d'équivalence $\,\op{cl}_{\sc R}(f)\,$ de $f\app\sc F$ est l'ensemble des $g\app\sc F$ telles que : $\,g\,\sc{R}\, f\sp{1.5}.\,$

Cela peut s'écrire : $\,(g-f)\,\sc{R}\ \smh0{\surl{0}}\sp{1.5},\,$ ou encore : $\,h=g-f\app \op{cl}_{\sc R}\!\smh0{\big(\sp{1.5}\surl{0}\sp{1.5}\big)}\sp{1.5};\,$ d'où finalement :

La classe d'équivalence de $f\app\sc F$ est donc l'ensemble des fonctions $g\app\sc F$ coïncidant avec $f$ au voisinage de $\,0\sp{1.5}.\,$