Sujet A.1.7 Ensembles dénombrables
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Exercice a
Pour deux parties $\,A\,$ et $\,B\,$ de $\,\bb R\sp{1.5},\,$ on note $\,A+B\,$ l'ensemble des sommes $\,x+y\sp{1.5},\,$ pour $\,x\app A\,$ et $\,y\app B\sp{1.5}.\,$
Montrer que si $\,A\,$ et $\,B\,$ sont dénombrables, l'ensemble $\,A+B\,$ est dénombrable.
ensemble dénombrable
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
produit d'ensembles dénombrables
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
réunion d'ensembles dénombrables
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrement des ensembles numériques
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
indication
Établir que $\,A+B\,$ est la réunion des ensembles $\,x+B=\ens{x+y}{y\app B}\sp{1.5},\,$ pour $\,x\app A\sp{1.5}.\,$
réponse
L'ensemble $\,A+B\,$ est bien dénombrable.
correction
Pour tout $\,x\app A\,$ fixé, on pose : $\,x+B=\ens{x+y}{y\app B}\sp{1.5},\,$ et on considère l'application :
$\,\phi_x:\Syst{B&\to&x+B\\[-.5ex]y&\mapsto&x+y}\,$
L'application $\,\phi_x\,$ est
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijective,
car tout $\,z=x+y\,$ appartenant à $\,(x+B)\,$ a un unique antécédent : $\,y=z-x\,\app\,B\,.\,$
On en déduit que l'ensemble $\,x+B\,$ est en bijection avec l'ensemble $\,B\,$ dénombrable, et qu'à ce titre, il est donc
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
dénombrable
.
D'autre part, un réel $\,z\,$ appartient à $\,A+B\,$ si et seulement si il existe un $\,x\app A\,$ tel que $\,z\sp{1.5}\app\,(x+B)\sp{1.5}.\,$
Cela signifie que $\,A+B\,$ est la
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des $\,(x+B)\,$ pour $\,x\app A:\,$
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
$\displaystyle{}A+B=\union_{x\app A}\!\big(x+B\big)$
L'ensemble $\,A+B\,$ est donc dénombrable en tant que réunion
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrable
d'ensembles dénombrables.
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Exercice b
L'ensemble $\,\sc M(\bb Z)\,$ des matrices de toutes tailles et à coefficients entiers est-il dénombrable ?
ensemble dénombrable
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
produit d'ensembles dénombrables
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
réunion d'ensembles dénombrables
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrement des ensembles numériques
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
indication
$\,\sc M(\bb Z)\,$ est la réunion des ensembles dénombrables $\,\sc M_{n,p}(\bb Z)\sp{1.5},\,$ pour $\,(n,p)\app\sp{1.5}(\bb N^{\ast}\sp{-1.5})^2\sp{1.5}.\,$
réponse
L'ensemble $\,\sc M(\bb Z)\,$ des matrices à coefficients entiers de toutes tailles est dénombrable
correction
$\,A\,$ est une
Pour $\,n,p\app \bb N^{\ast},\,$ une matrice $\,n\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} p\,$ à coefficients dans $\bb K\sp{1.5},$ est un tableau $\,\smb1{A=[\sp{.75}a_{i,j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}}\,$ de $\,n\sp{1.5}p\,$ nombres.
matrice
à coefficients entiers si et seulement si il existe un couple $\,(n,p)
\app\sp{1.5}(\bb N^{\ast})^2\,$ tel que $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb Z)\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, l'ensemble $\,\sc M(\bb Z)\,$ des matrices à coefficients entiers est la
- Ces nombres sont disposés en $n$ lignes $\,L_i\,,\,$ et $p$ colonnes $\,C_j\,.\,$
- On note $\,\sc M_{n,p}(\bb K)\,$ l'ensemble de ces matrices.
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des $\,\sc M_{n,p}(\bb Z)\,$ pour $\,(n,p)\app\sp{1.5}(\bb N^{\ast})^2:\,$
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
$\displaystyle{}\sc M(\bb Z)=\!\!\!\union_{(n,p)\app\sp{1.5}(\bb N^{\ast})^2}\!\!\sc M_{n,p}(\bb Z)$
Pour tout $\,(n,p)\app\sp{1.5}(\bb N^{\ast})^2,\,$ l'ensemble $\,\sc M_{n,p}(\bb Z)\,$ peut être identifié à $\,\big(\bb Z^n\big)^{\sp{-1.5}p}\simeq\bb Z^{np}\sp{1.5}.\,$ $\,\bb Z\,$ étant
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
dénombrable,
$\,\sc M_{n,p}(\bb Z)\,$ est alors dénombrable en tant que
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
produit
fini d'ensembles dénombrables.
$\,(\bb N^{\ast})^2\,$ est lui aussi dénombrable comme produit fini d'ensembles dénombrables.
L'ensemble $\,\sc M(\bb Z)\,$ est finalement dénombrable, puisque c'est une réunion
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrable
d'ensembles dénombrables.
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Exercice c
L'ensemble $\sc P$ des suites périodiques de nombres rationnels est-il dénombrable ?
ensemble dénombrable
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
produit d'ensembles dénombrables
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
réunion d'ensembles dénombrables
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrement des ensembles numériques
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
indication
1
Établir que $\sc P$ est la réunion des ensembles $\sc P_T$ formés des suites rationnelles de période $\,T\sp{-1.5}\app\sp{-1.5}\bb N^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
indication
2
Montrer que pour tout $\,T\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ l'ensemble $\sc P_T$ est en bijection avec l'ensemble $\,\bb Q^{\sp{1.5}T}.\,$
réponse
L'ensemble $\sc P$ des suites rationnelles périodiques est dénombrable.
correction
Une suite
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :
périodique
de nombres
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
Les nombres rationnels sont les nombres réels $\,q\,$ tels que :
rationnels
est une suite $\,(p_n)_{n\app\bb N}\,$ d'éléments de $\,\bb Q\,$ telle que : $\displaystyle{}\iex a\app\bb Z\sp{1.5},\,\iex\bb \app \bb Z\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\},\ \ q=\frac ab$
Leur ensemble se note $\,\bb Q\,;\,$ un $\,x\app\bb R\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\bb Q\,$ est un nombre irrationnel.
$\displaystyle{}\iex T\app\bb N^{\ast},\ \ptt n\app\bb N,\ p_{n+T}=p_n$
$\sc P$ est alors la
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des ensembles $\sc P_T$ des suites rationnelles de période $\,T,\,$ pour $\,T\app\bb N^{\ast}:\,$ $\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
$\displaystyle{}\sc P=\!\union_{T\app\bb N^{\ast}}\!\sc P_T$
Considérons maintenant, pour $\,T\app\bb N^{\ast},\,$ une suite $\,(p_n)_{n\app\bb N}\,$ appartenant à l'ensemble $\sc P_T\,.$
Pour tout $\,n\app\bb N,\,$ si $\,q\,$ et $\,r\,$ désignent le quotient et le reste de la
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,n\,$ par $\,T,\,$ on a alors si $\,q\neq0:\,$
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}p_n=p_{n-T}=\dots=p_{n-q\sp{1.5}T}=p_r\,,\txt{avec}r\sp{1.5}\app\,[\![\sp{1.5}0,\,T-1\sp{1.5}]\!]$
Chaque suite $\,(p_n)_{n\app\bb N}\,$ est donc exactement caractérisée par la suite finie $\,(p_0,\dots,p_{\sp{1.5}T-1})\sp{1.5}\app\sp{1.5}\bb Q^{\sp{1.5}T}\sp{1.5}.\,$ Cela équivaut à dire que l'ensemble $\sc P_T$ est en
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection
avec l'ensemble $\,\bb Q^{\sp{1.5}T}.\,$
$\,\bb Q\,$ étant
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
dénombrable,
$\bb Q^{\sp{1.5}T}$ est dénombrable comme
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
produit
fini d'ensembles dénombrables.
Il s'ensuit que $\sc P_T$ est lui aussi
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
dénombrable
car en bijection avec un ensemble dénombrable.
Finalement, $\sc P$ est dénombrable comme réunion
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrable
d'ensembles dénombrables.
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Exercice d
Un nombre réel est dit algébrique si et seulement si il est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels.
Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.
Que peut-on en conclure pour l'ensemble des nombres réels non algébriques, appelés nombres transcendants ?
ensemble dénombrable
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
produit d'ensembles dénombrables
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
réunion d'ensembles dénombrables
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrement des ensembles numériques
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
indication
1
Montrer d'abord que, pour tout $\,n\app\bb N,\,$ l'ensemble $\,\bb Q_n[X]\,$ est dénombrable.
indication
2
Considérer la réunion des $\,Z_P\,$ pour $\,P\app\bb Q[X]\!\setminus\!\{0\},\,$ où $\,Z_P\,$ désigne l'ensemble des racines d'un polynôme $\,P\,$ non nul.
réponse
l'ensemble $\,\sc A\,$ des nombres algébriques est bien dénombrable.
L'ensemble $\,\sc T\,$ des nombres transcendants est lui aussi infini, mais il n'est pas dénombrable.
correction
Pour $\,n\app\bb N\,$ fixé, tout polynôme $\,P=p_0+\cdots+p_n\sp{1.5}X^n\,$ de $\,\bb Q_n[X]\,$ est caractérisé par la suite $\,(p_0,\dots,p_n)\,$ de ses coefficients.
En d'autres termes, l'application $\,P\mapsto(p_0,\dots,p_n)\,$ définit une
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection
entre $\,\bb Q_n[X]\,$ et $\,\bb Q^{n+1}.\,$
$\,\bb Q\,$ étant
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
dénombrable,
$\,\bb Q^{n+1}\,$ est dénombrable comme
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
produit
fini d'ensembles dénombrables, ainsi donc que $\,\bb Q_n[X]\,$ par
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
bijection.
L'ensemble $\,\bb Q[X]\,$ est alors dénombrable comme réunion
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrable
d'ensembles dénombrables, car :
$\displaystyle{} \bb Q[X]=\!\union_{n\app\bb N}\!\bb Q_n[X]$
Pour tout $\,P\app\bb Q[X]\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},\,$ l'ensemble $\,Z_P\,$ de ses racines est un ensemble
Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet au plus $\,p\,$ racines.
Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$
fini.
L'ensemble $\,\sc A\,$ des nombres algébriques est donc fini ou dénombrable, en tant que réunion
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
dénombrable
d'ensembles finis :
$\displaystyle{}\sc A=\!\!\!\union_{P\app\bb Q[X]\setminus\{0\}}\!Z_P$
D'autre part, $\,\sc A\,$ est infini car : $\,\bb Q\subset\sc A\sp{1.5},\,$ puisque tout $\,q\app\bb Q\,$ est racine du polynôme $\,X-q\sp{1.5}.\,$
Finalement, l'ensemble $\,\sc A\,$ des nombres algébriques n'étant pas fini est donc dénombrable.
Si l'ensemble $\,\sc T\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\bb R\!\setminus\!\sc A\,$ des nombres transcendants était fini ou dénombrable, $\,\bb R=\sc A\cup\sc T\,$ serait dénombrable.
L'ensemble $\,\bb R\,$ n'étant pas
Les ensembles $\bb N\sp{1.5},$ $\,\bb Z\,$ et $\,\bb Q\,$ sont dénombrables, tandis que les ensembles $\,\bb R\,$ et $\,\bb C\,$ sont infinis et non dénombrables.
dénombrable,
l'ensemble $\,\sc T\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\bb R\!\setminus\!\sc A\,$ est donc infini et non dénombrable.