Sujet A.1.6 Famille d'ensembles
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Exercice a
Pour tout couple $\,(k,\ell)\,$ d'entiers relatifs, on considère l'ensemble $\,C_{k,\ell}\,$ des $\,(x,y)\app\bb R^2\,$ tels que :
$\displaystyle{}k\leq x+y < k+1\txt{et}\ell\leq y-x < \ell+1$
Déterminer la réunion des ensembles $\,C_{k,\ell}\,$ pour $\,(k,\ell)\app\bb Z^2\,.\,$
Ces ensembles forment-ils une partition de $\,\bb R^2\,?\,$
intersection d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ l'intersection des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à tous les $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcap_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\ptt i\app I,\ x\app A_i}$
réunion d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
partition d'un ensemble
Une partition d'un ensemble $E$ est un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$
- non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
- deux à deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
- et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
indication
1
Pour $\,(x,y)\app\bb R^2\sp{1.5},\,$ considérer les parties entières de $\,x+y\,$ et $\,y-x\sp{1.5}.\,$
indication
2
Une fois établi que $\bb R^2$ est la réunion des ensembles $\,C_{k,\ell}\sp{1.5},\,$ vérifier les autres items de la définition d'une partition.
figure
La partition du plan formée par les $\,C_{k,\ell}\,$
réponse
La réunion des ensembles $\,C_{k,\ell}\,$ coïncide avec $\,\bb R^2:\,$ $\,\!\!\Op{\union}_{(k,\ell)\app\bb Z^2}\!\!C_{k,\ell}=\bb R^2.\,$
On vérifie de plus que ces ensembles forment une partition de $\,\bb R^2\,.\,$
correction
Pour tout $\,(x,y)\app\bb R^2,\,$ on considère les parties
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entières
$\,k,\ell\app\bb Z\,$
de $\,x+y\,$ et $\,y-x:\,$ $\,k=\lfloor x+y\rfloor\,$ et $\,\ell=\lfloor y-x\rfloor\sp{1.5}.\,$
Par définition, elles sont telles que :
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
$\displaystyle{}k\leq x+y < k+1\txt{et}\ell\leq y-x < \ell+1$
Il s'ensuit que tout élément de $\,\bb R^2\,$ appartient à l'un des $\,C_{k,\ell}\sp{1.5},\,$ d'où leur
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion :
$\,\!\union_{(k,\ell)\app\bb Z^2}\!C_{k,\ell}=\bb R^2.\,$
On peut ensuite vérifier les deux autres conditions qui font de l'ensemble des $\,C_{k,\ell}\,$ une
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
Une partition d'un ensemble $E$ est un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$
partition
de $\,\bb R^2:\,$
- non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
- deux à deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
- et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
- Pour tout $\,(k,\ell)\app\bb Z^2\sp{1.5},\,$ $\,C_{k,\ell}\,\,$ contient au moins un couple $\,(x,y)\,$ tel que $\,x+y=k\,$ et $\,y-x=\ell\sp{1.5}.\,$Il s'agit du couple $\,\big(\dfrac{k-\ell}2,\dfrac{k+\ell}2\big)\sp{1.5};\,$ on en déduit donc que : $\,\ptt (k,\ell)\app\bb Z^2\sp{1.5},\ C_{k,\ell}\neq\vide\sp{1.5}.\,$
- Soient dans $\,\bb Z^2\,$ $\,(k,\ell)\neq(k',\ell')\sp{1.5};\,$ étant donnés $\,(x,y)\app C_{k,\ell}\,$ et $\,(x',y')\app C_{k',\ell'}\sp{1.5},\,$ on a alors :
- soit $\,k\neq k'\,$ et donc $\,\lfloor x+y\rfloor\neq\lfloor x'+y'\rfloor\sp{1.5};\,$
- soit $\,\ell\neq \ell'\,$ et donc $\,\lfloor y-x\rfloor\neq\lfloor y'-x'\rfloor\sp{1.5}.\,$
Une partition d'un ensemble $E$ est un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$
partition
de $\bb R^2\sp{1.5}.$
- non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
- deux à deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
- et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
On peut visualiser cette partition du plan $\,\bb R^2\,$ par un quadrillage formé des droites $\,D_k\,$ et $\,\Delta_{\ell}\sp{1.5},\,$ d'équations $\,x+y=k\,$ et $\,y-x=\ell:\,$
|
La partition du plan formée par les $\,C_{k,\ell}\,$
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Exercice b
Étant donnés deux réels $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que $\,a\leq b,\,$ on considère pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5}\,$ l'intervalle :
$\displaystyle{}I_n=\Big]a-\dfrac1n,\,b+\dfrac1n\Big[$
Déterminer la réunion puis l'intersection de la suite des intervalles $\,I_n\sp{1.5}.\,$
intersection d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ l'intersection des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à tous les $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcap_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\ptt i\app I,\ x\app A_i}$
réunion d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
partition d'un ensemble
Une partition d'un ensemble $E$ est un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$
- non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
- deux à deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
- et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
indication
1
Remarquer que la suite $\,(I_n)_{n\app\bb N^{\ast}}\,$ est croissante pour l'inclusion.
indication
2
Montrer que $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est inclus dans l'intersection des $\,I_n\sp{1.5},\,$ puis raisonner par l'absurde pour montrer qu'ils sont égaux.
réponse
On obtient deux intervalles, l'un ouvert et l'autre fermé :
$\displaystyle{}\Op{\LARGE\cup}_{n\app\bb N^{\ast}}I_n=\big]a-1,\,b+1\big[\ \txt{et}
\Op{\LARGE\cap}_{n\app\bb N^{\ast}}I_n=\big[\sp{.75}a,\,b\sp{.75}\big]$
correction
Pour tout élément $\,x\,$ de la
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des $\,I_n\sp{1.5},\,$ il existe un $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ tel que $\,x\app I_n,\,$ d'où :
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
$\displaystyle{}a-1\leq a-\frac1n < x < b+\frac1n\leq b+1$
On a donc $\,x\app I_1\,;\,$ réciproquement, tout $\,x\app I_1\sp{1.5},\,$ appartenant à l'un des $\,I_n\sp{1.5},\,$ appartient donc à leur réunion, d'où
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité
des deux ensembles :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}\union_{n\app\bb N^{\ast}}I_n=I_1=\big]a-1,\,b+1\big[$
Pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ et pour tout $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ on a :
$\,a-\dfrac1n < a\leq x \leq b < b+\dfrac1n\!\cdot\,$
On en conclut donc que $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ est
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
inclus
dans
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ l'intersection des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à tous les $A_i:$
l'intersection
des intervalles $\,I_n:\,$
$\,\big[\sp{.75}a,\,b\sp{.75}\big]\subset\inter_{n\app\bb N^{\ast}}I_n\,.\,$
Réciproquement, soit un $\,x\app\bb R\,$ tel que :
$\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ x\app I_n\,;\,$ montrons alors que $\,x\,$ appartient au segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]:\,$
$\displaystyle{}\bigcap_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\ptt i\app I,\ x\app A_i}$
- si $\,x < a,\,$ on a pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ l'équivalence : $\,a-x < \dfrac1n\Ssi \dfrac1{a-x} > n\,.\,$ Par définition de la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$ Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :entière, l'entier $\,n_0=\Big\lfloor\dfrac1{a-x}\Big\rfloor+1\app\bb N^{\ast}\,$ est tel que : $\,\dfrac1{a-x} < n_0\,.\,$ On a ainsi : $\,a-x > 1\sp{-1.5}/{n_0}\sp{1.5},\,$ d'où : $\,x < a-1\sp{-1.5}/{n_0}\sp{1.5},\,$ c'est-à dire que : $\,x\non\app I_{n_0}\,,\,$ ce qui contredit l'hypothèse.$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
- si $\,b < x,\,$ on a de même un entier $\,n_1=\Big\lfloor\dfrac1{x-b}\Big\rfloor+1\app\bb N^{\ast}\,$ tel que $\,\dfrac1{x-b} < n_1\,.\,$ On a cette fois : $\,x-b > 1\sp{-1.5}/n_1\sp{1.5},\,$ d'où : $\,x > b+1\sp{-1.5}/n_1\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\non\app I_{n_1}\,,\,$ d'où une nouvelle contradiction.
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité
des deux ensembles :
$\,\inter_{n\app\bb N^{\ast}}I_n=\big[\sp{.75}a,\,b\sp{.75}\big].\,$
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
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Exercice c
Pour tout $\,\omega\app\bb C\,$ tel que $\,|\omega| < 1\sp{1.5},\,$ on considère le disque fermé $\,D_{\omega}\,$ de centre $\,\omega\,$ et de rayon $\,1\sp{1.5}:\,$
$\displaystyle{}D_{\omega}=\ens{\,z\app\bb C}{|z-\omega|\leq 1}$
Déterminer la réunion puis l'intersection de la famille des disques $\,D_{\omega}\,.\,$
intersection d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ l'intersection des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à tous les $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcap_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\ptt i\app I,\ x\app A_i}$
réunion d'une famille de parties
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
partition d'un ensemble
Une partition d'un ensemble $E$ est un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$
- non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
- deux à deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
- et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$
indication
1
Commencer par déterminer un disque ouvert contenant la réunion des $\,D_\omega\,.\,$
indication
2
Pour $\,z\app \bb C\,$ tel que $\,0 < |z| < 2\sp{1.5},\,$ déterminer un disque $\,D_\omega\,$ ne contenant pas $\,z\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient un disque ouvert, de centre $\,0\,$ et de rayon $\,2,\,$ et un singleton :
$\displaystyle{}\Op{\LARGE\cup}_{|\omega| < 1}D_\omega=\ens{z\app\bb C}{|z| < 2}\ \txt{et}
\Op{\LARGE\cap}_{|\omega| < 1}D_\omega=\big\{\sp{1.5}0\sp{1.5}\}$
correction
Pour tout élément $\,z\,$ de la
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des $\,D_\omega\,$ il existe un $\,\omega\app\bb C,\ |\omega| < 1,\,$ tel que $\,z\app D_\omega\,$ d'où, par
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
$\displaystyle{}|z|=\big|(z-\omega)+\omega\big|\leq|z-\omega|+|\omega| \leq 1+|\omega| <2$
On en déduit
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion
de cette réunion dans le disque ouvert de centre $\,0\,$ et rayon $\,2\,$ :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\union_{|\omega| < 1}D_\omega\subset\ens{z\app\bb C}{|z| < 2}$
Soit maintenant un $\,z\app\bb C\,$ tel que $\,|z|\geq 2\,;\,$ pour tout $\,\omega\app\bb C\,$ tel que $\,|\omega | < 1\sp{1.5},\,$ on a alors par la seconde
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
$\displaystyle{}|z-\omega|\geq|z|-|\omega|\geq2-|\omega| > 1$
On en déduit que $\,z\,$ n'appartient à aucun $\,D_{\omega}\,;\,$ on a ainsi établi
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}\union_{|\omega| < 1}D_\omega=\ens{z\app\bb C}{|z| < 2}$
Étant donné que $\,\big(|\omega| < 1\Imp |0-\omega|\leq1\big),\,$ $\,0\,$ appartient à tous les $\,D_{\omega}\,$ et donc à leur
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ l'intersection des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à tous les $A_i:$
intersection.
Considérons maintenant un complexe $\,z_0\neq0\,;\,$ deux cas se présentent :
$\displaystyle{}\bigcap_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\ptt i\app I,\ x\app A_i}$
- si $\,|z_0|\geq 2,\,$ on a établi précédemment que $\,z_0\,$ n'appartient à aucun $\,D_{\omega}\,.\,$
- si $\,|z_0| < 2,\,$ on pose alors $\,\omega_0=\lambda\sp{1.5}z_0\,$ pour $\,\lambda=\smh{1.7}{\dfrac12-\dfrac1{|z_0|}} < 0,\,$ d'où :
$\eqalign{|\omega_0|&=|z_0|\Big(\frac1{|z_0|}-\frac12\Big)=1-\frac{|z_0|}2 < 1\\ |z_0-\omega_0|&=|z_0|\Big(\frac1{|z_0|}+\frac12\Big)=1+\frac{|z_0|}2 > 1}$Cela prouve que $\,z_0\,$ n'appartient pas au disque $\,D_{\omega_0}\,$ de la famille des $\,D_{\omega}\,$ tels que $\,|\omega|<1\,.\,$
$\displaystyle{}\inter_{|\omega| < 1}D_\omega=\big\{\sp{1.5}0\sp{1.5}\}$