Sujet A.1.5 Images directes et réciproques
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Exercice a
Soit la fonction réelle $\,f\,$ qui à tout $\,x\app\bb R\,$ associe $\,f(x)=x^2+2\sp{.75}x\sp{1.5}.\,$
Déterminer par calcul les ensembles $\,f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)\,$ et $\,f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big).\,$
Pour tout $\,A\subset\bb R,\,$ quelle relation peut-on établir entre $\,f^{-1}(f(A))\,$ et $\,A\,?\,$
image directe d'une partie
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
image réciproque d'une partie
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
indication
1
La recherche de $\,f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)\,$ équivaut à résoudre une double inéquation.
indication
2
Pour trouver $\,f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big),\,$ résoudre d'abord $\,f(x)=y\,$ pour $\,y\app \bb R\,$ fixé.
figure
Représentation de la fonction $f$
réponse
On obtient : $\,f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)=[-3,-2\sp{1.5}]\cup[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\,$ et $\,f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big)=[\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
On a toujours $\,A\subset f^{-1}(f(A))\sp{1.5},\,$ mais pas nécessairement $\,A= f^{-1}(f(A))\sp{1.5}.\,$
correction
Par définition de l'image
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
réciproque
d'une partie de $\,\bb R,\,$ $\,f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)\,$ est l'ensemble des $\,x\app \bb R\,$ tels que $\,f(x)\app\,[\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
En utilisant les variations de la fonction
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
Pour $\,k\app\bb Z^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonction puissances : $\,x\mapsto x^k\,$ sont :
carré
et de la fonction
- continues sur $\,\bb R\,$ et strictement croissantes sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,k >0\sp{1.5};\,$
- continues sur $\,\bb R^{\ast}\,$ et strictement décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,k <0\sp{1.5}.\,$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée, on peut écrire les équivalences suivantes :
$\eqalign{0\leq f(x)\leq 3&\Ssi&0\leq x^2+2\sp{.75}x\leq 3\\ &\Ssi&0\leq(x+1)^2-1\leq3\\&\Ssi &1\leq(x+1)^2\leq 4\\&\Ssi&1\leq|x+1|\leq 2\\&\Ssi &\Syst{&-2\leq x+1\leq-1&\txt{si} x+1\leq0\\
&\ph{-}1\leq x+1\leq2&\txt{si} x+1\geq0}}$
On obtient donc l'image réciproque de $\,[\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\,$ par $f:$ $\,f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)=[-3,-2\sp{1.5}]\cup[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$Les résolutions déduites d'
L'image
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
identités
remarquables sont d'usage très courant, comme ici avec : $\,x^2+2\sp{.75}x=(x+1)^2-1\sp{1.5}.\,$ Dans les cas simples, elles sont préférables à l'usage de
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$
formules
comme : $\,\Delta = b^2-4\sp{.75}a\sp{.75}c\sp{1.5},\,$ $\,x_i=\big(-b\pm\sqrt{\Delta}\big)/2\sp{.75}a\sp{1.5},\,$ etc.- aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
- une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
directe
$\,f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big)\,$ est l'ensemble des $\,y\app \bb R\,$ pour lesquels il existe $\,x\app[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\,$ tel que $\,f(x)=y\,.\,$
On commence par résoudre, pour $\,y\app\bb R\,$ fixé, cette équation d'inconnue $\,x\sp{1.5};\,$ on a les équivalences suivantes :
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
$\eqalign{f(x)=y&\Ssi&x^2+2\sp{.75}x=y\\ &\Ssi&(x+1)^2=y+1\\
&\Ssi&\big(\,|x+1|=\sqrt{y+1}\txt{et}y+1\geq0\,\big)\\
&\Ssi&\big(\,x=-1\pm\sqrt{y+1}\txt{et}y\geq-1\,\big)}$
Étant donné qu'on cherche $\,x\,$ dans $\,[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ cela exclut celle des solutions qui est toujours négative, d'où :
$\eqalign{y\app f\big([0,1]\big)&\Ssi&\big(\,1\leq\sqrt{y+1}\leq2\txt{et}y\geq-1\,\big)\\
&\Ssi&\ph{-}\big(\,1\leq y+1 \leq4\txt{et}y\geq-1\,\big)\\&\Ssi&\ph{--..}0\leq y\leq 3}$
On obtient ainsi l'image directe de $\,[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\,$ par $f:$ $\,f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big)=[\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$ |
Représentation de la fonction $f$
|
On serait parvenu plus rapidement à ces résultats en utilisant les
Pour tout $\,A\subset \bb R,\,$ on a : $\,f^{-1}(f(A))=\ens{\,x\app\bb R}{f(x)\app f(A)}\sp{1.5},\,$
d'où : $\,x\app A\Imp x\app f^{-1}(f(A))\sp{1.5}.\,$ On a donc toujours : $\,A\subset f^{-1}(f(A))\sp{1.5},\,$ et cela vaut pour toute fonction $\,f.\,$
En revanche,
on a en général : $\,A\neq f^{-1}(f(A))\sp{1.5},\,$ comme le montre le cas de la fonction $\,f:x\mapsto x^2+2\sp{.75}x\sp{1.5},\,$ lorsque $\,A=[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]:\,$
Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :
variations
et la
- croissante ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
- strictement croissante ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$
Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$
Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$, selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :
continuité
de la fonction $f\sp{1.5}.$
Cependant, il s'agissait ici de s'assurer d'une bonne maîtrise des définitions des images directes et réciproques d'un sous-ensemble.- $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
- $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}f^{-1}\big(f\big([\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big)\big)=f^{-1}\big([\sp{1.5}0,3\sp{1.5}]\big)= \big([-3,-2\sp{1.5}]\cup[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\big)\neq[\sp{1.5}0,1\sp{.75}]$
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Exercice b
\\(\TV\\)Soit la fonction réelle $\,f\,$ qui à tout $\,x\app\bb R\,$ associe : $\,f(x)=2\sp{1.5}|x|-|x-1|\sp{1.5}.\,$
Déterminer par calcul les ensembles $\,f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)\,$ et $\,f\big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big).\,$
Pour tout $\,B\subset\bb R\sp{1.5},\,$ quelle relation peut-on établir entre $\,f(f^{-1}(B))\,$ et $\,B\,?\,$
image directe d'une partie
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
image réciproque d'une partie
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
indication
1
La recherche de $\,f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)\,$ équivaut à résoudre une inéquation.
indication
2
Pour trouver $\,f\big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big),\,$ résoudre d'abord $\,f(x)=y\,$ pour $\,y\app \bb R\,$ fixé.
figure
Représentation graphique de $\,f\,$
réponse
On obtient : $\,f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)=[-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\,$ et $\,f\ \big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big)=[-1,1\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
On a toujours $\,f(f^{-1}(B))\subset B\sp{1.5},\,$ mais pas nécessairement : $\,f(f^{-1}(B))=B\sp{1.5}.\,$
correction
L'expression de $\,f(x)\,$ dépend des signes de $\,x\,$ et $\,x-1\sp{1.5},\,$ d'où le tableau de valeurs :
Par définition de l'image
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\i-\sp{-15}& &0& &+1& &\sp{-15}\i+\hl 2\sp{1.5}|x|& &\!\!\!-2\sp{.75}x &\v&2\sp{.75}x\!\! & \v & 2\sp{.75}x &\hl |x-1|& & \!\!\!-x+1 &\v & -x+1 &\v&x-1&\hl f(x)& &\!\!\!-x-1&\v&3\sp{.75}x-1\!&\v &x+1&}$}$ |
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
réciproque
d'une partie de $\,\bb R,\,$ $\,f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)\,$ est l'ensemble des $\,x\app \bb R\,$ tels que $\,f(x)\app\,\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
Cela correspond aux équivalences suivantes :
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
$\eqalign{f(x)\leq1&\Ssi&
\Syst{-x-1\leq1&\txt{si}x\leq0\\3\sp{.75}x-1\leq1&\txt{si}0\leq x\leq1\\x+1\leq1&\txt{si}x\geq1}\\[1ex]
&\Ssi&\Syst{&x\geq-2&\txt{si}x\leq0\\&x\leq2/3&\txt{si}0\leq x\leq1\\ &x\leq0&\txt{si}x\geq1}\\[1ex]&\Ssi&\ -2\leq x\leq 2/3}$
On obtient donc l'image réciproque de $\,]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\,$ par $f:$ $\,f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)=[-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
L'image
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
directe
$\,f\big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big)\,$ est l'ensemble des $\,y\app \bb R\,$ pour lesquels il existe $\,x\app\,[-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\,$ tel que $\,f(x)=y\sp{1.5}.\,$
On commence par résoudre, pour $\,y\app\bb R\,$ fixé, cette équation d'inconnue $\,x\sp{1.5};\,$ on a les équivalences suivantes :
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
$\eqalign{f(x)=y&\Ssi& \Syst{-x-1=y&\txt{si}x\leq0\\3\sp{.75}x-1=y&\txt{si}0\leq x\leq1\\x+1=y&\txt{si}x\geq1}\\[1ex]
&\Ssi& \Syst{&x=-y-1&\txt{si}x\leq0\\&x=(y+1)/3&\txt{si}0\leq x\leq1\\&x=y-1&\txt{si}x\geq1}}$
L'existence de $\,x\app\,[-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ tel que $\,f(x)=y\,$ équivaut donc à :
$\displaystyle{}-2\leq-y-1\leq0\ \,\txt{ou}\ \,0\leq \frac{y+1}3\leq \frac23$
C'est équivalent dans chaque cas à : $\,-1\leq y\leq1\sp{1.5},\,$ d'où l'image directe de $\,[-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\,$ par $f:$ $\,f\big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big)=[-1,1\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
|
Représentation graphique de $\,f\,$
|
On serait parvenu plus rapidement à ces résultats en utilisant les
Pour $\,B\subset\bb R\sp{1.5},\,$ tout $\,y\app f(f^{-1}(B))\,$ est l'image par $\,f\,$ d'un élément de $\,f^{-1}(B),\,$ c'est-à-dire d'un $\,x\,$ tel que $\,y=f(x)\app B\sp{1.5}.\,$
On a donc : $\,y\app f(f^{-1}(B))\Imp y\app B\sp{1.5},\,$ soit : $\,f(f^{-1}(B))\subset B\sp{1.5},\,$ et cela vaut pour toute fonction $\,f\sp{1.5}.\,$
En revanche, on a en général : $\,f(f^{-1}(B))\neq B\sp{1.5},\,$ comme on le voit avec $\,f:x\mapsto 2\sp{1.5}|x|-|x-1|\,,\,$ lorsque $\,B=\,\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]:\,$
Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :
variations
et la
- croissante ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
- strictement croissante ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$
Soit $f:I\to \bb R,$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I\sp{1.5}.$
Alors l'intervalle $f(I)$ est de forme identique ou opposée à celle de $I$, selon le sens de variation de $f\sp{1.5},$ et il a pour bornes :
continuité
de la fonction $f\sp{1.5}.$
Cependant, il s'agissait ici de s'assurer d'une bonne maîtrise des définitions des images directes et réciproques d'un sous-ensemble.- $\,f(\alpha)\,$ pour chaque extrémité fermée $\alpha$ de $I\sp{1.5};$
- $\,\lim x{\alpha}f(x)\,$ pour chaque extrémité ouverte $\alpha$ de $I\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}f\big(f^{-1}\big(\sp{1.5}]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]\big)\big)=f\big([-2,\sp{1.5}2/3\sp{1.5}]\big)=[-1,1\sp{.75}]\neq\ ]\!-\infty,\sp{1.5}1\sp{.75}]$